Aufgaben:Exercise 3.6: State Transition Diagram

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Einfache Realisierung eines Rate–$1/2$–Faltungscodierers

Eine Beschreibungsmöglichkeit für Faltungscodierer bietet das so genannte Zustandsübergangsdiagramm. Beinhaltet der Coder  $m$  Speicherregister   ⇒   Einflusslänge  $\nu = m + 1$, so gibt es nach der aktuellen Speicherbelegung verschiedene Zustände  $S_{\mu}$ mit $0 ≤ \mu ≤ 2^m -1$, wobei für den Index gilt:

$$\mu = \sum_{l = 1}^{m} \hspace{0.1cm}2^{l-1} \cdot u_{i-l} \hspace{0.05cm}.$$

Diese Art der Coderbeschreibung soll auf den oben skizzierten Faltungscodierer der Rate  $R = 1/2$  angewendet werden.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Codebeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm.
• Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt  Zustandsdefinition für ein Speicherregister.

Fragebogen

1

Wieviele Zustände weist dieser Faltungscodierer auf?

${\rm Anzahl \ der \ Zustände} \ = \ $

2

Kommt man von jedem Zustand zu allen anderen Zuständen?

	Ja.
	Nein.

3

Welche Aussagen gelten für den Übergang von  $s_i = S_1$  nach  $s_{i+1} = S_0$?

	Das aktuelle Informationsbit muss  $u_i = 0$  sein.
	Das aktuelle Informationsbit muss  $u_i = 1$  sein.
	Die zugehörige Codesequenz lautet  $\underline{x}_i = (01)$.
	Die zugehörige Codesequenz lautet  $\underline{x}_i = (10)$.

4

Welche Aussagen gelten für den Übergang von  $s_i = S_1$  nach  $s_{i+1} = S_1$?

	Das aktuelle Informationsbit muss  $u_i = 0$  sein.
	Das aktuelle Informationsbit muss  $u_i = 1$  sein.
	Die zugehörige Codesequenz lautet  $\underline{x}_i = (01)$.
	Die zugehörige Codesequenz lautet  $\underline{x}_i = (10)$.

5

Welche Informationssequenzen sind möglich?

	$\underline{u} = (1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1 \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$,
	$\underline{u} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.

6

Welche Codesequenzen sind möglich?

	$\underline{x} = (11, \, 10, \, 01, \, 00, \, 11, \, 10, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$,
	$\underline{x} = (11, \, 00, \, 10, \, 01, \, 11, \, 00, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.

Musterlösung

Solution

Ersatzschaltbild des betrachteten Codierers

(1)  Wie aus dem nebenstehenden Ersatzschaltbild hervorgeht, beinhaltet der Codierer nur ein Speicherelement  
⇒   Gedächtnis $m = 1$. Damit gibt es $2^m \ \underline{= 2}$ Zustände, nämlich

• den Zustand $S_0 \ \Rightarrow \ u_{i–1} = 0$,
• den Zustand $S_1 \ \Rightarrow \ u_{i–1} = 1$.

(2)  Von jedem Zustand gehen $2^k = 2$ Pfeile zu verschiedenenen Zuständen ab.

• Da es nur zwei Zustände gibt, ist die Antwort JA richtig.

(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

• Das zum Zeitpunkt $i$ anliegende Informationsbit $u_i$ ist hinsichtlich des darauf folgenden Zeitpunkts $(j = i + 1)$ das vorherige Bit $(u_{j–1})$.
• Damit gilt $s_{i+1} = u_i$. Nur mit $u_i = 0$ kommt man von $s_i = S_1$ nach $s_{i+1} = S_0$   ⇒   Lösungsvorschlag 1.
• Aus $s_i = S_1$ ⇒ $u_{i–1} = 1$ folgt weiter   ⇒   Lösungsvorschlag 3:

$${x}_i^{(1)} = u_i = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{x}_i^{(2)} = u_i + u_{i-1}= 0+1 = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{x}_i = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}. $$

• Den Lösungsvorschlag 4 hätte man von Anfang an ausschließen können. Die Grafik auf dem Angabenblatt zeigt eindeutig, dass der Coder systematisch ist: $x_i^{(1)} = u_i$. Die Kombination $u_i = 0$ und $\underline{x}_i = (1, 0)$ würde dem widersprechen.

Zustands– und Trellisdiagramm für den betrachteten Codierer

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 4:

• Auf ähnlichem Lösungsweg wie in der Teilaufgabe (3) gelangt man zum Ergebnis, dass hier das aktuelle Informationsbit $u_i = 1$ sein muss.
• Die zugehörige Codesequenz lautet $\underline{x}_i = (10)$.
• Damit ergeben sich das folgende Zustandsübergangsdiagramm (links) und das daraus ableitbare Trellisdiagramm:
• Rote Pfeile kennzeichnen das Informationsbit $u_i = 0$, während bei blauen Pfeilen $u_i = 1$ anzusetzen ist.

(5)  Beide Lösungsvorschläge sind richtig. Für die Informationssequenzen gibt es (außer binär) keine weiteren Beschränkungen.

(6)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1. Ausgehend vom Zustand $S_0$ kommt man

• mit $u_1 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe „$11$”,
• mit $u_2 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe „$10$”,
• mit $u_3 = 0$ zum Zustand $S_0$, Ausgabe „$01$”,
• mit $u_4 = 0$ zum Zustand $S_0$, Ausgabe „$00$”,
• mit $u_5 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe „$11$”,
• mit $u_6 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe „$10$”.

Dagegen ist die zweite Codesequenz nicht möglich:

• Die Ausgabe „$11$” bedeutet, dass man bei $S_0$ gestartet ist und mit $u_1 = 1$ zum Zustand $S_1$ kommt.
• Im Zustand $S_1$ sind dann aber nur die Ausgaben „$01$” und „$10$” möglich, nicht jedoch „$00$”.