Aufgaben:Exercise 3.1: Causality Considerations

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Zwei Vierpolschaltungen

Die Grafik zeigt oben den Vierpol mit der Übertragungsfunktion

$$H_1(f) = \frac{{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}} \hspace{0.05cm},$$

wobei $f_{\rm G}$ die 3dB–Grenzfrequenz angibt:

$$f_{\rm G} = \frac{R}{2 \pi \cdot L} \hspace{0.05cm}.$$

Durch Hintereinanderschalten von  $n$  gleich aufgebauten Vierpolen  $H_1(f)$  kommt man zur Übertragungsfunktion

$$H_n(f) = \big [H_1(f)\big ]^n =\frac{\big [{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\big ]^n}{\big [1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\big ]^n} \hspace{0.05cm}.$$

• Vorausgesetzt ist hierbei eine geeignete Widerstandsentkopplung, die aber zur Lösung dieser Aufgabe nicht von Bedeutung ist.
• Die untere Grafik zeigt zum Beispiel die Realisierung der Übertragungsfunktion  $H_2(f)$.

In dieser Aufgabe wird ein solcher Vierpol im Hinblick auf seine Kausalitätseigenschaften betrachtet.

Bei einem jeden kausalen System erfüllen der Real– und der Imaginärteil der Spektralfunktion  $H(f)$  die Hilbert–Transformation, was durch das folgende Kurzzeichen ausgedrückt wird:

$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad {\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$

Da die Hilbert–Transformation nicht nur für Übertragungsfunktionen, sondern auch für Zeitsignale wichtige Aussagen liefert, wird die Korrespondenz häufig durch die allgemeine Variable  $x$  ausgedrückt, die je nach Anwendungsfall als normierte Frequenz oder als normierte Zeit zu interpretieren ist.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Folgerungen aus dem Zuordnungssatz.
• Bezug genommen wird auch auf die Therieseiten  Hilbert-Transformation  sowie  Partialbruchzerlegung.

Fragebogen

1

Wie kann  $H_1(f)$  charakterisiert werden?

	$H_1(f)$  beschreibt einen Tiefpass.
	$H_1(f)$  beschreibt einen Hochpass.

2

Beschreibt  $H_1(f)$  ein kausales Netzwerk?

	Ja.
	Nein.

3

Berechnen Sie die Übertragungsfunktion  $H_2(f)$. Welcher komplexe Wert ergibt sich für  $f = f_{\rm G}$?

${\rm Re}\big[H_2(f = f_{\rm G})\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[H_2(f = f_{\rm G})\big] \ = \ $

4

Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

	$H_2(f)$  beschreibt ein kausales System.
	$(x^4 - x^2)/(x^4 +2 x^2 + 1)$  und  $2x^3/(x^4 +2 x^2 + 1)$  sind ein Hilbert–Paar.
	Für  $n > 2$  ist die Kausalitätsbedingung nicht erfüllt.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

• Mit der angegebenen Übertragungsfunktion kann man nach dem Spannungsteilerprinzip berechnen:

$$H_1(f = 0) = 0, \hspace{0.2cm}H_1(f \rightarrow \infty) = 1$$

• Es handelt sich um einen Hochpass.
• Für sehr niedrige Frequenzen stellt die Induktivität $L$ einen Kurzschluss dar.

(2)  Richtig ist Ja:

• Jedes reale Netzwerk ist kausal. Die Impulsantwort $h(t)$ ist gleich dem Ausgangssignal $y(t)$, wenn zum Zeitpunkt $t= 0$ am Eingang ein extrem kurzfristiger Impuls – ein so genannter Diracimpuls – angelegt wird.
• Aus Kausalitätsgründen kann dann natürlich am Ausgang nicht schon für Zeiten $t< 0$ ein Signal auftreten:

$$y(t) = h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}.$$

• Formal lässt sich dies folgendermaßen zeigen: Die Hochpass–Übertragungsfunktion $H_1(f)$ kann wie folgt umgeformt werden:

$$H_1(f) = \frac{{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}} = 1- \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}} \hspace{0.05cm}.$$

• Die zweite Übertragungsfunktion beschreibt die zu $H_1(f)$ äquivalente Tiefpassfunktion, die im Zeitbereich zur Exponentialfunktion führt. Die „1” wird zu einer Diracfunktion. Mit $T = 2\pi \cdot f_{\rm G}$ gilt somit für $t \ge 0$:

$$h_1(t) = \delta(t) - {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T} \hspace{0.05cm}.$$

• Für $t< 0$ gilt dagegen $h_1(t)= 0$, womit die Kausalität nachgewiesen wäre.

(3)  Die Hintereinanderschaltung zweier Hochpässe führt zu folgender Übertragungsfunktion:

$$H_2(f) = \left [H_1(f)\right ]^2 =\frac{\left [{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\right ]^2}{\left [1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\right ]^2} =\frac{\left [{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\right ]^2 \cdot \left [(1-{\rm j}\cdot f/f_{\rm G})\right ]^2} {\left [(1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}) \cdot (1-{\rm j}\cdot f/f_{\rm G})\right ]^2}= \frac{(f/f_{\rm G})^4 - (f/f_{\rm G})^2 +{\rm j}\cdot 2 \cdot (f/f_{\rm G})^3)} {\left [1+(f/f_{\rm G})^2 \right ]^2}\hspace{0.05cm}.$$

Mit $f = f_{\rm G}$ folgt daraus:

$$H_2(f = f_{\rm G}) = \frac{1 - 1 +{\rm j}\cdot 2} {4}= {\rm j} /{2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}{\rm Re} \left\{ H_2(f = f_{\rm G}) \right \} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.4cm} {\rm Im} \left\{ H_2(f = f_{\rm G}) \right \} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Richtig sind die beiden ersten Lösungsvorschläge:

• Da für $t < 0$ die Impulsantwort $h_1(t) = 0$ ist, erfüllt auch die Faltungsoperation $h_2(t) = h_1(t) \star h_1(t)$ die Kausalitätsbedingung. Ebenso ergibt die $n$–fache Faltung eine kausale Impulsantwort:   $h_n(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}.$
• Bei kausaler Impulsantwort $h_2(t)$ hängen aber der Real– und der Imaginärteil der Spektralfunktion $H_2(f)$ über die Hilbert–Transformation zusammen. Mit der Abkürzung $x = f/f_{\rm G}$ und dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) gilt somit:

$$\frac{x^4- x^2}{x^4+2 x^2+1} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad \frac{2x^3}{x^4+2 x^2+1}\hspace{0.05cm}.$$