Aufgaben:Exercise 5.1Z: Sampling of Harmonic Oscillations

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Drei harmonische Schwingungen gleicher Frequenz  $f_0$  und gleicher Amplitude  $A$

Wir betrachten drei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude:

$$x_1(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t) \hspace{0.05cm}, $$

$$ x_2(t) = A \cdot \sin (2 \pi \cdot f_0 \cdot t) \hspace{0.05cm}, $$

$$ x_3(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - 60^{\circ}) \hspace{0.05cm}.$$

Die Schwingungsparameter  $f_0$  und  $A$  können Sie der Grafik entnehnen.

Angenommen wird, dass die Signale äquidistant zu den Zeitpunkten  $\nu \cdot T_{\rm A}$  abgetastet werden, wobei die Parameterwerte  $T_{\rm A} = 80 \ µ \text{s}$  und  $T_{\rm A} = 100 \ µ \text{s}$  analysiert werden sollen.

Die Signalrekonstruktion beim Empfänger erfolgt durch einen Tiefpass  $H(f)$, der aus dem abgetasteten Signal  $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$  das Signal  $y(t)$  formt. Es gelte:

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0.5 \\

0  \\  \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}}

\\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |f| < f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\ |f| = f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\ |f| > f_{\rm G} \hspace{0.05cm}, \\ \end{array}$$ Hierbei gibt  $f_{\rm G}$  die Grenzfrequenz des rechteckförmigen Tiefpassfilters an. Für diese soll gelten:

$$f_{\rm G} = \frac{1}{ 2 \cdot T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$

Das Abtasttheorem ist erfüllt, wenn  $y(t) = x(t)$  gilt.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Zeitdiskrete Signaldarstellung.

• Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  Abtastung periodischer Signale & Signalrekonstruktion

Fragebogen

1 Wie groß sind Amplitude und Frequenz der Signale  $x_1(t)$,  $x_2(t)$  und  $x_3(t)$?

$A \hspace{0.25cm} = \ $  $\text{V}$

$f_0\hspace{0.2cm} = \ $  $\text{kHz}$

2 Bei welchen Eingangssignalen ist das Abtasttheorem erfüllt   ⇒   $y(t) = x(t)$, wenn  $\underline{T_{\rm A} = 80 \ {\rm µ} \text{s}}$  beträgt?

	$x_1(t)$,
	$x_2(t)$,
	$x_3(t)$.

3 Wie lautet das rekonstruierte Signal  $y_1(t) = A_1 \cdot \cos (2\pi f_0 t – \varphi_1)$  mit dem Abtastabstand  $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$? Interpretieren Sie das Ergebnis.

$A_1\hspace{0.2cm} = \ $  $\text{V}$

$\varphi_1\hspace{0.2cm} = \ $  $\text{Grad}$

4 Welche Amplitude  $A_2$  besitzt das rekonstruierte Signal  $y_2(t)$, wenn das Sinussignal  $x_2(t)$  anliegt? Es gelte weiterhin  $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$.

$A_2\hspace{0.2cm} = \ $  $\text{V}$

5 Welche Amplitude  $A_3$  besitzt das rekonstruierte Signal  $y_3(t)$, wenn das Signal  $x_3(t)$  anliegt? Es gelte weiterhin  $\underline{T_{\rm A} = 100 \ {\rm µ} \text{s}}$.

$A_3\hspace{0.2cm} = \ $  $\text{V}$

Musterlösung

Solution

(1)  Aus der Grafik erkennt man die Amplitude $\underline{A = 2\ \text{V}}$ sowie die Periodendauer $T_0 = 0.2 \ \text{ms}$. Daraus ergibt sich die Signalfrequenz $f_0 = 1/T_0 \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$.

(2)  Richtig sind alle Löungsvorschläge:

• Die Abtastrate ist hier $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 12.5 \ \text{kHz}$.
• Dieser Wert ist größer als $2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.
• Damit ist das Abtasttheorem unabhängig von der Phase erfüllt, und es gilt stets $y(t) = x(t)$.

Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals – Realteil und Imaginärteil

(3)  Die Abtastrate beträgt nun $f_{\rm A} = 2 \cdot f_0 = 10 \ \text{kHz}$.

