Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.2: ISDN and PCM"

Revision as of 14:33, 12 July 2019

Komponenten des PCM-Senders

Die Umwandlung des analogen Sprachsignals $q(t)$ in das Binärsignal $q_{\rm C}(t)$ geschieht bei ISDN (Integrated Services Digital Network) entsprechend den Richtlinien der Pulscodemodulation (PCM) durch

Abtastung im Abstand $T_{\rm A} = 1/f_{\rm A}$,
Quantisierung auf $M = 256$ diskrete Werte,
binäre PCM–Codierung mit $N$ Bit pro Quantisierungswert.

Die Netto–Datenrate eines so genannten $\rm B$–Kanals (Bearer Channel) ist $64 \ \rm kbit/s$ und entspricht der Bitrate des redundanzfreien Binärsignals $q_{\rm C}(t)$. Wegen der anschließenden redundanten Kanalcodierung und der eingefügten Signalisierungsbits ist allerdings die Brutto–Datenrate – also die Übertragungsrate des Sendesignals $s(t)$ – größer.

Ein Maß für die Qualität des gesamten (ISDN–)Übertragungssystems ist das Sinken–SNR

$$\rho_{v} = \frac{P_q}{P_{\varepsilon}} = \frac{\overline{q(t)^2}}{\overline{[\upsilon(t) - q(t)]^2}}$$

als das Verhältnis der Leistungen des auf den Bereich $300 \ {\rm Hz}\ \text{...}\ 3400 \ {\rm Hz}$ bandbegrenzten Analogsignals $q(t)$ und des Fehlersignals $\varepsilon (t) = v (t) - q(t)$.

Für das Sinkensignal $v (t)$ wird hierbei eine ideale Signalrekonstruktion mit einem idealen rechteckförmigen Tiefpass vorausgesetzt.

Hinweis:

Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Allgemeine Beschreibung von ISDN dieses Buches.
Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Pulscodemodulation des Buches „Modulationsverfahren”.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Die Quantisierungsstufenzahl $M$ wird meist als Zweierpotenz gewählt und für die Bitanzahl $N = {\log_2}\hspace{0.05cm}(M)$.

Aus $M = 2^{8} = 256$ folgt $\underline{N = 8}$.

(2) Für die Bitrate gilt $R_{\rm B} = N \cdot f_{\rm A}$.

Aus $R_{\rm B} = 64 \ \rm kbit/s$ und $N = 8$ erhält man somit $f_{\rm A} \hspace{0.15cm}\underline{= 8 \ \rm kHz}$.

(3) Durch die Bandbegrenzung ist die höchste im Signal $q(t)$ enthaltene Frequenz gleich $3.4 \ \rm kHz$.

Nach dem Abtasttheorem müsste deshalb $f_{\rm A} ≥ 6.8 \ \rm kHz$ gelten.
Mit $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$ ist die Bedingung erfüllt ⇒ $\underline {\rm JA}$.

(4) Richtig ist die letzte Aussage:

Auch wenn der Einfluss des AWGN–Rauschens gering ist $($kleine Rauschleistungsdichte $N_{0})$, kann das Sinken–SNR $\rho_{v}$ einen durch das Quantisierungsrauschen gegebenen Grenzwert nicht unterschreiten:

$$\rho_{v} \approx \rho_{\rm Q} = 2^{2M} = 2^{16} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v} \approx 48\, {\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

Bei größerer Rauschstörung wird $\rho_{v}$ durch die dann vorhandenen Übertragungsfehler weiter (signifikant) verringert.
Dagegen führt die Abtastung zu keinem Qualitätsverlust, wenn das Abtasttheorem eingehalten wird.
Die Abtastung kann dann vollständig rückgängig gemacht werden, wenn das Quellensignal $q(t)$ bandbegrenzt ist und die Signalrekonstruktion richtig dimensioniert ist: idealer Tiefpass.

