Aufgaben:Exercise 3.4: Characteristic Function

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Rechteck– und Trapez–WDF

Gegeben seien hier die drei Zufallsgrößen $x$, $y$ und $z$ durch ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen:

• Über die Zufallsgröße $x$ ist nichts weiter bekannt:   Diese kann sowohl eine diskrete als auch eine kontinuierliche Zufallsgröße sein und eine beliebige WDF $f_x(x)$ besitzen. Der Mittelwert ist allgemein gleich $m_x$.
• Die Zufallsgröße $y$ kann nur Werte im Bereich zwischen $1$ bis $3$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Der Mittelwert ist :$$m_y = 2.$$
• Die Zufallsgröße $z$ besitzt die folgende charakteristische Funktion:

$$C_z ({\it \Omega} ) = {\mathop{\rm si}\nolimits}( {3{\it \Omega}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2{\it \Omega} } ).$$

Daneben wird noch der qualitative Verlauf der WDF $f_z(z)$ entsprechend der blauen Skizze als bekannt vorausgesetzt. Zu bestimmen sind die WDF-Parameter $a$, $b$ und $c$ dieser WDF.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erwartungswerte und Momente.
• Insbesondere wird auf die Seite Charakteristische Funktion Bezug genommen.

• Die charakteristische Funktion einer zwischen $\pm a$ gleichverteilten Zufallsgröße $z$ lautet:

$$C_z ( {\it \Omega} ) = {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {a {\it \Omega} } )\quad {\rm{mit}}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits}( x ) = \sin ( x )/x.$$

Fragebogen

1

Welche Aussagen sind bezüglich der charakteristischen Funktion $C_x ( {\it \Omega} )$ stets – also bei beliebiger WDF – gültig?

	$C_x ( {\it \Omega} )$ ist die Fouriertransformierte von $f_x(x)$.
	Der Realteil von $C_x ( {\it \Omega} )$ ist eine gerade Funktion in ${\it \Omega}$.
	Der Imaginärteil von $C_x ( {\it \Omega} )$ ist eine ungerade Funktion in ${\it \Omega}$.
	Der Wert an der Stelle ${\it \Omega} = 0$ ist stets $C_x ( {\it \Omega} ) = 1$.
	Bei mittelwertfreier Zufallsgröße $(m_x = 0)$ ist $C_x ( {\it \Omega} )$ stets reell.

2

Berechnen Sie die charakteristische Funktion $C_y( {\it \Omega} )$. Wie groß sind Real- und Imaginärteil bei ${\it \Omega} = \pi/2$?

${\rm Re}\big[C_y(\Omega\ =\ \pi/2)\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[C_y(\Omega\ =\ \pi/2)\big] \ = \ $

3

Bestimmen Sie die Kenngrößen $a$, $b$ und $c$ der WDF $f_z(z)$.

$a \ = \ $

$b \ = \ $

$c \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4:

• $C_x ( {\it \Omega} )$ ist nicht die Fouriertransformierte zu $f_x(x)$, sondern die Fourierrücktransformierte:

$$C_x( {\it \Omega } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x )\cdot {\rm{e}}^{\hspace{0.03cm}{\rm{j}}\hspace{0.03cm}{\it \Omega x}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x .$$

• Auch bei dieser ist der Realteil stets gerade und der Imaginärteil ungerade. Für ${\it \Omega} = 0$ gilt:

$$C_x( {\it \Omega} = 0 ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x ) \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = 1.$$

• Die letzte Alternative trifft nicht immer zu:   Eine zweipunktverteilte Zufallsgröße $x \in \{-1, +3\}$ mit den Wahrscheinlichkeiten $0.75$ und $0.25$ ist zwar mittelwertfrei $(m_x = 0)$, besitzt aber trotzdem eine komplexe charakteristische Funktion.

(2)  Entsprechend der allgemeinen Definition gilt:

$$C_y( {\it \Omega } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_y }( y )\cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega y}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y = 0.5\int_1^3 {{\rm{e}}^{{\rm{j}}\Omega y} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y.} $$

Nach Lösen dieses Integrals ergibt sich:

$$C_y ( {\it \Omega } ) = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}3{\it \Omega } } - {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } } }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } } - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}{\it \Omega }} }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$

Mit dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden:

$$C_y ( {\it \Omega } ) = \frac{{\sin ( {\it \Omega } )}}{{\it \Omega } } \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$

Für ${\it \Omega} = \pi/2$ erhält man somit einen rein reellen Zahlenwert:

$${\rm Re}[C_y ({\it \Omega} = {\rm{\pi }}/2 )] = \frac{{\sin( {{\rm{\pi }}/2})}}{{{\rm{\pi }}/2}} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j\pi }}} = - \frac{2}{{\rm{\pi }}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.637}, \hspace{0.5cm} {\rm Im}[C_y ({\it \Omega} = {\rm{\pi }}/2 )] \hspace{0.15cm}\underline{= 0} .$$

(3)  Aus der angegebenen Korrespondenz kann abgelesen werden, dass ${\rm si}(3 {\it \Omega} )$ auf eine zwischen $\pm 3$ gleichverteilte Zufallsgröße zurückgeht und ${\rm si}(2 {\it \Omega} )$ die Transformierte einer Gleichverteilung zwischen $\pm 2$ angibt.

In der charakteristischen Funktion sind diese beiden Anteile multiplikativ verknüpft. Damit ist die resultierende WDF $f_z(z)$ die Faltung dieser beiden Rechteckfunktionen:

Konstruktion der Trapez-WDF

Die drei WDF-Parameter lauten somit:

$$\hspace{0.15cm}\underline{a = 1},\quad \hspace{0.15cm}\underline{b = 5}, \quad c = 1/6 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.167}.$$