Aufgaben:Exercise 1.5Z: Probabilities of Default

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Geräte–Funktionsschaltbild

Ein Geräteteil ist aus den Bauteilen $B_1, B_2, … , B_n$ aufgebaut, wobei die jeweilige Funktionsfähigkeit unabhängig von allen anderen Bauteilen angenommen werden kann.

• Gehen Sie davon aus, dass alle Bauteile mit gleicher Wahrscheinlichkeit $p_{\rm A}$ ausfallen.
• Das Teil $T_1$ funktioniert nur dann, wenn alle $n$ Bauteile funktionsfähig sind.

Zur Erhöhung der Zuverlässigkeit werden wichtige Baugruppen häufig dupliziert. Das Gerät $G$ kann somit mengentheoretisch wie folgt beschrieben werden: $$ G = T_1 \cup T_2.$$

Das heißt:   Das Gerät $G$ ist bereits dann einsatzbereit, wenn zumindest eines der beiden baugleichen Teilgeräte ($T_1$ oder $T_2$) funktionsfähig ist.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.

• Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo

Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.

Fragebogen

1

Die Ausfallwahrscheinlichkeit $p_{\rm G}$ des Gesamtgeräts darf nicht größer sein als $0.04\%$.
Wie groß dürfen dann die Ausfallwahrscheinlichkeiten $p_{\rm T}$ der zwei parallel vorhandenen identischen Geräteteile höchstens sein?

$p_\text{T, max} \ = \ $ $ \ \%$

2

Die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile sei $p_{\rm A} = 0.1$. Jedes Teilgerät bestehe aus $n = 3$ Bauteilen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $p_{\rm T}$ exakt, dass ein Teilgerät ausfällt.

$\text{exakt:}\ \ \ p_{\rm T} \ = \ $ $ \ \%$

3

Welcher Wert ergibt sich für $p_{\rm A} = 0.01$? In welcher Form kann man $p_{\rm T}$ für kleine Werte von $p_{\rm A}$ annähern?

$\text{Näherung:}\ \ \ p_{\rm T} \ = \ $ $ \ \%$

4

Nun gelte für die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile $p_{\rm A} = 0.4\%$. Wieviele Bauteile kann das Teilgerät höchstens enthalten, wenn $p_{\rm T} ≤ 2\%$ gelten soll?

$n \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Da die beiden Teilgeräte unabhängig voneinander ausfallen, gilt mengentheoretisch:

$$\rm Pr(\it G \rm \hspace{0.1cm}f\ddot{a}llt\hspace{0.1cm}aus) = Pr(\it T_{\rm 1}\rm \hspace{0.1cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.1cm}aus) \cdot Pr(\it T_{\rm 2}\rm \hspace{0.1cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.1cm}aus). $$

Da die Teilgeräte $T_1$ und $T_2$ baugleich sind, fallen sie mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p_{\rm T}$ aus. Daraus folgt:

$$p_{\rm G} = \it p_{\rm T}^{\rm 2} \hspace{0.5cm} \rm bzw. \hspace{0.5cm} \rm \it p_{\rm T,\hspace{0.1cm}max}= \sqrt{\it p_{\rm G}} \le \rm\sqrt{0.0004} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\%}.$$

(2)  Dieses Ergebnis ist einfacher über das Komplementärereignis zu bestimmen:

$$\rm Pr(\it T_{\rm 1}\hspace{0.1cm}\rm funktioniert) = \rm Pr(\it B_{\rm 1} \hspace{0.1cm}\rm funktioniert \cap \it B_{\rm 2} \hspace{0.1cm} \rm funktioniert \cap \it B_{\rm 3}\hspace{0.1cm} \rm funktioniert).$$

$$\Rightarrow 1- p_{\rm T}= (1-p_{\rm A})^{3} \hspace{0.3cm}\rm \Rightarrow \hspace{0.3cm} 1-p_{\rm T}=(0.9)^3= 0.729 \hspace{0.3cm}\rm \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.271 = 27.1\%}.$$

(3)  Mit $p_{\rm A} = 0.01$ erhält man $p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.97\%}.$ Allgemein gilt die Näherung: $p_{\rm T} \approx n \cdot p_{\rm A}\; (= 3\%)$.

(4)  Mit der Näherung der letzten Teilaufgabe folgt direkt $\underline{n = 5}$. Bei größerem $p_{\rm A}$ müsste man wie folgt vorgehen: $$0.996^{\it n}\ge 0.98 \hspace{0.5cm} \rm\Rightarrow \hspace{0.5cm} \it n\le\rm\frac{log(0.98)}{log(0.996)} = 5.0406\hspace{0.15cm}\underline { \approx 5}.$$