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 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Quantisierungsstufenzahl $M$ wird meist als Zweierpotenz gewählt und für die Bitanzahl $N = {\log_2}\hspace{0.05cm}(M)$. <br>Aus $M = 2^{8} = 256$ folgt $\underline{N = 8}$.
+'''(1)'''&nbsp; Die Quantisierungsstufenzahl&nbsp; $M$&nbsp; wird meist als Zweierpotenz gewählt und für die Bitanzahl&nbsp; $N = {\log_2}\hspace{0.05cm}(M)$.
+*Aus&nbsp; $M = 2^{8} = 256$&nbsp; folgt&nbsp; $\underline{N = 8}$.
-'''(2)'''&nbsp;  Für die Bitrate gilt $R_{\rm B} = N \cdot f_{\rm A}$. Aus $R_{\rm B} = 64 \ \rm  kbit/s$ und $N = 8$ erhält man somit $f_{\rm A} \hspace{0.15cm}\underline{= 8 \ \rm kHz}$.
+'''(2)'''&nbsp;  Für die Bitrate gilt&nbsp; $R_{\rm B} = N \cdot f_{\rm A}$.
+*Aus&nbsp; $R_{\rm B} = 64 \ \rm  kbit/s$&nbsp; und&nbsp; $N = 8$&nbsp; erhält man somit&nbsp; $f_{\rm A} \hspace{0.15cm}\underline{= 8 \ \rm kHz}$.
-'''(3)'''&nbsp;  Durch die Bandbegrenzung ist die höchste im Signal $q(t)$ enthaltene Frequenz gleich $3.4 \ \rm kHz$. Nach dem Abtasttheorem müsste deshalb $f_{\rm A} ≥ 6.8 \ \rm kHz$ gelten. Mit  $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$ ist die Bedingung erfüllt &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline {\rm JA}$.
-'''(4)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>beiden letzten Aussagen</u>:
+'''(3)'''&nbsp;  Durch die Bandbegrenzung ist die höchste im Signal&nbsp; $q(t)$&nbsp; enthaltene Frequenz gleich&nbsp; $3.4 \ \rm kHz$.
-*Auch wenn der Einfluss des AWGN–Rauschens gering ist (kleine Rauschleistungsdichte $N_{0}$), kann das Sinken–SNR $\rho_{v}$ einen durch das Quantisierungsrauschen gegebenen Grenzwert nicht unterschreiten:
+*Nach dem Abtasttheorem müsste deshalb&nbsp; $f_{\rm A} ≥ 6.8 \ \rm kHz$&nbsp; gelten.
+*Mit&nbsp;  $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$&nbsp; ist die Bedingung erfüllt &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline {\rm JA}$.
+'''(4)'''&nbsp;  Richtig ist die <u>letzte Aussage</u>:
+*Auch wenn der Einfluss des AWGN–Rauschens gering ist $($kleine Rauschleistungsdichte&nbsp; $N_{0})$, kann das Sinken–SNR&nbsp; $\rho_{v}$&nbsp; einen durch das Quantisierungsrauschen gegebenen Grenzwert nicht unterschreiten:
 :$$\rho_{v} \approx \rho_{\rm Q} = 2^{2M} = 2^{16} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v} \approx 48\, {\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
-*Bei größerer Rauschstörung wird $\rho_{v}$ durch die dann vorhandenen Übertragungsfehler weiter (signifikant) verringert.
+*Bei größerer Rauschstörung wird&nbsp; $\rho_{v}$&nbsp; durch die dann vorhandenen Übertragungsfehler weiter (signifikant) verringert.
 *Dagegen führt die Abtastung zu keinem Qualitätsverlust, wenn das Abtasttheorem eingehalten wird.
-*Die Abtastung kann dann vollständig rückgängig gemacht werden, wenn das Quellensignal $q(t)$ bandbegrenzt ist und die Signalrekonstruktion (ein idealer Tiefpass) richtig dimensioniert ist.
+*Die Abtastung kann dann vollständig rückgängig gemacht werden, wenn das Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; bandbegrenzt ist und die Signalrekonstruktion richtig dimensioniert ist:&nbsp;   idealer Tiefpass.
 {{ML-Fuß}}

	Abtastung (falls Abtasttheorem erfüllt),
	AWGN–Rauschen (Übertragungsfehler).

	Ja,
	nein.