Aufgaben:Exercise 3.1Z: Triangular PDF: Difference between revisions

From LNTwww
← Older editNewer edit →
Mwiki-lnt (talk | contribs)
546 edits
m Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “
No edit summary
Line 3: Line 3:
}}
}}


[[File:P_ID109__Sto_Z_3_1.png|right|Dreieck-WDF und Kennlinie]]
[[File:P_ID109__Sto_Z_3_1.png|right|frame|Dreieck-WDF und Kennlinie $y(x)$]]
Wir betrachten eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ mit der oben skizzierten WDF. Der Minimalwert des Signals ist $x_{min} = -2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Dagegen ist der maximale Wert $x_{max}$ ein freier Parameter, der Werte zwischen $2\hspace{0.05cm}\rm V$ und $4\hspace{0.05cm} \rm V$ annehmen kann.
Wir betrachten eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ mit der oben skizzierten WDF. Der Minimalwert des Signals ist $x_{\rm min} = -2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Dagegen ist der maximale Wert $x_{\rm max}$ ein freier Parameter, der Werte zwischen $2\hspace{0.05cm}\rm V$ und $4\hspace{0.05cm} \rm V$ annehmen kann.


Die Zufallsgröße $x$ soll hier als der Momentanwert eines Zufallssignals aufgefasst werden. Gibt man dieses Signal $x(t)$ auf einen Amplitudenbegrenzer mit der Kennlinie (siehe untere Skizze)
Die Zufallsgröße $x$ soll hier als der Momentanwert eines Zufallssignals aufgefasst werden. Gibt man dieses Signal $x(t)$ auf einen Amplitudenbegrenzer mit der Kennlinie (siehe untere Skizze)
$$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) &  {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le  x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V},  \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V},  \\\end{array}\right.$$
$$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) &  {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le  x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V},  \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V},  \\\end{array}\right.$$


so entsteht das Signal $y(t)$ bzw. die neue Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$, die in den beiden letzten Teilfragen (5) und (6) betrachtet wird. <br />
so entsteht das Signal $y(t)$ bzw. die neue Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$, die in den beiden letzten Teilfragen '''(5)''' und '''(6)''' betrachtet wird. <br />
 
*F&uuml;r die Teilaufgaben '''(1)''' und '''(2)''' gelte $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $.
* F&uuml;r alle weiteren Teilaufgaben ist $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} $ zu setzen.
 
 
 


F&uuml;r die Teilaufgaben (1) und (2) gelte $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $; f&uuml;r alle weiteren Teilaufgaben ist $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} $ zu setzen.




Line 18: Line 23:
   
   
*Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das folgende Lernvideo:<br />
*Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das folgende Lernvideo:<br />
:[[Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]
::[[Wahrscheinlichkeit_und_WDF_(Lernvideo)|Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]




Line 26: Line 31:
{Es sei $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Berechnen Sie den Parameter $A = f_x(0)$.
{Es sei $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Berechnen Sie den Parameter $A = f_x(0)$.
|type="{}"}
|type="{}"}
$x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$: &nbsp; $A \ =$ { 0.5 3% } $\ \rm 1/V$
$A \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm 1/V$




{Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $|x(t)|$ kleiner als $x_{\rm max}/2$?
{Weiterhin sei $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $|x(t)|$ kleiner als $x_{\rm max}/2$?
|type="{}"}
|type="{}"}
$x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$: &nbsp; ${\rm Pr}(|x| < 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = $  { 0.75 3% }
${\rm Pr}(|x| < 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $  { 0.75 3% }




{Nun gelte $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ zwischen $1\hspace{0.05cm} {\rm V}$ und $3\hspace{0.05cm} {\rm V}$ liegt?
{Nun gelte $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ zwischen $1\hspace{0.05cm} {\rm V}$ und $3\hspace{0.05cm} {\rm V}$ liegt?
|type="{}"}
|type="{}"}
$x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$: &nbsp; ${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V} < x <3\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ =$  { 0.333 3% }
${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V} < x <3\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $  { 0.333 3% }




{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ genau gleich $2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ist?
{Es sei weiterhin $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ genau gleich $2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ist?
|type="{}"}
|type="{}"}
$x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$: &nbsp; ${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ =$ { 0. }
${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $ { 0. }




Line 51: Line 56:




{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ genau gleich $2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ist?
{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit mit $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$, dass $y$ genau gleich $2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ist?
|type="{}"}
|type="{}"}
$x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$: &nbsp; ${\rm Pr}(y =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ =$ { 0.167 3% }
${\rm Pr}(y =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $ { 0.167 3% }




Revision as of 08:37, 8 August 2018

Dreieck-WDF und Kennlinie $y(x)$

Wir betrachten eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ mit der oben skizzierten WDF. Der Minimalwert des Signals ist $x_{\rm min} = -2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Dagegen ist der maximale Wert $x_{\rm max}$ ein freier Parameter, der Werte zwischen $2\hspace{0.05cm}\rm V$ und $4\hspace{0.05cm} \rm V$ annehmen kann.

