Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.5Z: ACF after 1st Order Filter"
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− | Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung ( | + | Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung $(M = 1)$. |
− | *Die Filterkoeffizienten seien $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$. | + | *Die Filterkoeffizienten seien $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$. |
− | *Am Filterausgang wird eine Konstante $K$ hinzuaddiert, die bis einschließlich Teilaufgabe '''(3)''' zu Null gesetzt werden soll. | + | *Am Filterausgang wird eine Konstante $K$ hinzuaddiert, die bis einschließlich Teilaufgabe '''(3)''' zu Null gesetzt werden soll. |
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− | *Bezug genommen wird auch auf die Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]] sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]]. | + | *Bezug genommen wird auch auf die Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]] sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]]. |
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− | {Welche Aussagen sind bezüglich der Ausgangs–AKF zutreffend, wenn$K = 0$ gilt? Begründen Sie Ihre Ergebnisse. | + | {Welche Aussagen sind bezüglich der Ausgangs–AKF zutreffend, wenn $K = 0$ gilt? Begründen Sie Ihre Ergebnisse. |
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− | - Der AKF-Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Streuung $\sigma_y$ an. | + | - Der AKF-Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Streuung $\sigma_y$ an. |
− | + Alle AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ mit $k \ge 2$ sind | + | + Alle AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ mit $k \ge 2$ sind Null. |
− | + Das LDS ${\it \Phi}_y(f)$ verläuft cosinusförmig. | + | + Das Leistungsdichtespektrum (LDS) ${\it \Phi}_y(f)$ verläuft cosinusförmig. |
− | {Berechnen Sie die AKF–Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ für $k = 0$ und $k = 1$. | + | {Berechnen Sie die AKF–Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ für $k = 0$ und $k = 1$. |
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$\varphi_y(0) \ = \ $ { 0.25 3% } | $\varphi_y(0) \ = \ $ { 0.25 3% } | ||
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− | {Welche Werte muss man für $a_0$ und $a_1$ einstellen, wenn bei gleicher AKF–Form die Streuung $\sigma_y = 1$ betragen soll? Es sei $a_0 > a_1$. | + | {Welche Werte muss man für $a_0$ und $a_1$ einstellen, wenn bei gleicher AKF–Form die Streuung $\sigma_y = 1$ betragen soll? Es sei $a_0 > a_1$. |
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$a_0 \ = \ $ { 0.8 3% } | $a_0 \ = \ $ { 0.8 3% } | ||
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− | {Es gelte $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$. Wie groß ist die Konstante $K$ zu wählen, damit sich $\varphi_y(0)= 0.5$ ergibt? | + | {Es gelte $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$. Wie groß ist die Konstante $K$ zu wählen, damit sich $\varphi_y(0)= 0.5$ ergibt? |
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$K \ = \ $ { 0.5 3% } | $K \ = \ $ { 0.5 3% } | ||
− | {Berechnen Sie mit diesem $K$–Wert die AKF–Werte | + | {Berechnen Sie mit diesem $K$–Wert die AKF–Werte für $k = 1$ und $k = 2$. |
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$\varphi_y(T_{\rm A}) \ = \ $ { 0.37 3% } | $\varphi_y(T_{\rm A}) \ = \ $ { 0.37 3% } | ||
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− | {Welcher Wert ergibt sich nun für die Streuung $\sigma_y$? | + | {Welcher Wert ergibt sich nun für die Streuung $\sigma_y$? |
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$\sigma_y \ = \ $ { 0.5 3% } | $\sigma_y \ = \ $ { 0.5 3% } |
Revision as of 13:53, 9 December 2019
Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung $(M = 1)$.
- Die Filterkoeffizienten seien $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$.
- Am Filterausgang wird eine Konstante $K$ hinzuaddiert, die bis einschließlich Teilaufgabe (3) zu Null gesetzt werden soll.
Die einzelnen Elemente der Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$
- sind gaußisch sowie mittelwertfrei, und
- besitzen jeweils die Streuung $\sigma_x = 1$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften.
- Bezug genommen wird auch auf die Kapitel Autokorrelationsfunktion sowie Leistungsdichtespektrum.
Fragebogen
Musterlösung
- Der AKF–Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Varianz (Leistung) $\sigma_y^2$ an und nicht die Streuung (den Effektivwert) $\sigma_y$.
- Da ein nichtrekursives Filter erster Ordnung vorliegt, sind alle AKF–Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ für $k \ge 2$.
- Der AKF–Wert $\varphi_y(- T_{\rm A})$ ist gleich $\varphi_y(+ T_{\rm A})$.
- Diese beiden AKF-Werte führen zu einer Cosinusfunktion im LDS, zu der sich noch der Gleichanteil $\varphi_y(0)$ hinzuaddiert.
(2) Die allgemeine Gleichung lautet mit $M = 1$ für $k \in \{0, 1\}$:
- $$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k} } .$$
Daraus erhält man mit $\sigma_x = 1$:
- $$\varphi _y( 0 ) = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.4^2 + 0.3^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25},$$
- $$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = a_0 \cdot a_1 = 0.4 \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12}.$$
(3) Mit den bisherigen Einstellungen ist die Varianz $\sigma_y^2 = 0.25$ und damit die Streuung $\sigma_y = 0.5$.
- Durch eine Verdoppelung der Koeffizienten erhält man wie gewünscht $\sigma_y = 1$:
- $$\hspace{0.15cm}\underline {a_0 = 0.8},\quad \hspace{0.15cm}\underline {a_1 = 0.6}.$$
(4) Die Konstante $K$ hebt die gesamte AKF um $K^2$ an. Mit dem Ergebnis aus (2) folgt:
- $$K^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm}\underline {K = 0.5}.$$
(5) Alle AKF–Werte sind nun um den konstanten Wert $K^2 = 0.25$ größer. Somit ist
- $$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = 0.12 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.37},$$
- $$\varphi _y ( { 2T_{\rm A} } ) = 0 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}.$$
(6) Durch die Konstante $K$ wird die Streuung nicht verändert, das heißt, es gilt weiterhin $\sigma_y = 0.5$. Formal kann diese Größe wie folgt berechnet werden:
- $$\sigma _y ^2 = \varphi _y ( 0 ) - \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$
- Auch hiermit erhält man wiederum $\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}$.