Aufgaben:Exercise 4.14Z: Echo Detection

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Echo–Messung

Zur Messung akustischer Echos in Räumen – zum Beispiel bedingt durch Reflexionen an einer Wand – kann die nebenstehende Anordnung verwendet werden.

• Der Rauschgenerator erzeugt ein „im relevanten Frequenzbereich Weißes Rauschen”  $x(t)$  mit Leistungsdichte  $N_0 = 10^{-6} \hspace{0.08cm} \rm W/Hz$.
• Dieses ist bandbegrenzt auf  $B_x = 20 \hspace{0.08cm} \rm kHz$  und wird auf einen Lautsprecher gegeben.
• Die gesamte Messeinrichtung ist für den Widerstandswert  $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$  ausgelegt.

Das vom Mikrofon aufgenommene Signal ist im allgemeinsten Fall wie folgt beschreibbar:

$$y(t) = \sum_{\mu = 1}^M \alpha_\mu \cdot x ( t - t_\mu ) .$$

Hierbei bezeichnen  $\alpha_\mu$  Dämpfungsfaktoren und  $t_\mu$  Laufzeiten.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte.

• Benutzen Sie für numerische Berechnungen die Parameterwerte

$$\alpha_1 = 0.5, \hspace{0.2cm}t_1 = 200 \,{\rm ms}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0.1, \hspace{0.2cm}t_2 = 250 \,{\rm ms}.$$

Fragebogen

1

Geben Sie die AKF  $\varphi_x(\tau)$  am Sender an.  Wie lautet diese umgerechnet auf den Widerstand  $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$ ?  Wie groß ist der Effektivwert  $\sigma_x$ ?

$\sigma_x \ = \ $ $\ \rm V$

2

Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF)  $\varphi_{xy}(\tau)$  zwischen Sende– und Empfangssignal.
Welche Werte ergeben sich für  $\tau = 0$,  $\tau = t_1 = 200 \hspace{0.08cm} \rm ms$  und  $\tau = t_2 = 250 \hspace{0.08cm} \rm ms$ ?

$\varphi_{xy}(\tau= 0) \ = \ $ $\ \rm V^2$

$\varphi_{xy}(\tau= t_1) \ = \ $ $\ \rm V^2$

$\varphi_{xy}(\tau= t_2) \ = \ $ $\ \rm V^2$

3

Berechnen Sie das Kreuzleistungsdichtespektrum (KLDS)  ${\it \Phi}_{xy}(f)$.  Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 0$?

${\it \Phi}_{xy}(f =0)\ = \ $ $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$

4

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend, wenn Sie anstelle der in  (1)  berechneten AKF die Näherung  $\varphi_{xy}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$  verwenden?

	Das Rauschen ist nun „echt” weiß – also nicht bandbegrenzt.
	Die Rauschleistung wird gegenüber der Teilaufgabe  (1)  vermindert.
	Die Kreuzkorrelationsfunktion ist die Summe gewichteter und verschobener Diracs.
	Das Kreuzleistungsdichtespektrum ist wie in der Teilaufgabe  (3)  berechnet.

5

Berechnen Sie unter Verwendung der Näherung  $\varphi_{xy}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$  die AKF $\varphi_y(\tau)$.  Welche Gewichte ergeben sich für  $\tau = 0$  und  $\tau = \Delta t = t_2 - t_1$ ?

$\varphi_{y}(\tau= 0) \ = \ $ $\ \cdot 10^{-6}\ \rm W\hspace{-0.1cm}/Hz$

$\varphi_{y}(\tau= \Delta t) \ = \ $ $\ \cdot 10^{-6}\ \rm W\hspace{-0.1cm}/Hz$

Musterlösung

Solution

(1)  Das zweiseitige Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{x}(f)$ ist im Bereich $\pm B_x$ konstant gleich $N_0/2$. Dessen Fouriertransformierte ist die AKF:

$$\varphi_x (\tau) = {N_0}/{2} \cdot 2 B_x \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau) = 0.02 \hspace {0.08cm}{\rm W} \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau).$$

• Umgerechnet von $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$ auf $R = 1 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$ erhält man somit (Multiplikation mit $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$):

$$\varphi_x (\tau) = 0.02 \hspace {0.05cm}{\rm VA} \cdot 50 \hspace {0.05cm}{\rm V/A}\cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau)= 1 \hspace {0.05cm}{\rm V}^2 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau).$$

• Der Effektivwert ist die Wurzel aus dem AKF-Wert bei $\tau = 0$:  

$$\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{= 1 \hspace {0.08cm}{\rm V}}.$$

(2)  Für die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) gilt im vorliegenden Fall:

$$\varphi_{xy} (\tau) = \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y(t+\tau)} = \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\big [ \alpha_1 \cdot x(t- t_1+ \tau)\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2 \cdot x(t- t_2+ \tau)\big] } . $$

• Nach Aufspaltung der Mittelwertbildung auf die beiden Terme erhält man hieraus:

$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x(t- t_1+ \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2 \cdot \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x(t- t_2+ \tau)} .$$

• Unter Verwendung der AKF $\varphi_x(\tau)$ kann hierfür auch geschrieben werden:

$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot {\varphi_{x}(\tau- t_1)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2\cdot {\varphi_{x}(\tau- t_2)} = 1 \hspace {0.08cm}{\rm V}^2 \cdot \left[ \alpha_1 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x (\tau - t_1)) + \alpha_2 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x (\tau - t_2)) \right].$$