Die Zufallsgröße $x$ soll hier als der Momentanwert eines Zufallssignals aufgefasst werden. Gibt man dieses Signal $x(t)$ auf einen Amplitudenbegrenzer mit der Kennlinie (siehe untere Skizze) $$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) & {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\\end{array}\right.$$

so entsteht das Signal $y(t)$ bzw. die neue Zufallsgröße $y$, die in den beiden letzten Teilfragen (5) und (6) betrachtet wird.

  • Für die Teilaufgaben (1) und (2) gelte $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $.
  • Für alle weiteren Teilaufgaben ist $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} $ zu setzen.




Hinweise:

  • Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das folgende Lernvideo:
Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion


Fragebogen

1 Es sei $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Berechnen Sie den Parameter $A = f_x(0)$.

$A \ = \ $ $\ \rm 1/V$

2 Weiterhin sei $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $|x(t)|$ kleiner als $x_{\rm max}/2$?

${\rm Pr}(|x| < 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $

3 Nun gelte $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ zwischen $1\hspace{0.05cm} {\rm V}$ und $3\hspace{0.05cm} {\rm V}$ liegt?

${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V} < x <3\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $

4 Es sei weiterhin $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ genau gleich $2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ist?

${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $

5 Es sei weiterhin $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

$y$ ist eine kontinuierliche Zufallsgröße.
$y$ ist eine diskrete Zufallsgröße.
$y$ ist eine gemischt kontinuierlich-diskrete Zufallsgröße.

6 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$, dass $y$ genau gleich $2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ist?

${\rm Pr}(y =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $


Musterlösung

Solution

(1)  Die Fläche unter der WDF muss stets den Wert $1$ ergeben. Daraus folgt: $${A}/{ 2}\cdot {4\hspace{0.5cm}V}=1\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} A \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.5\;{1}/{V}}.$$

Höhe und Fläche der Dreieck-WDF
Höhe und Fläche der Dreieck-WDF

(2)  Mit $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ergibt sich die WDF nach der linken Grafik. Die Schraffierung markiert die gesuchte Wahrscheinlichkeit und man erhält durch einfache geometrische Überlegungen: $${\rm Pr}(|x|<\rm 1\hspace{0.05cm} V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.75}.$$

(3)  Mit $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$ erhält man die rechts dargestellte WDF und den Maximalwert $A = 1/(3\hspace{0.05cm} {\rm V})$. Die schraffierte Fläche gibt wieder die gesuchte Wahrscheinlichkeit an, die man zum Beispiel über das flächengleiche Rechteck bestimmen kann: $${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V}< x<3\hspace{0.05cm} {\rm V})=\rm \frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot 2\hspace{0.05cm} {\rm V}=\hspace{0.15cm}\underline{0.333}.$$

(4)  Diese Wahrscheinlichkeit ist definitionsgemäß gleich null ${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \;\underline {= 0}$, da $x$ eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt.

Gemischt kontinuierlich/diskrete WDF
Gemischt kontinuierlich/diskrete WDF

(5)  Nur die letzte Aussage der vorgegebenen Antworten ist zutreffend:

Die WDF $f_y(y)$ beinhaltet einen kontinuierlichen Anteil, aber auch eine Diracfunktion an der Stelle $y = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ mit dem Gewicht ${\rm Pr}(x >2\hspace{0.05cm} {\rm V})$ .

(6)  Nebenstehend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgröße $y$ dargestellt. Aus der oberen rechten Abbildung zur Teilaufgabe (3) erkennt man den Zusammenhang: $${\rm Pr}( y=2\hspace{0.05cm} {\rm V})) = {\rm Pr}( x> 2\hspace{0.05cm} {\rm V})) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot2{\hspace{0.05cm} {\rm V}} = \hspace{-0.15cm}{1}/{6}\hspace{0.15cm}\underline{=0.167}.$$

Retrieved from "https://en.lntwww.de/index.php?title=Aufgaben:Exercise_3.1Z:_Triangular_PDF&oldid=25893"
Powered by MediaWiki