Theory of Stochastic Signals/Stochastic System Theory

1. Theory of Stochastic Signals
2. Filterung stochastischer Signale
3. Stochastic System Theory

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# ÜBERBLICK ZUM FÜNFTEN HAUPTKAPITEL #

Dieses Kapitel beschreibt den Einfluss eines Filters auf die Autokorrelationsfunktion (AKF) und das Leistungsdichtespektrum (LDS) stochastischer Signale.

Im Einzelnen werden behandelt:

• die Berechnung von AKF und LDS am Filterausgang (Stochastische Systemtheorie ),
• die Struktur und die Darstellung Digitaler Filter  (nichrekursiv und rekursiv),
• die Dimensionierung  der Filterkoeffizienten für eine vorgegebene AKF,
• die Bedeutung des Matched-Filters  für Nachrichtensysteme (SNR-Maximierung),
• die Eigenschaften des Wiener-Kolmogorow-Filters  zur Signalrekonstruktion.

Weitere Informationen zum Thema „Filterung stochastischer Signale” sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im

• Kapitel 10: Filterung stochastischer Signale (Programm fil)
• Kapitel 11: Optimale Filter (Programm ofi)

des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf

• dem Lehrsoftwarepaket LNTsim  ⇒  Link verweist auf die ZIP-Version des Programms, und
• der Praktikumsanleitung - Teil B  ⇒  Link verweist auf die PDF-Version mit Kapitel 10: Seite 229-248 und Kapitel 11: Seite 249-270.

Problemstellung

Filtereinfluss auf Spektrum und LDS

Wir betrachten wie im Buch Lineare zeitinvariante Systeme die rechts skizzierte Anordnung, wobei das System

• sowohl durch die Impulsantwort $h(t)$
• als auch durch seinen Frequenzgang $H(f)$

eindeutig beschrieben ist. Der Zusammenhang zwischen diesen Beschreibungsgrößen im Zeit– und Frequenzbereich ist durch die Fouriertransformation gegeben.
Legt man an den Eingang das Signal $x(t)$ an und bezeichnet das Ausgangssignal mit $y(t)$, so liefert die klassische Systemtheorie folgende Aussagen:

• Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich aus der Faltung zwischen dem Eingangssignal $x(t)$ und der Impulsantwort $h(t)$. Die folgende Gleichung gilt für deterministische und stochastische Signale gleichermaßen:

$$y(t) = x(t) \ast h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\cdot h ( t - \tau) \,\,{\rm d}\tau.$$

• Bei deterministischen Signalen geht man meist den Umweg über die Spektralfunktionen. Das Spektrum $X(f)$ ist die Fouriertransformierte von $x(t)$. Die Multiplikation mit dem Frequenzgang $H(f)$ führt zum Ausgangsspektrum $Y(f)$. Daraus lässt sich das Signal $y(t)$ durch Fourierrücktransformation gewinnen.
• Bei stochastischen Signalen versagt diese Vorgehensweise, da dann die Zeitfunktionen $x(t)$ und $y(t)$ nicht für alle Zeiten von ­$–∞$ bis $+∞$ vorhersagbar sind und somit die dazugehörigen Amplitudenspektren $X(f)$ und $Y(f)$ gar nicht existieren.
• In diesem Fall muss auf die im letzten Kapitel definierten Leistungsdichtespektren übergegangen werden.

Amplituden- und Leistungsdichtespektrum

Wir betrachten einen ergodischen Zufallsprozess $\{x(t)\}$, dessen Autokorrelationsfunktion $φ_x(τ)$ als bekannt vorausgesetzt wird. Das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ ist dann über die Fouriertransformation ebenfalls eindeutig bestimmt und es gelten die folgenden Aussagen:

Zur AKF- und LDS-Berechnung eines Zufallssignals

• Das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ kann – ebenso wie die Autokorrelationsfunktion $φ_x(τ)$ – für jede einzelne Musterfunktion des stationären und ergodischen Zufallsprozesses $\{x(t)\}$ angegeben werden, auch wenn der spezifische Verlauf von $x(t)$ explizit nicht bekannt ist.
• Das Amplitudenspektrum $X(f)$ ist dagegen undefiniert, da bei Kenntnis der Spektralfunktion $X(f)$ auch die gesamte Zeitfunktion $x(t)$ von $–∞$ bis $+∞$ über die Fourierrücktransformation bekannt sein müsste, was bei einem stochastischen Signal eindeutig nicht der Fall sein kann.
• Ist entsprechend der nebenstehenden Skizze ein Zeitausschnitt der endlichen Zeitdauer $T_{\rm M}$ bekannt, so kann für diesen natürlich wieder die Fouriertransformation angewendet werden.

