[[File:P_ID423__Sto_Z_4_7.png|right|frame|Vorgaben zur Erzeugung einer <br>2D-Zufallsgröße]]
[[File:P_ID423__Sto_Z_4_7.png|right|frame|Vorgaben zur Erzeugung einer <br>2D-Zufallsgröße]]
Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen $u$ und $v$, die beide zwischen $-1$ und $+1$ gleichverteilt sind und somit jeweils die Varianz $\sigma^2 = 2/3$ besitzen, soll eine 2D-Zufallsgröße $(x, y)$ generiert werden, wobei für die Komponenten gilt:
Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen $u$ und $v$, die beide zwischen $-1$ und $+1$ gleichverteilt sind und somit jeweils die Varianz $\sigma^2 = 2/3$ besitzen, soll eine 2D-Zufallsgröße $(x, y)$ generiert werden, wobei für die Komponenten gilt:
:$$x = A \cdot u + B \cdot v + C,$$
:$$x = A \cdot u + B \cdot v + C,$$
:$$y= D \cdot u + E \cdot v + F.$$
:$$y= D \cdot u + E \cdot v + F.$$
Die zu erzeugende 2D–Zufallsgröße $(x, y)$ soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen:
Die zu erzeugende 2D–Zufallsgröße $(x, y)$ soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen:
* Die Varianzen seien $\sigma_x^2 = 4$ und $\sigma_y^2 = 10$.
* Die Zufallsgröße $x$ besitze eine dreieckförmige WDF $f_x(x)$ entsprechend der oberen Grafik.
* Die Zufallsgröße $x$ besitze eine dreieckförmige WDF $f_x(x)$ entsprechend der oberen Grafik.
* Die Zufallsgröße $y$ besitze eine trapezförmige WDF $f_y(y)$ entsprechend der unteren Grafik.
* Die Zufallsgröße $y$ besitze eine trapezförmige WDF $f_y(y)$ entsprechend der unteren Grafik.
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''Hinweise:''
''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen#Erzeugung_korrelierter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen]].
*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen#Erzeugung_korrelierter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen]].
*Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden wird festgelegt, dass alle Koeffizienten $A$, ... , $F$ nicht negativ sein sollen.
*Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden wird festgelegt, dass alle Koeffizienten $A$, ... , $F$ nicht negativ sein sollen.
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<quiz display=simple>
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{Bestimmen Sie die Koeffizienten $C$ und $F$.
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $C$ und $F$.
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$C \ = \ $ { 0. }
$C \ = \ $ { 0. }
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Line 39:
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $A$ und $B$.
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $A$ und $B$.
|type="{}"}
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$A \ = \ $ { 1.732 3% }
$A \ = \ $ { 1.732 3% }
Line 42:
Line 45:
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $D$ und $E$, wobei $D > E$ gelten soll.
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $D$ und $E$, wobei $D > E$ gelten soll.
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$D \ = \ $ { 3.464 3% }
$D \ = \ $ { 3.464 3% }
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Line 51:
{Geben Sie die Maximalwerte für $x$ und $y$ an.
{Geben Sie die Maximalwerte für $x$ und $y$ an.
Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen $u$ und $v$, die beide zwischen $-1$ und $+1$ gleichverteilt sind und somit jeweils die Varianz $\sigma^2 = 2/3$ besitzen, soll eine 2D-Zufallsgröße $(x, y)$ generiert werden, wobei für die Komponenten gilt:
$$x = A \cdot u + B \cdot v + C,$$
$$y= D \cdot u + E \cdot v + F.$$
Die zu erzeugende 2D–Zufallsgröße $(x, y)$ soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen:
Die Varianzen seien $\sigma_x^2 = 4$ und $\sigma_y^2 = 10$.
Die Zufallsgröße $x$ sei mittelwertfrei $(m_x =0)$.
Für den Mittelwert von $y$ gelte $m_y = 1$.
Der Korrelationskoeffizient zwischen $x$ und $y$ betrage $\rho_{xy} = \sqrt{0.9} = 0.949.$
Die Zufallsgröße $x$ besitze eine dreieckförmige WDF $f_x(x)$ entsprechend der oberen Grafik.
Die Zufallsgröße $y$ besitze eine trapezförmige WDF $f_y(y)$ entsprechend der unteren Grafik.
