Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.2: Modulation Depth"
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| − | Die Grafik zeigt ZSB–amplitudenmodulierte Signale $s_1(t)$ bis $s_4(t)$ mit unterschiedlichem Modulationsgrad $m$. Nachrichtensignal $q(t)$ und Trägersignal $z(t)$ seien jeweils cosinusförmig: | + | Die Grafik zeigt ZSB–amplitudenmodulierte Signale $s_1(t)$ bis $s_4(t)$ mit unterschiedlichem Modulationsgrad $m$. Nachrichtensignal $q(t)$ und Trägersignal $z(t)$ seien jeweils cosinusförmig: |
:$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm N} t),\hspace{0.2cm} f_{\rm N} = 4\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm},$$ | :$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm N} t),\hspace{0.2cm} f_{\rm N} = 4\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$ z(t) = \hspace{0.2cm}1 \hspace{0.15cm} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm T} t),\hspace{0.2cm} f_{\rm T} = 50\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$ z(t) = \hspace{0.2cm}1 \hspace{0.15cm} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm T} t),\hspace{0.2cm} f_{\rm T} = 50\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Das modulierte Signal (Sendesignal) lautet mit dem im Modulator zugesetzten Gleichanteil $A_{\rm T}$: | + | Das modulierte Signal (Sendesignal) lautet mit dem im Modulator zugesetzten Gleichanteil $A_{\rm T}$: |
:$$s(t ) = A(t) \cdot z(t), \hspace{0.2cm} A(t) = q(t) + A_{\rm T}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$s(t ) = A(t) \cdot z(t), \hspace{0.2cm} A(t) = q(t) + A_{\rm T}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
Bei den Grafiken wurde zur Normierung gewählt: | Bei den Grafiken wurde zur Normierung gewählt: | ||
:$$A_{\rm T}+ A_{\rm N} = 2\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$A_{\rm T}+ A_{\rm N} = 2\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | *Ist der Modulationsgrad $m ≤ 1$, so ist $A(t)= q(t) + A_{\rm T}$ gleich der Hüllkurve $a(t)$. | + | *Ist der Modulationsgrad $m ≤ 1$, so ist $A(t)= q(t) + A_{\rm T}$ gleich der Hüllkurve $a(t)$. |
| − | *Dagegen gilt für den Modulationsgrad $m > 1$: | + | *Dagegen gilt für den Modulationsgrad $m > 1$: |
:$$a(t ) = |A(t)|\hspace{0.05cm}.$$ | :$$a(t ) = |A(t)|\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Der cosinusförmige Verlauf $A(t)$ schwankt zwischen $A_{\rm max}$ und $A_{\rm min}$, wobei wegen der obigen Normierung stets $A_{\rm max} = 2 \ \rm V$ ist. Die Minimalwerte von $A(t)$ treten | + | *Der cosinusförmige Verlauf $A(t)$ schwankt zwischen $A_{\rm max}$ und $A_{\rm min}$, wobei wegen der obigen Normierung stets $A_{\rm max} = 2 \ \rm V$ ist. |
| + | *Die Minimalwerte von $A(t)$ treten z. B. bei der halben Periodendauer des Quellensignals (also für $t = 125 \ \rm µ s$) auf: | ||
:$$A_{\rm min} = q(T_0/2)+ A_{\rm T} = A_{\rm T}-A_{\rm N}.$$ | :$$A_{\rm min} = q(T_0/2)+ A_{\rm T} = A_{\rm T}-A_{\rm N}.$$ | ||
| − | Die Zahlenwerte sind in der Grafik angegeben. | + | *Die Zahlenwerte sind in der Grafik angegeben. |
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]. |
| − | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|ZSB-Amplitudenmodulation mit Träger]]. | + | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|ZSB-Amplitudenmodulation mit Träger]]. |
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| − | {Bestimmen Sie für die Signale $s_1(t)$, $s_2(t)$, $s_3(t)$ jeweils den Modulationsgrad. | + | {Bestimmen Sie für die Signale $s_1(t)$, $s_2(t)$, $s_3(t)$ jeweils den Modulationsgrad. |
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+ Es handelt sich um „ZSB–AM ohne Träger”. | + Es handelt sich um „ZSB–AM ohne Träger”. | ||
| − | - Der Modulationsgrad ist $m = 0$. | + | - Der Modulationsgrad ist $m = 0$. |
| − | + Der Modulationsgrad $m$ ist unendlich groß. | + | + Der Modulationsgrad $m$ ist unendlich groß. |
