Aufgaben:Exercise 3.3Z: Moments for Triangular PDF

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Zweimal dreieckförmige WDF

Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei Zufallssignale $x(t)$ und $y(t)$ mit jeweils dreieckförmiger WDF, nämlich

• die einseitige Dreieck-WDFgemäß der oberen Grafik:

$$f_x(x)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 0.5 \cdot (1-{ x}/{\rm 4}) & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}{\rm 0 \le {\it x} \le 4},\\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right.$$

• die zweiseitige Dreieck-WDF gemäß der unteren Grafik:

$$ f_y(y)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 0.25 \cdot (1-{ |y|}/{\rm 4}) & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}{ -4 \le {\it y} \le \rm 4},\\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right.$$

Berücksichtigen Sie zur Lösung dieser Aufgabe die Gleichung für die Zentralmomente:

$$\mu_k=\sum\limits_{\kappa = \rm 0}^{\it k}\left({k} \atop {\kappa}\right)\cdot m_k\cdot(-m_{\rm 1})^{k - \kappa}.$$

Im Einzelnen ergeben sich mit dieser Gleichung folgende Ergebnisse:

$$\mu_{\rm 1}=0,\hspace{0.5cm}\mu_{\rm 2}=\it m_{\rm 2}-\it m_{\rm 1}^{\rm 2},\hspace{0.5cm}\mu_{\rm 3}=\it m_{\rm 3}-\rm 3\cdot\it m_{\rm 2}\cdot \it m_{\rm 1} {\rm +}\rm 2\cdot\it m_{\rm 1}^{\rm 3},$$

$$\mu_{\rm 4}=\it m_{\rm 4}-\rm 4\cdot\it m_{\rm 3}\cdot \it m_{\rm 1}\rm +6\cdot\it m_{\rm 2}\cdot\it m_{\rm 1}^{\rm 2}-\rm 3\cdot\it m_{\rm 1}^{\rm 4}.$$

Aus den Zentralmomenten höherer Ordnung kann man unter anderem ableiten:

• die Charliersche Schiefe $S = {\mu_3}/{\sigma^3}\hspace{0.05cm},$

• die Kurtosis $K = {\mu_4}/{\sigma^4}\hspace{0.05cm}.$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erwartungswerte und Momente.

Fragebogen

1

Berechnen Sie aus der vorliegenden WDF $f_x(x)$ das Moment $k$-ter Ordnung.
Welcher Wert ergibt sich für den linearen Mittelwert $m_x = m_1$?

$m_x \ = \ $

2

Wie groß sind der quadratische Mittelwert und die Streuung $\sigma_x$ der Zufallsgröße $x$?

$\sigma_x\ = \ $

3

Wie groß ist bei der Zufallsgröße $x$ die Charliersche Schiefe $S_x = \mu_3/\sigma_x^3$?   Warum ist $S_x \ne 0$?

$S_x \ = \ $

4

Welche Aussagen treffen für die symmetrisch verteilte Zufallsgröße $y$ zu?

	Alle Momente mit ungeradzahligem $k$  sind $m_k =0$.
	Alle Momente mit geradzahligem $k$  sind $m_k =0$.
	Alle Momente $m_k$  mit geradzahligem $k$  sind wie in der Teilaufgabe (1) berechnet.
	Die Zentralmomente $\mu_k$ sind gleich den Momenten $m_k$.

5

Berechnen Sie die Streuung der Zufallsgröße $y$.

$\sigma_y \ = \ $

6

Welcher Wert ergibt sich für die Kurtosis $K_y$ der Zufallsgröße $y$?   Interpretieren Sie das Ergebnis.

