Aufgaben:Exercise 1.2: Signal Classification

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Vorgegebene Signalverläufe

Nebenstehend sind drei Signalverläufe dargestellt:

• Das blaue Signal  \(x_1(t)\)  wird zum Zeitpunkt  $t = 0$  eingeschaltet und besitzt für  $t > 0$  den Wert  $1\,\text{V}$.
• Das rote Signal  \(x_2(t)\)  ist für  $t < 0$  identisch Null, springt bei  $t = 0$  auf  $1\,\text{V}$  und fällt danach mit der Zeitkonstanten  $1\,\text{ms}$  ab. Für  $t > 0$  gilt:

\[x_2(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {t}/(1\,\text{ms})}.\]

• Entsprechend gilt für das grün dargestellte Signal für alle Zeiten  $t$:

\[x_3(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/(1\,\text{ms})}.\]

Diese drei Signale sollen nun von Ihnen nach den folgenden Kriterien klassifiziert werden:

• deterministisch bzw. stochastisch,
• kausal bzw. akausal,
• energiebegrenzt bzw. leistungsbegrenzt,
• wertkontinuierlich bzw. wertdiskret,
• zeitkontinuierlich bzw. zeitdiskret.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Klassifizierung von Signalen.

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Alle hier betrachteten Signale sind deterministisch.
	Alle hier betrachteten Signale sind von stochastischer Natur.
	Es handelt sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
	Es handelt sich stets um wertkontinuierliche Signale.

2

Welche Signale sind gemäß der Definition im Theorieteil kausal?

	\(x_1(t)\),
	\(x_2(t)\),
	\(x_3(t)\).

3

Berechnen Sie die auf den Einheitswiderstand  $R = 1\ Ω$  bezogene Energie  \(E_2\)  des Signals  \(x_2(t)\).
Wie groß ist die Leistung  \(P_2\)  dieses Signals?

\(E_2 \ = \ \) $\ \cdot 10^{-3}\,\text{V}^2\text{s}$

\(P_2 \ = \ \) $\ \cdot \text{Vs}$

4

Welche der Signale besitzen eine endliche Energie?

	\(x_1(t)\),
	\(x_2(t)\),
	\(x_3(t)\).

Musterlösung

Solution

(1)  Zutreffend sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

• Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden; sie sind deshalb auch deterministisch.
• Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten $t$ eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten. Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
• Die Signalamplituden von \(x_2(t)\) und \(x_3(t)\) können alle beliebigen Werte zwischen $0$ und $1\,\text{V}$ annehmen; sie sind deshalb wertkontinuierlich.
• Dagegen sind beim Signal \(x_1(t)\) nur die zwei Signalwerte $0$ und $1\,\text{V}$ möglich, und es liegt ein wertdiskretes Signal vor.

(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

• Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten $t < 0$ nicht existiert bzw. identisch $0$ ist. Dies gilt für die Signale \(x_1(t)\) und \(x_2(t)\).
• Dagegen gehört \(x_3(t)\) zur Klasse der akausalen Signale.

(3)  Nach der allgemeinen Definition gilt:

\[E_2=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x^2_2(t)\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t.\]

Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze $0$ und die obere Integrationsgrenze $+\infty$. Man erhält:

\[E_2=\int^\infty_0 (1{\rm V})^2\cdot{\rm e}^{-2t/(1\rm ms)}\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 5 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm} \rm V^2s \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} \rm V^2s}. \]

Bei endlicher Energie ist die zugehörige Leistung stets verschwindend klein. Daraus folgt $P_2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Wie bereits in der letzten Teilaufgabe berechnet wurde, besitzt \(x_2(t)\) eine endliche Energie: 

$$E_2= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}. $$

• Die Energie des Signals \(x_3(t)\) ist doppelt so groß, da nun der Zeitbereich $t < 0$ den gleichen Beitrag liefert wie der Zeitbereich $t > 0$. Also ist

$$E_3= 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}.$$

• Beim Signal \(x_1(t)\) divergiert das Energieintegral: $E_1 \rightarrow \infty$. Dieses Signal weist eine endliche Leistung auf  ⇒  $P_1= 0.5 \hspace{0.1cm} {\rm V}^2$ und ist dementsprechend leistungsbegrenzt.
• Das Ergebnis berücksichtigt, dass das Signal \(x_1(t)\) in der Hälfte der Zeit ($t < 0$) identisch $0$ ist.