Aufgaben:Exercise 3.8: Once more Mutual Information

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„Wahrscheinlichkeiten” $P_{ XY }$  und  $P_{ XW }$

Wir betrachten das Tupel  $Z = (X, Y)$, wobei die Einzelkomponenten  $X$  und  $Y$  jeweils ternäre Zufallsgrößen darstellen:

$$X = \{ 0 ,\ 1 ,\ 2 \} , \hspace{0.3cm}Y= \{ 0 ,\ 1 ,\ 2 \}.$$

Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_{ XY }(X, Y)$  beider Zufallsgrößen ist in der oberen Grafik angegeben. 

In der  Aufgabe 3.8Z  wird diese Konstellation ausführlich analysiert.  Man erhält als Ergebnis (alle Angaben in „bit”):

• $H(X) = H(Y) = \log_2 (3) = 1.585,$
• $H(XY) = \log_2 (9) = 3.170,$
• $I(X, Y) = 0,$
• $H(Z) = H(XZ) = 3.170,$
• $I(X, Z) = 1.585.$

Desweiteren betrachten wir die Zufallsgröße  $W = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \}$, deren Eigenschaften sich aus der Verbundwahrscheinlichkeitsfunktion  $P_{ XW }(X, W)$  nach der unteren Skizze ergeben.  Die Wahrscheinlichkeiten sind in allen weiß hinterlegten Feldern jeweils Null.

Gesucht ist in der vorliegenden Aufgabe die Transinformation zwischen

• den Zufallsgrößen  $X$  und  $W$   ⇒   $I(X; W)$,
• den Zufallsgrößen  $Z$  und  $W   ⇒   I(Z; W)$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Verschiedene Entropien zweidimensionaler Zufallsgrößen.
• Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seiten
      Bedingte Wahrscheinlichkeit und bedingte Entropie sowie
      Transinformation zwischen zwei Zufallsgrößen.

Fragebogen

1

Wie könnten die Größen  $X$,  $Y$  und  $W$  zusammenhängen?

	$W = X + Y$,
	$W = X - Y + 2$,
	$W = Y - X + 2$.

2

Welche Transinformation besteht zwischen den Zufallsgrößen  $X$  und  $W$?

$I(X; W) \ = \ $ $\ \rm bit$

3

Welche Transinformation besteht zwischen den Zufallsgrößen  $Z$  und  $W$?

$I(Z; W) \ = \ $ $\ \rm bit$

4

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

	Es gilt  $H(ZW) = H(XW)$.
	Es gilt  $H(W|Z) = 0$.
	Es gilt  $I(Z; W) > I(X; W)$.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

• Mit $X = \{0, 1, 2\}$, $Y = \{0, 1, 2\}$ gilt $X + Y = \{0, 1, 2, 3, 4\}$. Auch die Wahrscheinlichkeiten stimmen mit der gegebenen Wahrscheinlichkeitsfunktion überein.
• Die Überprüfung der beiden anderen Vorgaben zeigt, dass auch $W = X – Y + 2$ möglich ist, nicht jedoch $W = Y – X + 2$.

(2)  Aus der 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{ XW }(X, W)$ auf der Angabenseite erhält man für

• die Verbundentropie:

$$H(XW) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (9) = 3.170\,{\rm (bit)} \hspace{0.05cm},$$

• die Wahrsacheinlichkeitsfunktion der Zufallsgröße $W$:

$$P_W(W) = \big [\hspace{0.05cm}1/9\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 2/9\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 3/9 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 2/9\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1/9\hspace{0.05cm} \big ]\hspace{0.05cm},$$

• die Entropie der Zufallsgröße $W$:

$$H(W) = 2 \cdot \frac{1}{9} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{9}{1} + 2 \cdot \frac{2}{9} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{9}{2} + \frac{3}{9} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{9}{3} {= 2.197\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$

Mit $H(X) = 1.585 \ \rm bit$ (wurde vorgegeben) ergibt sich somit für die Mutual Information:

$$I(X;W) = H(X) + H(W) - H(XW) = 1.585 + 2.197- 3.170\hspace{0.15cm} \underline {= 0.612\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$

Das linke Schaubild verdeutlicht die Berechnung der Transinformation $I(X; W)$ zwischen der ersten Komponente $X$ und der Summe $W$.

Zur Berechnung der Transinformation

(3)  Die zweite Grafik zeigt die Verbundwahrscheinlichkeit $P_{ ZW }(⋅)$. Das Schema besteht aus $5 · 9 = 45$ Feldern im Gegensatz zur Darstellung von $P_{ XW }(⋅)$ auf der Angabenseite mit $3 · 9 = 27$ Feldern.

• Von den $45$ Feldern sind aber auch nur neun mit Wahrscheinlichkeiten ungleich $0$ belegt. Für die Verbundentropie gilt:   $H(ZW) = 3.170\,{\rm (bit)} \hspace{0.05cm}.$
• Mit den weiteren Entropien $H(Z) = 3.170\,{\rm (bit)}\hspace{0.05cm}$ und $H(W) = 2.197\,{\rm (bit)}\hspace{0.05cm}$ entsprechend der Aufgabe 3.8Z bzw. der Teilfrage (2) dieser Aufgabe erhält man für die Transinformation:

$$I(Z;W) = H(Z) + H(W) - H(ZW) \hspace{0.15cm} \underline {= 2.197\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Alle drei Aussagen treffen zu, wie auch aus dem oberen Schaubild ersichtlich ist. Wir versuchen eine Interpretation dieser numerischen Ergebnisse:

• Die Verbundwahrscheinlichkeit $P_{ ZW }(⋅)$ setzt sich ebenso wie $P_{ XW }(⋅)$ aus neun gleichwahrscheinlichen Elementenungleich 0 zusammen. Damit ist offensichtlich, dass auch die Verbundentropien gleich sind   ⇒   $H(ZW) = H(XW) = 3.170 \ \rm (bit)$.
• Wenn ich das Tupel $Z = (X, Y)$ kenne, kenne ich natürlich auch die Summe $W = X + Y$. Damit ist $H(W|Z) = 0$.
• Dagegen ist $H(Z|W) \ne 0$. Vielmehr gilt $H(Z|W) = H(X|W) = 0.973 \ \rm (bit)$.
• Die Zufallsgröße $W$ liefert also die genau gleiche Information hinsichtlich des Tupels $Z$ wie für die Einzelkomponente $X$. Dies ist die verbale Interpretation der Aussage $H(Z|W) = H(X|W)$.
• Die gemeinsame Information von $Z$ und $W$   ⇒   $I(Z; W)$ ist größer als die gemeinsame Information von $X$ und $W$   ⇒   $I(X; W)$ , weil $H(W|Z) =0$ gilt, während $H(W|X)$ ungleich $0$ ist, nämlich genau so groß ist wie $H(X)$ :

$$I(Z;W) = H(W) - H(W|Z) = 2.197 - 0= 2.197\,{\rm (bit)} \hspace{0.05cm},$$

$$I(X;W) = H(W) - H(W|X) = 2.197 - 1.585= 0.612\,{\rm (bit)} \hspace{0.05cm}.$$