Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu $s_0 = 2$ gesetzt wird (siehe Grafik).
Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu $s_0 = 2$ gesetzt wird (siehe Grafik).
Ersetzt man in dieser Gleichung die Cosinus– durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal
Ersetzt man die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]] ⇒ Ortskurve überprüfen.
*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]] ⇒ Ortskurve überprüfen.
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<quiz display=simple>
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{Wie lautet die Betragsfunktion $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$? Welcher Wert gilt für $t = 0$?
{Wie lautet die Betragsfunktion $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$? Welcher Wert gilt für $t = 0$?
|type="{}"}
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$a(t = 0)\ = \ $ { 2 3% }
$a(t = 0)\ = \ $ { 2 3% }
{Zwischen welchen Extremwerten $\phi_{\rm min}$ und $\phi_{\rm max}$ schwankt die Phase $\phi (t)$?
+ Bei einem Rechtecksignal $q(t)$ (mit nur zwei möglichen Signalwerten $\pm 0.5$) entartet die Ortskurve zu zwei Punkten.
+ Bei einem Rechtecksignal $q(t)$ $($mit nur zwei möglichen Signalwerten $\pm 0.5)$ entartet die Ortskurve zu zwei Punkten.
+ Mit den Signalwerten $\pm 1$ ($q_{\rm min} = -0.5$ ist dann nicht mehr gültig) entartet die Ortskurve zu einem Punkt: $s_{\rm TP}(t) = -s_0$.
+ Mit den Signalwerten $\pm 1$ $(q_{\rm min} = -0.5$ ist dann nicht mehr gültig$)$ entartet die Ortskurve zu einem Punkt: $s_{\rm TP}(t) = -s_0$.
Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu $s_0 = 2$ gesetzt wird (siehe Grafik).
Ersetzt man die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal
\omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t + \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t)) }.$$
Daraus kann man das in der Grafik skizzierte äquivalente Tiefpass-Signal wie folgt berechnen:
(3) Allgemein gilt hier der Zusammenhang $s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}
\phi(t)}.$ Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert:
$$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$
Der maximale Phasenwert $\phi_{\rm max} = +\pi \; \Rightarrow \; {180^\circ}$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3.14}$.
Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{\rm min} = -\pi /2$ und $q_{\rm min} = -0.5$ bestätigt.
Ortskurve (Phasendiagramm) beim Rechtecksignal
(4) Richtig sind der zweite und der dritte Lösungsvorschlag:
Ist $q(t) = \text{const.} =-0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant:
Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und zu $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$.
Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, dann besteht die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern.
Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $-\pi$, die aber identisch sind.
Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: &bsp; $s_{\rm TP}(t) = - s_0$ ⇒ das Signal $s(t)$ ist für alle Zeiten $t$ „minus-cosinusförmig”.
