Aufgaben:Exercise 3.15: Data Processing Theorem

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„Data Processing Theorem”

Wir betrachten die folgende Datenverarbeitungskette:

• Binäre Eingangsdaten  $X$  werden durch den Prozessor  $1$  (obere Hälfte in der Grafik) verarbeitet, der durch bedingte Wahrscheinlichkeiten   ⇒   $P_{Y\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}X}(\cdot)$  beschreibbar ist.  Dessen Ausgangsgröße ist  $Y$.
• Ein zweiter Prozessor mit der Zufallsgröße  $Y$  am Eingang und der Zufallsgröße  $Z$  am Ausgang ist durch  $P_{Z\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}Y}(\cdot)$  gegeben  (untere Hälfte in der Grafik).  $Z$  hängt allein von  $Y$  ab  (deterministisch oder stochastisch)  und ist unabhängig von  $X$:

$$P_{Z\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm} XY\hspace{-0.03cm}}(z\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm} x, y) =P_{Z\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm} Y\hspace{-0.03cm}}(z\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm} y) \hspace{0.05cm}.$$

Für diese Beschreibung wurde folgende Nomenklatur benutzt:

$$x \in X = \{0, 1\}\hspace{0.02cm},\hspace{0.3cm} y \in Y = \{0,1\}\hspace{0.02cm},\hspace{0.3cm} z \in Z = \{0, 1\}\hspace{0.02cm}.$$

Die Verbund–Wahrscheinlichkeitsfunktion  (englisch:  Joint Probability Mass Function)  lautet:

$$P_{XYZ}(x, y, z) = P_{X}(x) \cdot P_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm} X\hspace{-0.03cm}}(y\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm} x)\cdot P_{Z\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm} Y\hspace{-0.03cm}}(z\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm} y) \hspace{0.05cm}.$$

Das bedeutet auch:

$X → Y → Z$  bilden eine  Markovkette.  Für eine solche gilt das  Data Processing Theorem  mit folgender Konsequenz:

$$I(X;Z) \le I(X;Y ) \hspace{0.05cm}, $$

$$I(X;Z) \le I(Y;Z ) \hspace{0.05cm}.$$

Das Theorem besagt somit:

• Man kann durch Manipulation  (Processing)  der Daten  $Y$  keine zusätzliche Information über den Eingang  $X$  gewinnen.
• Datenverarbeitung  (durch den Prozessor   $1$)  dient nur dem Zweck, die in  $X$  enthaltene Information besser sichtbar zu machen.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Anwendung auf die Digitalsignalübertragung.
• Bezug genommen wird auch auf die Seite  Kettenregel der Transinformation im vorherigen Kapitel.

Fragebogen

1

Wie lässt sich das Ergebnis  $I(X; Y) = 1 - H_{\rm bin}(p)$  interpretieren?

	Die Herleitung erfolgt über die Eigenschaften eines streng symmetrischen Kanals.
	Ausgenutzt wird, dass  $H_{\rm bin}(p)$  eine konkave Funktion ist.
	Das Ergebnis gilt für jede Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_X(X)$.

2

Welche Transinformation  $I(X; Y)$  ergibt sich für den ersten Prozessor mit  $p = 0.1$?

$ I(X; Y) \ = \ $ $\ \rm bit$

3

Welche Transinformation  $I(Y; Z)$  ergibt sich für den zweiten Prozessor mit  $q = 0.2$?

$I(Y; Z) \ = \ $ $\ \rm bit$

4

Welche Transinformation  $I(X; Z)$  ergibt sich für das Gesamtsystem mit  $p = 0.1$  und  $q = 0.2$?

$I(X; Z) \ = \ $ $\ \rm bit$

5

Erfüllt dieses Beispiel das  „Data Processing Theorem”?

	Ja,
	Nein.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 1:

• Beide Prozessoren beschreiben streng symmetrische Kanäle   ⇒   sowohl gleichmäßig dispersiv als auch gleichmäßig fokussierend.
• Für einen solchen Binärkanal gilt mit $Y = \{0, 1\} \ ⇒ \ |Y| = 2$:

$$I(X;Y) = 1 + \sum_{y \hspace{0.05cm}\in\hspace{0.05cm} Y} \hspace{0.1cm} P_{\hspace{0.01cm}Y \mid \hspace{0.01cm} X}(y|x) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}P_{\hspace{0.01cm}Y \mid \hspace{0.01cm} X}(y|x) \hspace{0.05cm}.$$