• Nur im Sonderfall des Cosinussignals ist nun das Abtasttheorem erfüllt und es gilt:

$$y_1(t) = x_1(t)$   ⇒   $A_1 \; \underline{=2 \ \text{V}} \text{ und }\varphi_1 \; \underline{= 0}.$$

Dieses Ergebnis soll nun noch mathematisch hergeleitet werden, wobei im Hinblick auf die noch anstehenden Teilaufgaben bereits auch eine Phase $\varphi$ im Eingangssignal berücksichtigt wird:

$$x(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t - \varphi)

\hspace{0.05cm}.$$

Dann gilt für die Spektralfunktion, die in der oberen Grafik skizziert ist:

$$X(f) = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}

\cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot  \delta
(f+ f_{\rm 0} ) + {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}
\cdot \hspace{0.05cm} \varphi} \cdot  \delta
(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$

Mit den Abkürzungen

$$R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}

\cos(\varphi) \hspace{0.5cm}{\rm und} \hspace{0.5cm}I ={A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin(\varphi)$$ kann hierfür auch geschrieben werden:

$$X(f) = (R + {\rm j} \cdot I) \cdot \delta

(f+ f_{\rm 0} ) + (R - {\rm j} \cdot I) \cdot  \delta
(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}.$$

Das Spektrum des mit $f_{\rm A} = 2f_0$ abgetasteten Signals $x_{\rm A}(t)$ lautet somit:

$$X_{\rm A}(f) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm A}

)= \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- 2\mu \cdot f_{\rm 0}
)\hspace{0.05cm}.$$

• Die untere Grafik zeigt, dass $X_{\rm A}(f)$ aus Diracfunktionen bei $\pm f_0$, $\pm 3f_0$, $\pm 5f_0$, usw. besteht.
• Alle Gewichte sind rein reell und gleich $2 \cdot R$.
• Die Imaginärteile des periodisch fortgesetzten Spektrums heben sich auf.

Berücksichtigt man weiter den rechteckförmigen Tiefpass, dessen Grenzfrequenz exakt bei $f_{\rm G} = f_0$ liegt, sowie $H(f_{\rm G}) = 0.5$, so erhält man für das Spektrum nach der Signalrekonstruktion:

$$Y(f) = R \cdot \delta

(f+ f_{\rm 0} ) + R  \cdot  \delta
(f- f_{\rm 0} )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} R = {A}/{2} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}

\cos(\varphi)\hspace{0.05cm}.$$ Die Fourierrücktransformation führt auf

$$y(t) = A \cdot \cos (\varphi)\cdot \cos (2 \pi \cdot f_0 \cdot t )

\hspace{0.05cm}.$$

• Es ergibt sich also unabhängig von der Eingangsphase $\varphi$ ein cosinusförmiger Verlauf.
• Ist $\varphi = 0$ wie beim Signal $x_1(t)$, so ist auch die Amplitude des Ausgangssignals gleich $A$.

Rekonstruktion eines abgetasteten Sinussignals

(4)  Das Sinussignal hat die Phase $90^\circ$. Daraus folgt direkt $y_2(t) = 0$   ⇒   Amplitude $\underline{A_2 = 0}$.

• Dieses Ergebnis wird verständlich, wenn man sich die Abtastwerte in der Grafik betrachtet.
• Alle Abtastwerte (rote Kreise) sind $0$, so dass auch nach dem Filter kein Signal vorhanden sein kann.

Rekonstruktion einer harmonischen Schwingung mit $60^\circ$ Phase

(5)  Trotz $\varphi = 60^\circ$ gilt $\varphi_3 = 0$   ⇒   auch das rekonstruierte Signal $y_3(t)$ ist cosinusförmig. Die Amplitude ist gleich

$$A_3 = A \cdot \cos (60^{\circ})= {A}/{2} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm V}}

\hspace{0.05cm}.$$

• Wenn Sie die rot eingezeichneten Abtastwerte in der Grafik betrachten, so werden Sie zugeben, dass Sie als „Signalrekonstrukteur” keine andere Entscheidung treffen würden als der Tiefpass.
• Sie kennen ja den türkisfarbenen Verlauf nicht.