$\text{Satz:}$  Zwischen dem Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ des zeitlich unendlich ausgedehnten Zufallssignals $x(t)$ und dem Amplitudenspektrum $X_{\rm T}(f)$ des begrenzten Zeitausschnittes $x_{\rm T}(t)$ besteht der folgende Zusammenhang:

$${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert ^2.$$

$\text{Beweis:}$  Vorne wurde die Autokorrelationsfunktion eines ergodischen Prozesses mit der Musterfunktion $x(t)$ wie folgt angegeben:

$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$

• Es ist zulässig, die zeitlich unbegrenzte Funktion $x(t)$ durch die auf den Zeitbereich $-T_{\rm M}/2$ bis $+T_{\rm M}/2$ begrenzte Funktion $x_{\rm T}(t)$ zu ersetzen. $x_{\rm T}(t)$ korrespondiert mit dem Spektrum $X_{\rm T}(f)$, und man erhält durch Anwendung des ersten Fourierintegrals und des Verschiebungssatzes:

$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x_{\rm T}(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rm T}(f)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f ( t + \tau) } \hspace{0.1cm} \rm d \it f \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$

• Nach Aufspalten des Exponenten und Vertauschen von Zeit- und Frequenzintegral ergibt sich:

$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rm T}(f)\cdot \left[ \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x_{\rm T}(t)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f t } \hspace{0.1cm} \rm d \it t \right] \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$$

• Das innere Integral beschreibt das konjugiert–komplexe Spektrum $X_{\rm T}^{\star}(f)$. Daraus folgt weiter:

$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}\vert X_{\rm T}(f)\vert^2 \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$$

• Ein Vergleich mit dem bei Ergodizität stets gültigen Theorem von Wiener und Chintchine,

$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f) \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f ,$$

zeigt die Gültigkeit der oben genannten Beziehung:

$${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert^2.$$

q.e.d.

Leistungsdichtespektrum des Filterausgangssignals

Kombiniert man die in den beiden letzten Abschnitten gemachten Aussagen, so kommt man zu folgendem wichtigen Ergebnis:

$\text{Satz:}$  Das Leistungsdichtespektrum (LDS) am Ausgang eines linearen zeitinvarianten Systems mit dem Frequenzgang $H(f)$ ergibt sich als das Produkt aus dem Eingangs–LDS ${\it Φ}_x(f)$ und der Leistungsübertragungsfunktion $\vert H(f)\vert ^2$.

$${ {\it \Phi}_y(f)} = { {\it \Phi}_x(f)} \cdot \vert H(f)\vert ^2.$$

$\text{Beweis:}$  Ausgegangen wird von den drei bereits vorher hergeleiteten Beziehungen:

$${ {\it \Phi}_x(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} \vert X_{\rm T}(f)\vert^2, \hspace{0.5cm} { {\it \Phi}_y(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm}\vert Y_{\rm T}(f)\vert^2, \hspace{0.5cm} Y_{\rm T}(f) = X_{\rm T}(f) \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} H(f).$$

Setzt man diese Gleichungen ineinander ein, so erhält man das obige Ergebnis.

q.e.d.

Das folgende Beispiel verdeutlicht den Zusammenhang bei Weißem Rauschen.

Filtereinfluss im Frequenzbereich

$\text{Beispiel 1:}$  Am Eingang eines Gauß-Tiefpasses mit Frequenzgang

$$H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}$$

liegt weißes Rauschen $x(t)$ mit der Rauschleistungsdichte ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$ (zweiseitige Darstellung) an.

Dann gilt für das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals:

$${ {\it \Phi}_y(f)} = \frac {N_0}{2} \cdot {\rm e}^{- 2 \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}.$$

Die Grafik zeigt die Signale und Leistungsdichtespektren am Ein- und Ausgang des Filters.
Anmerkungen:

• Das Signal $x(t)$ kann – streng genommen – gar nicht gezeichnet werden, da es eine unendlich große Leistung besitzt   ⇒   Integral über ${\it Φ}_x(f)$ von $-\infty$ bis $+\infty$.
• Das Ausgangssignal $y(t)$ ist niederfrequenter als $x(t)$ und besitzt eine endliche Leistung entsprechend dem Integral über ${\it Φ}_y(f)$.

Autokorrelationsfunktion des Filterausgangssignals

Das berechnete Leistungsdichtespektrum (LDS) kann auch wie folgt geschrieben werden:

$${{\it \Phi}_y(f)} = {{\it \Phi}_x(f)} \cdot H(f) \cdot H^{\star}(f)$$

$\text{Satz:}$  Für die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) erhält man dann entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation und durch Anwendung des Faltungssatzes:

$${ {\it \varphi}_y(\tau)} = { {\it \varphi}_x(\tau)} \ast h(\tau)\ast h(- \tau).$$

Beim Übergang vom Spektral– in den Zeitbereich ist zu beachten:

• Einzusetzen sind jeweils die Fourierrücktransformierten, nämlich

$${{\it \varphi}_y(\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,{{\it \Phi}_y(f)}, \hspace{0.5cm}{{\it \varphi}_x(\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\bullet\,{{\it \Phi}_x(f)}, \hspace{0.5cm}{h(\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,{H(f)}, \hspace{0.5cm}{h(-\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\bullet\,{H^{\star}(f)}$$

• Zudem wird aus jeder Multiplikation eine Faltungsoperation.