• Hierbei ist es völlig egal, ob man von $X = 0$ oder von $X = 1$ ausgeht. Für $X = 0$ erhält man mit $P_{Y|X}(Y = 1|X = 0) = p$  und  $P_{Y|X}(Y = 0|X = 0) = 1 – p\hspace{0.05cm}$:

$$ I(X;Y) = 1 + p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (p) + (1-p) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (1-p) = 1 - H_{\rm bin}(p)\hspace{0.05cm}, \hspace{1.0cm}H_{\rm bin}(p)= p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p}+ (1-p) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1-p}\hspace{0.05cm}.$$

• Das Ergebnis gilt allerdings nur für $P_X(X) = (0.5, \ 0.5)$   ⇒   maximale Transinformation   ⇒   Kanalkapazität.
• Andernfalls ist $I(X; Y)$ kleiner. Beispielsweise gilt für $P_X(X) = (1, \ 0)$:   $H(X) = 0$   ⇒   $I(X; Y) = 0.$
• Die binäre Entropiefunktion ist zwar konkav, aber diese Eigenschaft wurde bei der Herleitung nicht benutzt   ⇒   Antwort 2 ist falsch.

(2)  Für den Prozessor $1$ ergibt sich mit $p = 0.1\hspace{0.05cm}$:

$$ I(X;Y) = 1 - H_{\rm bin}(0.1) = 1 - 0.469 \hspace{0.15cm} \underline {=0.531 \,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Entsprechend gilt für den zweiten Prozessor mit $q = 0.2\hspace{0.05cm}$:

$$I(Y;Z) = 1 - H_{\rm bin}(0.2) = 1 - 0.722 \hspace{0.15cm} \underline {=0.278 \,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Die Wahrscheinlichkeit für $Z = 0$ unter der Bedingung $X = 0$ ergibt sich über zwei Wege zu

$$P(\hspace{0.01cm}Z\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}0 \mid \hspace{0.01cm} X\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}0) = (1-p) \cdot (1-q) + p \cdot q = 1 - p - q + 2pq \stackrel{!}{=} 1 - \varepsilon \hspace{0.05cm}.$$

• Das Gesamtsystem hat dann die genau gleiche BSC–Struktur wie die Prozessoren $1$ und $2$, aber nun mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = p + q - 2pq \hspace{0.05cm}.$
• Für $p = 0.1$ und $q = 0.2$ erhält man:

$$ \varepsilon = 0.1 + 0.2 - 2\cdot 0.1 \cdot 0.2 = 0.26 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Z) = 1 - H_{\rm bin}(0.26) = 1 - 0.827 \hspace{0.15cm} \underline {=0.173 \,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Die Antwort ist natürlich JA, da beim Data Processing Theorem genau von den hier gegebenen Voraussetzungen ausgegangen wird.

Wir wollen aber zusätzlich einige numerische Ergebnisse auswerten:

• Gilt $0 ≤ p < 0.5$  und  $0 ≤ q < 0.5$, so erhält man:

$$\varepsilon = p + q \cdot (1-2p) > p \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Z) < I(X;Y) \hspace{0.05cm},$$

$$\varepsilon = q + p \cdot (1-2q) > q \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Z) < I(Y;Z) \hspace{0.05cm}.$$

• Für  $p = 0.5$  gilt unabhängig von  $q$, da $I(X; Z)$ nicht größer sein kann als $I(X; Y)$:

$$\varepsilon = 0.5 + q \cdot (1-1) = 0.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Y) = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Z) = 0 \hspace{0.05cm}.$$

• Ebenso erhält man mit  $q = 0.5$  unabhängig von  $p$:

$$\varepsilon = 0.5 + p \cdot (1-1) = 0.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(Y;Z) = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Z) = 0 \hspace{0.05cm}.$$

• Auch für  $p < 0.5$  und  $q > 0.5$  wird das Data Processing Theorem nicht verletzt, was hier nur an einem Beispiel gezeigt werden soll:
• Mit  $p = 0.1$  und  $q = 0.8$  erhält man das gleiche Ergebnis wie in Teilaufgabe (4):

$$\varepsilon = 0.1 + 0.8 - 2\cdot 0.1 \cdot 0.8 = 0.74 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X;Z) = 1 - H_{\rm bin}(0.74) = 1 - H_{\rm bin}(0.26) =0.173 \,{\rm (bit)} \hspace{0.05cm}.$$