Aufgaben:Exercise 4.16Z: Multi-dimensional Data Reduction

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Korrelationsmatrizen
$\mathbf{K_y}$ und $\mathbf{K_z}$

Wir betrachten Gaußsche mittelwertfreie Zufallsgrößen $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$ und $\mathbf{z}$ mit den Dimensionen $N= 1$, $N= 2$ und $N= 3$:

• Die eindimensionale Zufallsgröße $\mathbf{x}$ ist durch die Varianz $\sigma^2 = 1$ bzw. die Streuung $\sigma = 1$ charakterisiert.
  Wegen der Dimension $N= 1$ gilt $\mathbf{x} = x$.

• Der Korrelationskoeffizient zwischen den Komponenten $y_1$ und $y_2$ der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$ beträgt $\rho = 1/3$ (siehe Matrix $\mathbf{K_y}$).
  $y_1$ und $y_2$ weisen ebenfalls die Streuung $\sigma = 1$ auf.

• Die Statistik der dreidimensionalen Zufallsgröße $\mathbf{z}$ ist durch die Korrelationsmatrix $\mathbf{K_z}$ vollständig bestimmt.

Quantisiert man die Zufallsgröße $\mathbf{x}$ im Bereich zwischen $-4$ und $+4$  mit Intervallbreite $\Delta_x = 1/32$, so gibt es insgesamt  $N_1 = 256$  unterschiedliche Quantisierungswerte, für deren Übertragung somit  $n_1 = 8\ \rm {Bit}$  benötigt würden.

Analog ergeben sich bei der Zufallsgröße $\mathbf{y}$ insgesamt  $N_2 = 256^2 = 65536$  unterschiedliche quantisierte Wertepaare, wenn man die Korrelation zwischen $y_1$  und  $y_2$ nicht berücksichtigt.

Durch Ausnutzung dieser Korrelation – zum Beispiel durch Koordinatentransformation vom Ursprungsystem $(y_1, y_2)$ zum neuen System $(\eta_1, \eta_2)$ – ergibt sich eine geringere Zahl $N_2\hspace{0.01cm}'$ quantisierter Wertepaare.

• Hierbei ist zu berücksichtigen, dass jede Komponente entsprechend ihrer jeweiligen Streuung ($\sigma_1$ bzw. $\sigma_2$) im Bereich von $-4$ bis $+4$ zu quantisieren ist und die Quantisierungsintervalle in beiden Richtungen gleich sein sollen:   $\Delta_x = \Delta_y =1/32$.

• Den Quotienten $N_2\hspace{0.01cm}'/N_2$ bezeichnen wir als Datenreduktionsfaktor bezüglich der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$.
• In analoger Definition ist $N_3'/N_3$ der entsprechende Reduktionsfaktor der 3D-Zufallsgröße $\mathbf{z}$ für $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32.$
• Anzumerken ist, dass in beiden Fällen ein möglichst kleiner Wert dieses Quotienten günstig wäre.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen.
• Insbesondere wird auf die Seite Eigenwerte und Eigenvektoren Bezug genommen.
• Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten Determinante einer Matrix sowie Inverse einer Matrix.

• Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von $\mathbf{K_z}$ lautet:   $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27} = 0.$
• Eine der drei Lösungen dieser Gleichung ist $\lambda_1 = 5/3$.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die Eigenwerte der Korrelationsmatrix $\mathbf{K_y}$. Es gelte $\lambda_1 \ge \lambda_2$.

$\lambda_1 \ = $ $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$

$\lambda_1 \ = $ $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$

2

Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$?

$N_2'/N_2 \ = $

3

Es gelte $\lambda_1 = 5/3$. Berechnen Sie die Eigenwerte $\lambda_2$ und $\lambda_3 \le \lambda_2$ von $\mathbf{K_z}$.

$\lambda_2 \ = $ $\ (\lambda_2 \ge \lambda_3)$

$\lambda_3 \ = $ $\ (\lambda_3 \le \lambda_2)$

4

Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 3D-Zufallsgröße $\mathbf{z}$?

$N_3'/N_3 \ = $

Musterlösung

Solution

(1)  Aus der Bedingung $\mathbf{K_y} - \lambda \cdot\mathbf{E} = 0$ folgt:

$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc} 1- \lambda & 1/3 \\ 1/3 & 1- \lambda \end{array} \right] = (1-\lambda)^2 -{1}/{9} = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 -2\lambda+ {8}/{9}= 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda_{1/2}= 1 \pm \sqrt{1-{8}/{9}}= 1 \pm {1}/{3}.$$

Die Eigenwerte dieser $2\times2$-Matrix sind somit $\lambda_1 = 4/3\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}$ und $\lambda_2 = 2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.

(2)  Ohne Berücksichtigung von Korrelationen gibt es $N_2 = \left({8}/{ \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$ verschiedene Wertepaare.

• Unter Berücksichtigung der Korrelationen und des Sachverhaltes, dass die beiden durch Koordinatendrehung entstandenen Komponenten $\eta_1$ und $\eta_2$ jeweils im Bereich von $-4\sigma_1$ bis $+4\sigma_1$ (bzw. von $-4\sigma_2$ bis $+4\sigma_2$) zu quantisieren sind, erhält man

$$N_2' = \frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_1}{\it \Delta_x}\cdot\frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_2}{\it \Delta_y}= N_2 \cdot \sigma_1 \cdot \sigma_2 .$$

• Der Quotient lautet somit mit $\sigma_1^2 = \lambda_1$ und $\sigma_2^2 = \lambda_2$:

$${N_2'}/{N_2} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 = \sqrt{{4}/{3}} \cdot \sqrt{{2}/{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.943}.$$

(3)  Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von $\mathbf{K_z}$ lautet:

$${\rm det} \left[ \begin{array}{ccc} 1-\lambda & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 1-\lambda & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 1-\lambda \end{array}\right] = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}(1- \lambda) \left[(1- \lambda)^2 - \frac{1}{9} \right]- \frac{1}{3} \left[\frac{1}{3}(1- \lambda) - \frac{1}{9} \right] + \frac{1}{3} \left[\frac{1}{9} - \frac{1}{3}(1- \lambda) \right] = 0$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(1- \lambda) (\lambda^2 -2\lambda+ \frac{8}{9})- \frac{1}{9} (\frac{2}{3}- \lambda )+ \frac{1}{9} ( \lambda - \frac{2}{3})= 0$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 - 2\lambda + \frac{8}{9} - \lambda^3 + 2 \lambda^2 - \frac{8}{9}\lambda - \frac{4}{27} + \frac{2}{9}\lambda = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^3 - 3 \lambda^2 + \frac{24}{9}\lambda - \frac{20}{27} = 0.$$

Diese Gleichung wurde bereits als Lösungshinweis angegeben, ebenso wie eine der Lösungen:   $\lambda_1= 5/3$. Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die weiteren Eigenwerte $\lambda_2$ und $\lambda_3$ zu

$$\frac{\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27}}{\lambda -{5}/{3}} = \lambda^2 - {4}/{3} \cdot \lambda + {4}/{9} =0.$$

Diese Bestimmungsgleichung lässt sich wie folgt umformen: $(\lambda - {2}/{3})^2 =0.$

Die weiteren Eigenwerte neben $\lambda_1= 5/3$ sind somit gleich und ergeben sich zu $\lambda_2 = \lambda_3 =2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.

(4)  Analog zur Vorgehensweise in der Teilaufgabe (2) ergibt sich hier:

$${N_3'}/{N_3} = \sqrt{\lambda_1 \cdot \lambda_2\cdot \lambda_3} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{20}{27}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.861}.$$