Filtereinfluss im Zeitbereich

$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten nochmals das gleiche Szenario wie im $\text{Beispiel 1}$, aber diesmal im Zeitbereich:

• weißes Rauschen ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$,
• gaußförmiges Filter:

$$H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(t) = \Delta f \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(\Delta f \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t)^2}.$$

Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Die AKF des Eingangssignals ist nun eine Diracfunktion mit dem Gewicht $N_0/2$.
• Durch zweimalige Faltung mit der (hier ebenfalls gaußförmigen) Impulsantwort $h(t)$ bzw. $h(–t)$ erhält man die AKF $φ_y(τ)$ des Ausgangssignals.
• Auch die AKF $φ_y(τ)$ des Ausgangssignals ist also gaußförmig.
• Der AKF–Wert bei $τ = 0$ ist identisch mit der Fläche des Leistungsdichtespektrums ${\it Φ}_y(f)$ und kennzeichnet die Signalleistung (Varianz) $σ_y^2$.
• Dagegen ergibt die Fläche unter $φ_y(τ)$ den LDS-Wert ${\it Φ}_y(f = \rm 0)$, also $N_0/2$.

Kreuzkorrelationsfunktion zwischen Eingangs- und Ausgangssignal

Zur Berechnung der Kreuzkorrelationsfunktion

Wir betrachten wieder ein Filter mit dem Frequenzgang $H(f)$ und der Impulsantwort $h(t)$. Weiter gilt:

• Das stochastische Eingangssignal $x(t)$ ist eine Musterfunktion des ergodischen Zufallsprozesses $\{x(t)\}$.
• Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) am Filtereingang ist somit $φ_x(τ)$, während das Leistungsdichtespektrum (LDS) mit ${\it Φ}_x(f)$ bezeichnet wird.
• Die entsprechenden Beschreibungsgrößen des ergodischen Zufallsprozesses $\{y(t)\}$ am Filterausgang sind die Musterfunktion $y(t)$, die Autokorrelationsfunktion $φ_y(τ)$ sowie das Leitsungsdichtespektrum ${\it Φ}_y(f)$.

$\text{Satz:}$  Für die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) zwischen dem Eingangs– und dem Ausgangssignal gilt:

$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)} .$$

Hierbei bezeichnet $h(τ)$ ist die Impulsantwort des Filters (mit der Zeitvariablen $τ$ anstelle von $t$).

$\text{Beweis:}$  Allgemein gilt für die Kreuzkorrelationsfunktion zwischen zwei Signalen $x(t)$ und $y(t)$:

$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot y(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$

• Mit der allgemeingültigen Beziehung $y(t) = h(t) \ast x(t)$ und der formalen Integrationsvariablen $θ$ lässt sich hierfür auch schreiben:

$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}{\rm d}\theta\hspace{0.1cm}{\rm d} \it t.$$

• Durch Vertauschen der beiden Integrale und Hereinziehen der Grenzwertbildung erhält man:

$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot \left[ \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} } \cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm} {\rm d} t \right]{\rm d}\theta.$$

• Der Ausdruck in den eckigen Klammern ergibt den AKF-Wert am Eingang zum Zeitpunkt $τ - θ$:

$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}h(\theta) \cdot \varphi_x(\tau - \theta)\hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm} {\rm d}\theta = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)} .$$

• Das verbleibende Integral beschreibt aber die Faltungsoperation in ausführlicher Schreibweise.

q.e.d.

$\text{Fazit:}$  Im Frequenzbereich lautet die entsprechende Gleichung:

$${ {\it \Phi}_{xy}(f)} = H(f)\cdot{ {\it \Phi}_x(f)} .$$

Die beiden Gleichungen zeigen, dass der Filterfrequenzgang $H(f)$ aus einer Messung mit stochastischer Anregung vollständig – also sowohl der Betrag als auch die Phase – berechnet werden kann, wenn folgende Beschreibungsgrößen ermittelt werden:

• die statistischen Kenngrößen am Eingang, entweder die AKF $φ_x(τ)$ oder das LDS ${\it Φ}_x(f)$,
• sowie die Kreuzkorrelationsfunktion $φ_{xy}(τ)$ bzw. deren Fouriertransformierte ${\it Φ}_{xy}(f)$.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 5.1: Gaußsche AKF und Gaußtiefpass

Aufgabe 5.1Z: $\cos^2$-Rauschbegrenzung

Aufgabe 5.2: Bestimmung des Frequenzgangs

Aufgabe 5.2Z: Zweiwegekanal