Aufgaben:Exercise 4.10Z: Correlation Duration

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Musterfunktionen ergodischer Prozesse

Das nebenstehende Bild zeigt Mustersignale zweier Zufallsprozesse  $\{x_i(t)\}$  und  $\{y_i(t)\}$  mit jeweils gleicher Leistung  $P_x = P_y = 5\hspace{0.05 cm} \rm mW$.  Vorausgesetzt ist hierbei der Widerstand  $R = 50\hspace{0.05 cm}\rm \Omega$.

Der Zufallsprozess  $\{x_i(t)\}$

• ist mittelwertfrei  $(m_x = 0)$,
• besitzt die gaußförmige AKF   $\varphi_x (\tau) = \varphi_x (\tau = 0) \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_x)^2},$  und
• weist die äquivalente AKF-Dauer  $\nabla \tau_x = 5\hspace{0.05 cm}\rm µ s $  auf.

Wie aus dem unteren Bild zu erkennen ist, hat der Zufallsprozess  $\{y_i(t)\}$  sehr viel stärkere innere statistische Bindungen als der Zufallsprozess  $\{x_i(t)\}$.

Oder anders ausgedrückt:

• Der Zufallsprozess  $\{y_i(t)\}$  ist niederfrequenter als  $\{x_i(t)\}$.
• Die äquivalente AKF-Dauer ist  $\nabla \tau_y = 10 \hspace{0.05 cm}\rm µ s $.

Aus der Skizze ist auch zu erkennen, dass  $\{y_i(t)\}$  im Gegensatz zu  $\{x_i(t)\}$  nicht gleichsignalfrei ist.  Der Gleichsignalanteil beträgt vielmehr  $m_y = -0.3 \hspace{0.05 cm}\rm V$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Autokorrelationsfunktion.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Interpretation der Autokorrelationsfunktion.

Fragebogen

1

Welchen Effektivwert  $(\sigma_x)$  besitzen die Mustersignale des Prozesses  $\{x_i(t)\}$?

$\sigma_x \ = \ $ $\ \rm V$

2

Welche AKF–Werte ergeben sich für  $\tau = 2\hspace{0.05 cm}\rm µs$  bzw.  $\tau = 5\hspace{0.05 cm}\rm µ s$?

$\varphi_x(\tau = 2\hspace{0.05 cm}{\rm µ s}) \ = \ $ $\ \rm mW$

$\varphi_x(\tau = 5\hspace{0.05 cm}{\rm µ s}) \ = \ $ $\ \rm mW$

3

Wie groß ist die Korrelationsdauer  $T_{\rm K}$, also derjenige Zeitpunkt, bei dem die AKF auf die Hälfte des Maximums abgefallen ist?

$T_{\rm K} \ = \ $ $\ \rm µ s$

4

Welchen Effektivwert  $(\sigma_y)$  besitzen die Mustersignale des Prozesses $\{y_i(t)\}$?

$\sigma_y \ = \ $ $\ \rm V$

5

Berechnen Sie die AKF  $\varphi_x(\tau)$.  Wie groß ist der AKF-Wert bei  $\tau = 10\hspace{0.05 cm}\rm µ s$?  Welcher AKF–Verlauf ergäbe sich bei positivem Mittelwert  $(m_y = +0.3 \hspace{0.05 cm}\rm V)$?

$\varphi_y(\tau = 10\hspace{0.05 cm}{\rm µ s}) \ = \ $ $\ \rm mW$

Musterlösung

Solution

(1)  Der quadratische Mittelwert ergibt sich zu $m_{2x} = R \cdot P_x = 50 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}\cdot 5 \hspace{0.05 cm}{\rm mW}= 0.25 \hspace{0.05 cm}{\rm V}^2$ Daraus folgt der Effektivwert $\sigma_x\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5\hspace{0.05 cm}{\rm V}}$.

(2)  Wegen $P_x = \varphi_x (\tau = 0)$ gilt für die AKF allgemein:

$$\varphi_x (\tau) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_x)^2}.$$

• Daraus erhält man:

$$\varphi_x (\tau = {\rm 2\hspace{0.1cm} µ s}) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- {\rm 0.16 }\pi } \hspace{0.15cm}\underline{= 3.025 \hspace{0.1cm} \rm mW},$$

$$\varphi_x (\tau = {\rm 5\hspace{0.1cm} \rm µ s}) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.216 \hspace{0.1cm} \rm mW}.$$

Zweimal Gaußsche AKF

(3)  Hier gilt folgende Bestimmungsgleichung:

$${\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x)^2} \stackrel{!}{=} {\rm 0.5} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} (T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x)^2 = \sqrt{{ \ln(2)}/{\pi}}\hspace{0.05cm}.$$

Daraus folgt $T_{\rm K}\hspace{0.15 cm}\underline{= 2.35\hspace{0.05 cm}{\rm µ s}}$. Bei anderer AKF-Form erhält man ein anderes Verhältnis für $T_{\rm K} / {\rm \nabla} \tau_x$.

(4)  Wegen $P_x = P_y$ sind die quadratischen Mittelwerte von $x$ und $y$ gleich, und zwar jeweils $0.25\hspace{0.05 cm}\rm V^2$. Unter Berücksichtigung des Mittelwertes $m_y = -0.3 \hspace{0.05 cm}\rm V$ gilt: $m_y^2 + \sigma_y^2 = \rm 0.25 \hspace{0.05 cm} V^2.$ Daraus folgt

$$\sigma_y\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.4\hspace{0.05 cm}{\rm V}}.$$

(5)  Bezogen auf den Einheitswiderstand $ R = 1 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}$ lautet die AKF des Prozesses $\{y_i(t)\}$:

$$\varphi_y (\tau) = m_y^2 + \sigma_y^2 \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_y)^2}.$$

Rechts sehen Sie den Funktionsverlauf. Bezogen auf den Widerstand $ R = 50 \hspace{0.05 cm}{\rm \Omega}$ ergeben sich die nachfolgend angegebenen AKF-Werte:

$$\varphi_y (\tau = 0) = 5 \hspace{0.1cm} {\rm mW} , \hspace{0.5cm} \varphi_y (\tau \rightarrow \infty) = 1.8\hspace{0.1cm} {\rm mW} .$$

Daraus folgt:

$$\varphi_y(\tau) = 1.8 \hspace{0.1cm} {\rm mW} + 3.2 \hspace{0.1cm} {\rm mW} \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}(\tau / {\rm \nabla} \tau_y)^2} \hspace{0.3cm }\Rightarrow \hspace{0.3cm }\varphi_y(\tau = 10\hspace{0.05 cm}{\rm µ s}) \hspace{0.15 cm}\underline{=1.938\hspace{0.05 cm}\rm mW}.$$

Bei positivem Mittelwert $m_y$ (mit gleichem Betrag) würde sich an der AKF nichts ändern, da $m_y$ in die AKF-Gleichung quadratisch eingeht.