• Die si-Funktion weist äquidistante Nulldurchgänge bei allen Vielfachen von $1/(2B_x) = 25 \hspace{0.08cm} µ s$ auf, jeweils bezogen auf deren Mittellagen bei $t_1 = 200 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$ bzw. $t_2 = 250 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$.
• Daraus ergeben sich die KKF-Werte zu:

$$\varphi_{xy} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm}\varphi_{xy} (\tau = t_1)= \alpha_1 \cdot \varphi_{x} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5\,{\rm V}^2} ,\hspace{0.5cm} \varphi_{xy} (\tau = t_2)= \alpha_2 \cdot \varphi_{x} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.1\,{\rm V}^2} .$$

(3)  Das Kreuzleistungsdichtespektrum (KLDS) ist die Fouriertransformierte der KKF, ebenso wie das Leistungsdichtespektrum (LDS) die Fouriertransformierte der AKF angibt. Für dieses gilt:

$${\it \Phi}_{xy} (f) = \alpha_1 \cdot {\it \Phi}_{x} (f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_1} \hspace{0.15cm}+ \hspace{0.15cm}\alpha_2 \cdot {\it \Phi}_{x} (f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_2}. $$

• Außerhalb des Bereichs $|f| \le B_x$ ist das LDS ${\it \Phi}_{x}(f)$ – und dementsprechend auch das KLDS ${\it \Phi}_{xy}(f)$ – identisch $0$.
• Innerhalb dieses Intervalls gilt dagegen ${\it \Phi}_{x}(f) = N_0/2$. Daraus folgt in diesem Bereich:

AKF und KKF bei weißem Rauschen

$${\it \Phi}_{xy} (f) = {N_0}/{2} \left( \alpha_1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_1} \hspace{0.15cm}+ \hspace{0.15cm}\alpha_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_2} \right). $$

• Es ist ersichtlich, dass ${\it \Phi}_{xy}(f)$ im Gegensatz zu ${\it \Phi}_{x}(f)$ eine komplexe Funktion ist. Bei $f = 0$ gilt:

$${\it \Phi}_{xy} (f = 0) = {N_0}/{2} \left( \alpha_1 \hspace{0.15cm}+ \hspace{0.15cm}\alpha_2 \right) = 0.3 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}{\rm W/Hz} \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \cdot 10^{-6}\hspace{0.07cm}{\rm V^2/Hz}} . $$

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

• Die Fouriertransformierte einer diracförmigen AKF führt zu einem für alle Frequenzen $f$ konstanten LDS, das heißt tatsächlich zu „ echt Weißem Rauschen”.
• Dieses besitzt eine unendlich große Leistung, und für die KKF kann dann entsprechend der oberen Grafik geschrieben werden:

$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot { N_0}/{2} \cdot {\rm \delta}( \tau - t_1) \hspace {0.1cm}+ \hspace {0.1cm} \alpha_2 \cdot { N_0}/{2} \cdot {\rm \delta}( \tau - t_2) .$$

• Im Frequenzbereich ist für $|f| \le B_x$ tatsächlich kein Unterschied gegenüber der Teilaufgabe (3) feststellbar.
• Da nun aber echt weißes Rauschen vorliegt, ist aber hier das KLDS nicht auf diesen Bereich beschränkt.

(5)  Für die AKF des echobehafteten Signals gilt:   $\varphi_{y} (\tau) = \overline {y(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y(t+\tau)}$. Diese AKF $\varphi_{y} (\tau)$ lässt sich demzufolge als die folgende Summe darstellen:

$$\alpha_1^2 \cdot \overline {x(t - t_1) \cdot x(t - t_1+ \tau)} \hspace{0.03cm} + \hspace{0.03cm} \alpha_1\hspace{0.02cm}\alpha_2 \cdot \overline {x(t - t_1) \cdot x(t - t_2+ \tau)} + \hspace{0.05cm} \alpha_2\hspace{0.02cm}\alpha_1 \cdot \overline {x(t - t_2) \cdot x(t - t_1+ \tau)}\hspace{0.03cm} + \hspace{0.03cm} \alpha_2^2 \cdot \overline {x(t - t_2) \cdot x(t - t_2+ \tau)}. $$

Für den ersten und den letzten Mittelwert gilt:

$$\overline {x(t - t_1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_1+ \tau)} = \overline {x(t - t_2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_2+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + \tau)} =\varphi_x(\tau).$$

Dagegen erhält man für den zweiten und den dritten Mittelwert mit $\Delta t = t_2 - t_1= 50 \ \rm ms$:

$$\overline {x(t - t_1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_2+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + t_1- t_2+ \tau)} =\varphi_x(\tau - \Delta t),$$

$$\overline {x(t - t_2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_1+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + t_2- t_1+ \tau)} =\varphi_x(\tau + \Delta t).$$

Insgesamt ergibt sich somit wieder eine symmetrische AKF, wie in der unteren Grafik dargestellt:

$$\varphi_{y} (\tau) = {N_0}/{2} \cdot \left[ ( \alpha_1^2 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_2^2 ) \cdot {\rm \delta} (\tau) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot {\rm \delta}(\tau - \Delta t) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot {\rm \delta}(\tau + \Delta t) \right].$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{y} (\tau = 0 ) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.13 \cdot 10^{-6}\, {\rm W/Hz}}, \hspace{0.3cm}\varphi_{y} (\tau = \Delta t )\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.025 \cdot 10^{-6}\, {\rm W/Hz}}.$$