Aufgaben:Exercise 1.4Z: Complex Nyquist Spectrum

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Komplexes Nyquistspektrum

Betrachtet wird ein Impuls  $g(t)$  mit Spektrum  $G(f)$  gemäß der Skizze. Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Der Realteil von  $G(f)$  ist trapezförmig mit den Eckfrequenzen  $f_{1} = 3 \, \rm kHz$  und  $f_{2} = 7 \, \rm kHz$. Im Bereich  $|f| < f_{1}$  gilt:

$${\rm Re}\big[G(f)\big] = A = 10^{-4} \, \rm V/Hz.$$

• Der Imaginärteil von  $G(f)$  wird für die Teilaufgaben (1) bis (5) stets zu  ${\rm Im}\big[G(f)\big] =0$  angenommen.
  In diesem Fall ist  $g(t)$  sicher ein Nyquistimpuls.
• Ab der Teilaufgabe (6) hat der Imaginärteil  ${\rm Im}[G(f)]$  im Bereich  $f_{1} \leq | f | \leq f_{2}$  einen Dreiecksverlauf mit den Werten  $\pm B$  bei den Dreieckspitzen.

Zu prüfen ist, ob der Impuls  $g(t)$  auch mit komplexem Spektrum der ersten Nyquistbedingung genügt:

$$g(\nu T) = \left\{ \begin{array}{c} g_0 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} \nu = 0 \hspace{0.05cm}, \\ \nu \ne 0 \hspace{0.1cm}. \\ \end{array}$$

Im Verlauf dieser Aufgabe wird auf folgende Beschreibungsgrößen Bezug genommen:

• Die Nyquistfrequenz gibt den Symmetriepunkt des Flankenabfalls an:

$$f_{\rm Nyq}= \frac{1}{2T}= \frac{f_1 +f_2 } {2 }\hspace{0.05cm}.$$

• Der Rolloff–Faktor ist ein Maß für die Flankensteilheit:

$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Eigenschaften von Nyquistsystemen.

• Als bekannt vorausgesetzt werden kann die Fourierrücktransformierte  $g(t)$  eines trapezförmigen Nyquistspektrums mit Rolloff–Faktor  $r$:

$$g ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot r \cdot t}/{T}\right).$$

• Ein dreieckförmiges Tiefpass–Spektrum  $G(f)$, das auf  $| f | < f_{0}$  begrenzt ist und bei dem  $G(f = 0) = B$  gilt, führt nach Fourierrücktransformation zur Zeitfunktion

$$g ( t )= B \cdot f_0 \cdot {\rm si}^2 \left ( {\pi f_0 t}\right)\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Für die ersten Teilfragen gelte  $B = 0$. Wie groß ist die Nyquistfrequenz?

$f_{\rm Nyq} \ = \ $ $\ \rm kHz$

2

Welcher Rolloff–Faktor  $r$  liegt hier vor?

$r \ = \ $

3

Berechnen Sie den Maximalwert  $g_{0}$  des Nyquistimpulses  $g(t)$.

$g_{0} \ = \ $ $\ \rm V$

4

Es gelte weiter  $B=0$. Berechnen Sie  $g(t)$  für die Zeitpunkte  $t = 100\, µ \rm s$  und  $t = 200\, µ \rm s$.

$g(t = 100\, µ \rm s) \ = \ $ $\ \rm V$

$g(t = 200\, µ \rm s) \ = \ $ $\ \rm V$

5

Berechnen Sie den Impulswert zur Zeit  $t = 250\ µ \rm s$.

$g(t = 250\, µ \rm s) \ = \ $ $\ \rm V$

6

Welche Aussagen treffen für  $B \neq 0$  zu? $G(f)$  ist dann komplexwertig.

	Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion wie in der Grafik zwischen  $3 \, \rm kHz$  und  $7 \, \rm kHz$  liegt.
	Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion symmetrisch zwischen  $3 \, \rm kHz$  und  $5 \, \rm kHz$  liegt.
	Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion symmetrisch zwischen  $4.5 \, \rm kHz$  und  $5.5 \, \rm kHz$  liegt.

7

Berechnen Sie  $g(t)$  für  $t = 250\, µ \rm s$  und  $B = A = 10^{–4} \, \rm V/Hz$   ⇒   komplexe Spektralfunktion.

$g(t = 250\ µ \rm s) \ = \ $ $\ \rm V$

Musterlösung

Solution

(1)  Die Nyquistfrequenz gibt den Symmetriepunkt des Flankenabfalls an. Es gilt:

$$f_{\rm Nyq}= \frac{f_1 +f_2 } {2 }= \frac{3\, {\rm kHz} + 7\, {\rm kHz}} {2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 5\, {\rm kHz}} \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Der Rolloff–Faktor ist ebenfalls durch die beiden Eckfrequenzen $f_{1}$ und $f_{2}$ festgelegt:

