Aufgaben:Exercise 4.2: Triangle Area again

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Dreieckiges 2D-Gebiet und die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten

Wir betrachten die gleiche Zufallsgröße ($x$, $y$) wie in der Aufgabe 4.1:

• In einem durch die Eckpunkte $(0,\ 1)$, $(4,\ 3)$ und $(4,\ 5)$ definierten Gebiet $D$ sei die 2D–WDF $f_{xy} (x, y) = 0.25$.
• Außerhalb dieses in der Grafik rot markierten Definitionsgebietes $D$ gibt es keine Werte.

Weiterhin sind in der Grafik die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten bezüglich den Größen $x$ und $y$ eingezeichnet, die bereits in der Aufgabe 4.1 ermittelt wurden.

Daraus lassen sich mit den Gleichungen des Kapitels Erwartungswerte und Momente die Kenngrößen der beiden Zufallsgrößen bestimmen:

$$m_x=8/3 ,\hspace{0.5cm} \sigma_x=\sqrt{8/9},$$

$$ m_y= 3,\hspace{0.95cm} \sigma_y = \sqrt{\rm 2/3}.$$

Aufgrund der Tatsache, dass das Definitionsgebiet $D$ durch zwei Gerade $y_1(x)$ und $y_2(x)$ begrenzt ist, kann hier das gemeinsame Moment erster Ordnung wie folgt berechnet werden.

$$m_{xy}={\rm E}\big[x\cdot y\big]=\int_{x_{1}}^{x_{2}}x\cdot \int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}y \cdot f_{xy}(x,y) \, \,{\rm d}y\, {\rm d}x.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Zufallsgrößen.
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Erwartungswerte und Momente.

Fragebogen

1

Wie lauten die Grenzgeraden des inneren Integrals zur $m_{xy}$–Berechnung?

	$y_1(x) = x+1, $     $y_2(x) = 2x+1.$
	$y_1(x) = x/2+1, $     $y_2(x) = x+1.$
	$y_1(x) = x-1, $     $y_2(x) = 2x+1.$

2

Berechnen Sie das gemeinsame Moment $m_{xy}$ gemäß dem Doppelintegral auf der Angabenseite.
Hinweis:  Setzen Sie $x_1 = 0$ und $x_2 = 4$ .

$m_{xy} \ = \ $

3

Welcher Wert ergibt sich für die Kovarianz $\mu_{xy}$ ?

$\mu_{xy}\ = \ $

4

Wie groß ist der Korrelationskoeffizient $\rho_{xy}$?

$\rho_{xy}\ = \ $

5

Wie lautet die Gleichung der Korrelationsgeraden $y = K(x)$? An welcher Stelle $y_0$ schneidet die Gerade die $y$-Achse?
Zeigen Sie, dass die Korrelationsgerade auch durch den Punkt $(m_x, m_y)$ geht.

$y_0\ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist der mittlere Vorschlag:

• Sowohl $y_1(x)$ als auch $y_2(x)$ schneiden die $y$-Achse bei $y= 1$.
• Die untere Begrenzungslinie hat die Steigung $0.5$, die obere die Steigung $1$.

(2)  Entsprechend den Hinweisen erhalten wir:

$$m_{xy}=\int_{\rm 0}^{\rm 4} x \cdot \int_{\it x/\rm 2 +\rm 1}^{\it x+\rm 1} {1}/{4}\cdot y \, \,{\rm d}y\,\, \, {\rm d}x = {1}/{8}\cdot \int_{\rm 0}^{\rm 4} x\cdot[( x+ 1)^{\rm 2}- ({ x}/{2}+1)^{\rm 2} ] \,\, {\rm d}x.$$

Dies führt zum Integral bzw. Endergebnis:

$$m_{xy}={1}/{8}\int_{\rm 0}^{\rm 4}(\rm\frac{3}{4}\it x^{\rm 3}{\rm +}\it x^{\rm 2}\rm )\,{\rm d}x = \rm \frac{1}{8} \cdot (\frac{3}{16}\cdot 4^4+\rm \frac{4^3}{3})=\frac{26}{3}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 8.667}.$$

(3)  Da beide Zufallsgrößen jeweils einen Mittelwert ungleich $0$ besitzen, folgt für die Kovarianz:

$$\it \mu_{xy}=\it m_{xy}-m_{x}\cdot m_{y}=\frac{\rm 26}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm 3}\cdot\rm 3={2}/{3} \hspace{0.15cm}\underline{=0.667}.$$

(4)  Mit den angegebenen Streuungen erhält man:

$$\rho_{xy}=\frac{\mu_{xy}}{\sigma_{x}\cdot\sigma_{y}}=\frac{{\rm 2}/{\rm 3}}{\sqrt{{\rm 8}/{\rm 9}}\cdot\sqrt{{\rm 2}/{\rm 3}}}=\sqrt{0.75}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.866}.$$

(5)  Für die Korrelationsgerade (KG) gilt allgemein:

$$ y-m_{y}=\rho_{xy}\cdot\frac{\sigma_{y}}{\sigma_ {x}}\cdot(x-m_{x}).$$

Mit den oben berechneten Zahlenwerten erhält man $$y={\rm 3}/{\rm 4}\cdot x +\rm 1.$$

Die Korrelationsgerade schneidet die $y$-Achse bei $\underline{y=1}$ und geht auch durch den Punkt $(4, 4)$. Jedes andere Ergebnis wäre auch nicht zu interpretieren, wenn man das Definitionsgebiet betrachtet:

• Setzt man $m_x = 8/3$ ein, so erhält man $y = m_y = 3$.
• Das heißt: Die berechnete Korrelationsgerade geht tatsächlich durch den Punkt $(m_x, m_y)$, wie es die Theorie besagt.