Aufgaben:Exercise 4.1Z: Appointment to Breakfast

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Kanzlerkandidaten–Frühstück im Jahr 2002

Frau M. und Herr S. treffen sich ja bekanntlich öfter einmal zu einem gemeinsamen Frühstück:

• Beide versprechen, an einem bestimmten Tag zwischen 8 Uhr und 9 Uhr zu einem solchen Treffen zu kommen.
• Weiter vereinbaren sie, dass jeder von ihnen in diesem Zeitraum (und nur in diesem) auf „Gut Glück” eintrifft und bis zu einer Viertelstunde auf den Anderen wartet.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Zufallsgrößen.

• Verwenden Sie bei den folgenden Fragen als Zeitangabe die Minute der Ankunftszeit: „Minute = 0” steht für 8 Uhr, „Minute = 60” für 9 Uhr.
• Die Aufgabe entstand vor der Bundestagswahl 2002, als sowohl Dr. Angela Merkel als auch Dr. Edmund Stoiber Kanzlerkandidat(in) der CDU/CSU werden wollten.
• Bei einem gemeinsamen Frühstück in Wolfratshausen verzichtete Frau Merkel. Die spätere Wahl gewann Gerhard Schröder (SPD).

Fragebogen

1

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_1$, dass sich die beiden treffen, wenn Herr S. um 8 Uhr 30 ankommt? Begründen Sie Ihre Antwort.

$p_1 \ = \ $ $\ \%$

2

Welche Ankunftszeit sollte Frau M. wählen, wenn sie Herrn S. eigentlich nicht treffen möchte, sich aber trotzdem an die getroffene Vereinbarung halten will?
Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit $p_2$, dass sich Frau M. und Herr S. treffen werden?

$p_2 \ = \ $ $\ \%$

3

Welche Ankunftszeit sollte Frau M. wählen, wenn sie nicht nur ein Treffen möglichst vermeiden, sondern die Wartezeit minimieren möchte?

$\rm Minute \ = \ $

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_4$ für ein Zusammentreffen generell, das heißt, wenn beide tatsächlich auf „Gut Glück” erscheinen?

$p_4 \ = \ $ $\ \%$

Musterlösung

Solution

(1)  Kommt Herr S. um 8 Uhr 30, so trifft er Frau M., wenn diese zwischen 8 Uhr 15 und 8 Uhr 45 ankommt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit

$$p_1 = \text{Pr(Herr S. trifft Frau M.)}\hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$

„Günstiger Bereich” für Zusammentreffen

(2)  Kommt Frau M. um 8 Uhr, so trifft sie Herrn S. nur dann, wenn dieser vor 8 Uhr 15 kommt.

• Erscheint Frau M. um 9 Uhr, dann muss Herr S. nach 8 Uhr 45 angekommen sein, damit sich beide treffen können.
• Die Wahrscheinlichkeit für ein Zusammentreffen ist in beiden Fällen:

$$p_2 = \text{Min [Pr(Herr S. trifft Frau M.)]}\hspace{0.15cm}\underline{=25\%}.$$

(3)  Von den beiden unter (2) berechneten Ankunftszeiten ist 9 Uhr ($\underline{\text{Minute = 60}}$) günstiger, da sie – falls Herr S. nicht da ist – sofort wieder gehen kann.

(4)  Die Wahrscheinlichkeit $p_4$ ergibt sich als das Verhältnis der roten Fläche in der Grafik zur Gesamtfläche $1$. Mit den Dreiecksflächen erhält man:

$$p_4=\rm 1-2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{7}{16}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 43.75\%}.$$