Aufgaben:Exercise 4.14: Phase Progression of the MSK

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Quellensignal und Tiefpass–Signale
in den beiden Zweigen der MSK

Eine Realisierungsmöglichkeit für Minimum Shift Keying (MSK) bietet die Offset–QPSK, wie aus dem  Blockschaltbild  im Theorieteil hervorgeht.

• Hierzu ist zunächst eine Umcodierung der Quellensymbole  $q_k ∈ \{+1, –1\}$  in die ebenfalls binären Amplitudenkoeffizienten  $a_k ∈ \{+1, –1\}$  vorzunehmen.
• Diese Umcodierung wird in der  Aufgabe 4.14Z  eingehend behandelt.

Die Grafik zeigt unten die beiden äquivalenten Tiefpass–Signale  $s_{\rm I}(t)$  und  $s_{\rm Q}(t)$  in den beiden Zweigen, die sich nach der Umcodierung  $a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $  aus dem oben skizzierten Quellensignal  $q(t)$  für den Inphase– und den Quadraturzweig ergeben. Berücksichtigt ist hierbei der MSK–Grundimpuls

$$ g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Dieser ist ebenso wie die Signale  $s_{\rm I}(t)$  und  $s_{\rm Q}(t)$  auf  $1$  normiert.

Für das äquivalente Tiefpass–Signal gilt entsprechend dem Kapitel  Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion  im Buch „Signaldarstellung”:

$$ s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}\hspace{0.05cm},$$

mit dem Betrag

$$|s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{s_{\rm I}^2(t) + s_{\rm Q}^2(t)} $$

und der Phase

$$ \phi(t) = {\rm arc} \hspace{0.15cm}s_{\rm TP}(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} \hspace{0.05cm}.$$

Das physikalische MSK–Sendesignal ergibt sich dann zu

$$ s(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Nichtlineare digitale Modulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt  Realisierung der MSK als Offset-QPSK.

• Gehen Sie davon aus, dass  $ϕ(t = 0) = ϕ_0 = 0$  ist.

Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die Hüllkurve  $|s_{\rm TP}(t)|$  der MSK?

	Die Hüllkurve schwankt cosinusförmig.
	Die Hüllkurve ist konstant.
	Die Hüllkurve ist unabhängig von der gesendeten Folge.

2

Es gelte  $T = 1 \ \rm µs$. Berechnen Sie den Phasenverlauf im Intervall  $0 ≤ t ≤ T$.
Welche Phasenwerte ergeben sich für  $t = T/2$  und  $t = T$?

$ϕ(t = T/2)\ = \ $ $\ \rm Grad$

$ϕ(t = T) \hspace{0.63cm} = \ $ $\ \rm Grad$

3

Bestimmen Sie die Phasenwerte bei  $t = 2T$,  $t = 3T$  und  $t = 4T$.

$ϕ(t = 2T) \ = \ $ $\ \rm Grad$

$ϕ(t = 3T) \ = \ $ $\ \rm Grad$

$ϕ(t = 4T) \ = \ $ $\ \rm Grad$

4

Skizzieren und interpretieren Sie den Phasenverlauf  $ϕ(t)$  im Bereich von  $0$  bis  $8T$.
Welche Phasenwerte ergeben sich zu den folgenden Zeiten?

$ϕ(t = 5T) \ = \ $ $\ \rm Grad$

$ϕ(t = 6T) \ = \ $ $\ \rm Grad$

$ϕ(t = 7T) \ = \ $ $\ \rm Grad$

$ϕ(t = 8T) \ = \ $ $\ \rm Grad$

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Beispielsweise gilt im Bereich $0 ≤ t ≤ T$, wenn man berücksichtigt, dass $a_0^2 = a_1^2 = 1$ ist:

$$ |s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{a_0^2 \cdot \cos^2 (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) + a_1^2 \cdot \sin^2 (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})} = 1 \hspace{0.05cm}.$$

• Richtig ist damit die Aussage 2, während die Aussage 1 falsch.
• Dieses Ergebnis gilt für jedes Wertepaar $a_0$ ∈ {+1, –1} und $a_1 ∈ {+1, –1}$.
• Daraus kann weiter geschlossen werden, dass die Hüllkurve unabhängig von der gesendeten Folge ist.

(2)  Mit der angegebenen Gleichung gilt:

$$\phi(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{a_1 \cdot \sin (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})}{a_0 \cdot \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})}= {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\left [ \frac{a_1}{a_0}\cdot \tan \hspace{0.1cm}(\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})\right ] \hspace{0.05cm}.$$

Der Quotient $a_1/a_0$ ist stets $+1$ oder $-1$. Damit kann dieser Quotient vorgezogen werden und man erhält:

$$\phi(t) = \frac{a_1}{a_0}\cdot {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\left [ \tan \hspace{0.1cm}(\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})\right ]= \frac{a_1}{a_0}\cdot \frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T} \hspace{0.05cm}.$$

Durch die Anfangsphase $ϕ_0 = 0$ können Mehrdeutigkeiten ausgeschlossen werden. Insbesondere gilt mit $a_0 = a_1 = +1$:

$$\phi(t = T/2 = 0.5\,{\rm \mu s}) = {\pi}/{4}\hspace{0.15cm}\underline { = +45^\circ},\hspace{0.2cm}\phi(t = T= 1\,{\rm \mu s}) = {\pi}/{2}\hspace{0.15cm}\underline {= +90^\circ} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Am einfachsten löst man diese Aufgabe unter Zuhilfenahme des Einheitskreises:

$$ {\rm Re} = s_{\rm I}(2T) = +1, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(2T) = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = 2T= 2\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ},$$

$$ {\rm Re} = s_{\rm I}(3T) = 0, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(3T) = -1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = 3T= 3\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= -90^\circ},$$

$${\rm Re} = s_{\rm I}(4T) = -1, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(4T) = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = 4T= 4\,{\rm \mu s})= \pm 180^\circ \hspace{0.05cm}.$$

Aus der unteren Skizze erkennt man, dass $\phi(t = 4T= 4\,{\rm \mu s})\hspace{0.15cm}\underline { = - 180^\circ}\hspace{0.05cm}$ richtig ist.

Quellensignal und Phasenverlauf bei MSK

(4)  Die Grafik zeigt die MSK–Phase $ϕ(t)$ zusammen mit dem Quellensignal $q(t)$. Man erkennt:

• Beim Quellensymbol $a_\nu =+1$ steigt die Phase innerhalb der Symboldauer $T$ linear um $90^\circ \ (π/2)$ an.
• Beim Quellensymbol $a_\nu =-1$ fällt die Phase innerhalb der Symboldauer $T$ linear um $90^\circ \ (π/2)$ ab.

Die weiteren Phasenwerte sind somit:

$$\phi(5T) \hspace{0.15cm}\underline { = -90^\circ},\hspace{0.2cm}\phi(t = 6T) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ} \hspace{0.05cm}.$$

$$ \phi(7T)\hspace{0.15cm}\underline { = -90^\circ},\hspace{0.2cm} \phi(t = 8T) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ} \hspace{0.05cm}.$$