| − | {Es gelte nun $A_{\rm T} = A_{\rm N} = 1\ \rm V$, also $m = 1$. Wie lautet das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals? <br>Welche Diracgewichte treten bei $f_{\rm T}$ sowie bei $f_{\rm T}± f_{\rm N}$ auf? | + | {Es gelte nun $A_{\rm T} = A_{\rm N} = 1\ \rm V$, also $m = 1$. Wie lautet das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals? <br>Welche Diracgewichte treten bei $f_{\rm T}$ sowie bei $f_{\rm T}± f_{\rm N}$ auf? |
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$S_+(f_{\rm T}) \ = \ $ { 1 3% } $\ \text{V}$ | $S_+(f_{\rm T}) \ = \ $ { 1 3% } $\ \text{V}$ | ||
$S_+(f_{\rm T} ± f_{\rm N}) \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \text{V}$ | $S_+(f_{\rm T} ± f_{\rm N}) \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \text{V}$ | ||
| − | {Es gelte weiter $m = 1$. Welcher Anteil $P_{\rm T}/P_{\rm S}$ der gesamten Sendeleistung $P_{\rm S}$ geht allein auf den Träger zurück, der nicht zur Demodulation genutzt werden kann? | + | {Es gelte weiter $m = 1$. Welcher Anteil $P_{\rm T}/P_{\rm S}$ der gesamten Sendeleistung $P_{\rm S}$ geht allein auf den Träger zurück, der nicht zur Demodulation genutzt werden kann? |
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$P_{\rm T}/P_{\rm S} \ = \ $ { 0.667 3% } | $P_{\rm T}/P_{\rm S} \ = \ $ { 0.667 3% } | ||
| − | {Verallgemeinern Sie das Ergebnis aus (4) für einen beliebigen Modulationsgrad $m$. Welche Leistungsverhältnisse ergeben sich für $m = 0.5$, $m = 3$ und $m → ∞$ ? | + | {Verallgemeinern Sie das Ergebnis aus '''(4)''' für einen beliebigen Modulationsgrad $m$. <br>Welche Leistungsverhältnisse ergeben sich für $m = 0.5$, $m = 3$ und $m → ∞$ ? |
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$m = 0.5\text{:}\hspace{0.3cm} P_{\rm T}/P_{\rm S} \ = \ $ { 0.889 3% } | $m = 0.5\text{:}\hspace{0.3cm} P_{\rm T}/P_{\rm S} \ = \ $ { 0.889 3% } | ||
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{Welche der nachfolgenden Bewertungen erscheinen Ihnen nach den bisherigen Berechnungen als sinnvoll? | {Welche der nachfolgenden Bewertungen erscheinen Ihnen nach den bisherigen Berechnungen als sinnvoll? | ||
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| − | + $m ≈ 1$ ist aus energetischen Gründen günstiger als ein kleines $m$. | + | + $m ≈ 1$ ist aus energetischen Gründen günstiger als ein kleines $m$. |
+ Nur bei Hüllkurvendemodulation ist der Träger sinnvoll. | + Nur bei Hüllkurvendemodulation ist der Träger sinnvoll. | ||
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Revision as of 15:29, 12 December 2018
Modulationsgrad-Definition bei ZSB–AM
Die Grafik zeigt ZSB–amplitudenmodulierte Signale $s_1(t)$ bis $s_4(t)$ mit unterschiedlichem Modulationsgrad $m$. Nachrichtensignal $q(t)$ und Trägersignal $z(t)$ seien jeweils cosinusförmig:
- $$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm N} t),\hspace{0.2cm} f_{\rm N} = 4\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm},$$
- $$ z(t) = \hspace{0.2cm}1 \hspace{0.15cm} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm T} t),\hspace{0.2cm} f_{\rm T} = 50\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
Das modulierte Signal (Sendesignal) lautet mit dem im Modulator zugesetzten Gleichanteil $A_{\rm T}$:
- $$s(t ) = A(t) \cdot z(t), \hspace{0.2cm} A(t) = q(t) + A_{\rm T}\hspace{0.05cm}.$$
Bei den Grafiken wurde zur Normierung gewählt:
- $$A_{\rm T}+ A_{\rm N} = 2\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
- Ist der Modulationsgrad $m ≤ 1$, so ist $A(t)= q(t) + A_{\rm T}$ gleich der Hüllkurve $a(t)$.
- Dagegen gilt für den Modulationsgrad $m > 1$:
- $$a(t ) = |A(t)|\hspace{0.05cm}.$$
- Der cosinusförmige Verlauf $A(t)$ schwankt zwischen $A_{\rm max}$ und $A_{\rm min}$, wobei wegen der obigen Normierung stets $A_{\rm max} = 2 \ \rm V$ ist.