$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } = \frac{7\, {\rm kHz} - 3\, {\rm kHz}} {7\, {\rm kHz} + 3\, {\rm kHz} }\hspace{0.1cm}\underline { = 0.4 }\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Bei einem Impuls mit reellem Tiefpass–Spektrum liegt das Maximum stets bei $t = 0$ und es gilt:

$$g_0 = g(t=0) = \int_{-\infty}^{+\infty}G(f) \,{\rm d} f = A \cdot 2 f_{\rm Nyq} = 10^{-4 }\,\frac{\rm V}{\rm Hz}\cdot 2 \cdot 5 \cdot10^{3} \,{\rm Hz}\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Beim Nyquistimpuls treten die äquidistanten Nulldurchgänge im Abstand $T = 1/(2f_{\rm Nyq}) = 100 \, \rm \mu s$ auf. Daraus erhält man direkt:

$$g(t= 100\,{\rm \mu s}) = \ \hspace{0.1cm}\underline { g(T) = 0,}$$

$$g(t= 200\,{\rm \mu s}) = \ \hspace{0.1cm}\underline {g(2T) = 0} \hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis folgt auch aus der angegebenen Gleichung mit $r = 0.4$:

$$g ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot 0.4 \cdot t}/{T}\right) \hspace{0.05cm}.$$

Verantwortlich dafür, dass die erste Nyquistbedingung erfüllt wird, ist der erste Term.

(5)  Entsprechend der unter (4) angegebenen Gleichung gilt:

$$g(t= 250\,{\rm \mu s})= g_0 \cdot {\rm si} ( {2.5 \cdot \pi })\cdot {\rm si} ( \pi )\hspace{0.1cm}\underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$

Diese Nullstelle ist auf den zweiten Term zurückzuführen und liegt nicht im Nyquist–Zeitraster $\nu T$

(6)  Für die folgende Herleitung gelte $g(t)= g_{\rm R}(t) + g_{\rm I}(t) \hspace{0.05cm},$ wobei $g_{\rm R}(t)$ auf den Realteil und $g_{\rm I}(t)$ auf den Imaginärteil von $G(f)$ zurückgeht. Der erste Anteil ist dabei genau wie unter Punkt (4) berechnet:

$$g_{\rm R} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot 0.4 \cdot t}/{T}\right) \hspace{0.05cm}.$$

Zur Erfüllung des ersten Nyquistkriteriums muss für den Imaginärteil mit $1/T = 10 \, \rm kHz$ gelten:

$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} {\rm Im}\left[G \left ( f - {k}/{T} \right)\right]= 0 \hspace{0.05cm}.$$

• Mit den gegebenen Eckfrequenzen $f_{1} = 3 \, \rm kHz$ und $f_{2} = 7 \ \rm kHz$ liegen die beiden Dreiecke um $\pm 5\, \rm kHz$, so dass obige Gleichung erfüllt ist. Gleiches gilt für $f_{1} = 4.5\, \rm kHz$ und $f_{2} = 5.5 \, \rm kHz$.
• Dagegen liegen die Dreieckspitzen mit $f_{1} = 3\, \rm kHz$ und $f_{2} = 5 \, \rm kHz$ bei $\pm 4 \ \rm kHz$. In diesem Fall löschen sich die Dreieckfunktionen durch die periodische Fortsetzung nicht aus und die Nyquistbedingung ist nicht erfüllt.

Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 3.

(7)  Mit dem Ergebnis $g_{\rm R}(2.5T) = 0$ aus (3) folgt $g(2.5T) = g_{\rm I}(2.5T)$, wobei $g_{\rm I}(t)$ die Fourierrücktransformierte von ${\rm j}\cdot \ G_{\rm I}(f)$ ist. Es gilt:

$${\rm j} \cdot G_{\rm I}(f) = {\rm j} \cdot\left[ \delta(f + f_{\rm Nyq}) - \delta(f - f_{\rm Nyq})\right] \star D(f) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} g_{\rm I}(t) = 2 \cdot {\rm sin} ( 2 \pi\cdot f_{\rm Nyq} \cdot t )\cdot d(t)\hspace{0.05cm}.$$

Die Sinusfunktion erzwingt die erforderlichen Nulldurchgänge bei Vielfachen von $T = 100 \, \rm \mu s$. $D(f)$ ist eine Dreieckfunktion um $f = 0$ mit $D(f = 0) = B$ und der einseitigen Breite $f_{0}= f_{2} – f_{\rm Nyq} = f_{\rm Nyq} – f_{1} = 2 \, \rm kHz$. Für die dazugehörige Zeitfunktion kann somit entsprechend der Angabe geschrieben werden:

$$g_{\rm I}(t ) = 2 \cdot B \cdot f_0 \cdot{\rm sin} ( 2 \pi\cdot f_{\rm Nyq} \cdot t)\cdot {\rm si}^2(\pi\cdot f_{\rm 0} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

Insbesondere gilt für den Zeitpunkt $t = 250 \, \rm \mu s$ (grünes Quadrat):

$$g(t = 2.5 T) = g_{\rm I}(t = 2.5 T) = \ 2 \cdot B \cdot f_0 \cdot{\rm sin} ( 2.5 \pi )\cdot {\rm si}^2(\frac{\pi}{2}) = \ \frac{8}{\pi^2} \cdot 10^{-4 }\,\frac{\rm V}{\rm Hz}\cdot 2 \cdot 10^{3} \,{\rm Hz}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.162\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$

Unsymmetrischer Nyquistimpuls

Die Grafik zeigt die Veränderung der Zeitfunktion aufgrund des Imaginärteils (grüner Zeitverlauf):

• Es ergibt sich nun ein unsymmetrischer Funktionsverlauf $g(t)$, der blau dargestellt ist.
• Die Nulldurchgänge von $g_{\rm R}(t)$ im Abstand $T$ bleiben jedoch erhalten.