$K_y \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Für das Moment $k$–ter Ordnung der Zufallsgröße $x$ gilt:

$$m_k=1/2\cdot \int_{\rm 0}^{\rm 4} x^k\cdot ( 1-\frac{\it x}{\rm 4}) \hspace{0.1cm}{\rm d}x.$$

Dies führt zu dem Ergebnis:

$$m_k=\frac{x^{ k+ 1}}{ 2\cdot ( k+ 1)}\Bigg|_{\rm 0}^{\rm 4}-\frac{x^{ k+2}}{8\cdot ( k+2)}\Bigg|_{\rm 0}^{\rm 4}=\frac{\rm 2\cdot \rm 4^{\it k}}{(\it k\rm +1)\cdot (\it k\rm + 2)}.$$

Daraus erhält man für den linearen Mittelwert $(k= 1)$:

$$m_x=\rm {4}/{3}\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}.$$

(2)  Der quadratische Mittelwert $(k= 2)$ beträgt $m_2 = 8/3$. Daraus folgt mit dem Satz von Steiner:

$$\sigma_x^{\rm 2}={8}/{3}-({4}/{3})^2=\rm {8}/{9}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} \sigma_x\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.943}.$$

(3)  Mit  $m_1 = 4/3$,  $m_2 = 8/3$ und  $m_3 = 32/5$ erhält man mit der angegebenen Gleichung für das Zentralmoment dritter Ordnung:   $\mu_3 = 64/135 \approx 0.474$.
Daraus folgt für die Charliersche Schiefe:

$$S_x=\rm \frac{64/135}{\Big(\sqrt {8/9}\Big)^3}=\frac{\sqrt{8}}{5}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.566}.$$

Aufgrund der unsymmetrischen WDF ist $S_x \ne 0$.

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

• Bei symmetrischer WDF sind alle ungeraden Momente Null, unter anderem auch der Mittelwert $m_y$.
• Deshalb gibt es hinsichtlich der Zufallsgröße $y$ keinen Unterschied zwischen den Momenten $m_k$ und den Zentralmomenten $\mu_k$.
• Die Momente $m_k$ mit geradzahligem $k$ sind für die Zufallsgrößen $x$ und $y$ gleich. Offensichtlich wird dies an den Zeitmittelwerten.
• Da $x^2(t) = y^2(t)$, sind für $k = 2n$ auch die Momente gleich:

$$m_k=m_{2 n}=\ \text{...}\int [x^2(t)]^n \hspace{0.1cm}{\rm d} x=\ \text{...}\int [y^2(t)]^n \hspace{0.1cm}{\rm d} y.$$

(5)  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) gilt:

$$m_2=\mu_{\rm 2}=\sigma_y^2=\rm {8}/{3} = 2.667\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma_y\hspace{0.15cm}\underline{=1.633}.$$

(6)  Das Zentralmoment vierter Ordnung ist bei symmetrischer WDF gleich dem Moment $m_4$.
Aus der in Teilaufgabe (1) berechneten allgemeinen Gleichung erhält man $\mu_4 = 256/15.$ Daraus folgt für die Kurtosis:

$$K_y=\frac{\mu_{\rm 4}}{\sigma_y^{\rm 4}}=\rm \frac{256/15}{(8/3)^2}\hspace{0.15cm}\underline{=2.4}.$$

Hinweis:   Dieser Zahlenwert gilt für die Dreieck-WDF allgemein und liegt zwischen den Kurtosiswerten von Gleichverteilung $(K = 1.8)$ und Gaußverteilung $(K = 3)$. Dies ist eine quantitative Bewertung der Tatsache, dass hier

• die Ausläufer ausgeprägter sind als bei einer gleichverteilten Zufallsgröße,
• aber aufgrund der Begrenzung weniger stark als bei Gaußschen Größen.

Anschließend soll noch nachgewiesen werden, dass auch die unsymmetrische Dreieck-WDF $f_x(x)$ entsprechend der oberen Skizze auf dem Angabenblatt die gleiche Kurtosis besitzt:

$$\mu_{ 4} = m_{\rm 4}- 4\cdot m_{\rm 3}\cdot m_{\rm 1}+ 6\cdot m_{\rm 2}\cdot m_{\rm 1}^{\rm 2}- 3\cdot m_{\rm 1}^{\rm 4}= \frac{256}{15} - 4 \cdot \frac{32}{5}\cdot \frac{4}{3} + 6 \cdot \frac{8}{3}\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 -3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^4 =\frac{256}{15 \cdot 9}$$

Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (3)   ⇒   $\sigma_x^2 = 8/9$ folgt daraus:

$$ K_x = \frac{{256}/(15 \cdot 9)}{8/9 \cdot 8/9} = 2.4.$$