- Die Minimalwerte von $A(t)$ treten z. B. bei der halben Periodendauer des Quellensignals (also für $t = 125 \ \rm µ s$) auf:
- $$A_{\rm min} = q(T_0/2)+ A_{\rm T} = A_{\rm T}-A_{\rm N}.$$
- Die Zahlenwerte sind in der Grafik angegeben.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweiseitenband-Amplitudenmodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite ZSB-Amplitudenmodulation mit Träger.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Aus den beiden Gleichungen
- $$ A_{\rm max} = A_{\rm T}+A_{\rm N}=2\,\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm min} = A_{\rm T}-A_{\rm N}\hspace{0.05cm}$$
folgt direkt
- $$A_{\rm N} = (A_{\rm max} - A_{\rm min})/2,\hspace{0.3cm} A_{\rm T} = (A_{\rm max} + A_{\rm min})/2\hspace{0.05cm}.$$
Somit lautet der Modulationsgrad
- $$m = \frac{A_{\rm max} - A_{\rm min}}{A_{\rm max} + A_{\rm min}}\hspace{0.05cm}.$$
Mit den angegebenen Zahlenwerten erhält man: $$ m_1 = \frac{2\,{\rm V} - 0.667\,{\rm V}}{2\,{\rm V} + 0.667\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} m_2 = \frac{2\,{\rm V} - 0\,{\rm V}}{2\,{\rm V} + 0\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.0}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} m_3 = \frac{2\,{\rm V} -(-1\,{\rm V})}{2\,{\rm V} + (-1\,{\rm V})} \hspace{0.15cm}\underline{=3.0}\hspace{0.05cm}.$$
(2) Richtig sind die Aussagen 1 und 3:
- In diesem Fall ist $A_{\rm T} = 0$, das heißt, es liegt tatsächlich eine „ZSB–AM ohne Träger” vor.
- Der Modulationsgrad $m = A_{\rm N}/A_{\rm T}$ ist unendlich groß.
Spektrum des analytischen Signals
(3) Das Spektrum $S_+(f)$ setzt sich für jeden Modulationsgrad $m$ aus drei Diraclinien zusammen mit folgenden Gewichten:
- $A_{\rm T}$ (bei $f = f_{\rm T}$)
- $m/2 · A_{\rm T}$ (bei $f = f_{\rm T} ± f_{\rm N}$).
Für $m = 1$ ergeben sich die Gewichte entsprechend der Skizze:
- $S_+(f_{\rm T}) = 1\ \rm V$,
- $S_+(f_{\rm T} ± f_{\rm T}) = 0.5\ \rm V$.
(4) Die auf den Widerstand 1 Ω bezogene Leistung (Quadrat des Effektivwertes) einer harmonischen Schwingung mit der Amplitude $A_{\rm T} = 1 \ \rm V$ beträgt:
- $$P_{\rm T} ={A_{\rm T}^2}/{2} = 0.5\,{\rm V}^2 \hspace{0.05cm}.$$
In gleicher Weise erhält man für die Leistungen des unteren und des oberen Seitenbandes:
- $$P_{\rm USB} = P_{\rm OSB} =({A_{\rm N}}/{2})^2/2 = 0.125\,{\rm V}^2 \hspace{0.05cm}.$$
Das gesuchte Verhältnis für $m=1$ ist somit:
- $${P_{\rm T}}/{P_{\rm S}}= \frac{P_{\rm T}}{P_{\rm USB} + P_{\rm T}+ P_{\rm OSB}}= \frac{0.5\,{\rm V}^2}{0.125\,{\rm V}^2 + 0.5\,{\rm V}^2+ 0.125\,{\rm V}^2}= 2/3\hspace{0.15cm}\underline { = 0.667}\hspace{0.05cm}.$$
(5) Mit den Diracgewichten $m/2 · A_{\rm T}$ der beiden Seitenbänder entsprechend der Teilaufgabe (3) erhält man:
- $${P_{\rm T}}/{P_{\rm S}}= \frac{A_{\rm T}^2/2}{A_{\rm T}^2/2 + 2 \cdot (m/2)^2 \cdot A_{\rm T}^2/2}= \frac{2}{2 + m^2}\hspace{0.05cm}.$$
Dies führt zu den Zahlenwerten $8/9 = 0.889$ (für $m = 0.5$), $2/11 = 0.182$ (für $m = 3$) und $0$ (für m → ∞).
(6) Beide Aussagen treffen zu:
- Die Zusetzung des Trägers macht nur Sinn, um den einfacheren Hüllkurvendemodulator verwenden zu können. Dies geht nur für $m \le 1$.
- Ist dagegen der Modulationsgrad $m > 1$ und somit der Einsatz eines Synchrondemodulators erforderlich, sollte man aus energetischen Gründen auf den Träger (fast) ganz verzichten.
- Ebenso ist bei Anwendung eines Hüllkurvendemodulators aus energetischen Gründen ein möglichst großer Modulationsgrad $m < 1$ ⇒ $m \to 1$anzustreben.
- Allerdings kann durch einen kleinen Restträger die Trägerrückgewinnung erleichtert werden, die beim Synchrondemodulator zur Frequenz- und Phasensynchronisation benötigt wird. Die zweite Aussage ist somit nur bedingt als richtig zu bewerten.
