Difference between revisions of "Signal Representation/Analytical Signal and its Spectral Function"

Revision as of 15:13, 4 October 2019

Definition im Frequenzbereich

Wir betrachten ein reelles bandpassartiges Signal $x(t)$ mit dem dazugehörigen Bandpass–Spektrum $X(f)$, das bezüglich des Frequenznullpunktes einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt. Es wird vorausgesetzt, dass die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ sehr viel größer als die Bandbreite des Bandpass–Signals $x(t)$ ist.

$\text{Definition:}$ Das zum physikalischen Signal $x(t)$ gehörige analytische Signal $x_+(t)$ ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:

Analytisches Signal im Frequenzbereich

$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

Die so genannte „Signumfunktion” ist dabei für positive Werte von $f$ gleich $+1$ und für negative $f$–Werte gleich $-1$.

Der (beidseitige) Grenzwert liefert $\sign(0) = 0$.
Der Index „+” soll deutlich machen, dass $X_+(f)$ nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.

Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für $X_+(f)$:

Das tatsächliche Bandpass–Spektrum $X(f)$ wird

bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.

Beispielspektrum des analytischen Signals

$\text{Beispiel 1:}$

Die Grafik zeigt

links das (komplexe) Spektrum $X(f)$ des Bandpass–Signals

$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm u} \hspace{0.03cm}t) + 6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t).$$

rechts das (ebenfalls komplexe) Spektrum des analytischen Signals $x_{+}(t)$.

Allgemeingültige Berechnungsvorschrift im Zeitbereich

Zur Herleitung des analytischen Signals

Wir betrachten nun das Spektrum $X_+(f)$ des analytischen Signals etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich $f = 0$ geraden Anteil $X_{\rm +g}(f)$ und einen ungeraden Anteil $X_{\rm +u}(f)$ auf:

$$X_+(f) = X_{\rm +g}(f) + X_{\rm +u}(f).$$

Alle diese Spektren sind im allgemeinen komplex.

Berücksichtigt man den Zuordnungssatz der Fouriertransformation, so sind anhand der Grafik folgende Aussagen möglich:

Der gerade Anteil $X_{\rm +g}(f)$ von $X_{+}(f)$ führt nach der Fouriertransformation zu einem reellen Zeitsignal, der ungerade Anteil $X_{\rm +u}(f)$ zu einem imaginären.
Es ist offensichtlich, dass $X_{\rm +g}(f)$ gleich dem tatsächlichen Fourierspektrum $X(f)$ und damit der Realteil von $x_{\rm +g}(t)$ gleich dem vorgegebenen Signal $x(t)$ mit Bandpasseigenschaften ist.
Bezeichnen wir den Imaginärteil mit $y(t)$, so lautet das analytische Signal:

$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$

Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem Zuordnungssatz gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:

$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\rm sign}(f)}{ {\rm j}}\cdot X(f).$$

Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die Faltungsoperation, und man erhält:

$$y(t) = \frac{1}{ {\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star \hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot \hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t - \tau}}\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$

Darstellung mit der Hilberttransformation

An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch Lineare zeitinvariante Systeme noch eingehend behandelt wird.

$\text{Definition:}$ Für die Hilberttransformierte $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$ einer Zeitfunktion $x(t)$ gilt:

$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot \hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t - \tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$

Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des Cauchy–Hauptwertsatzes ausgewertet werden.

Entsprechend gilt im Frequenzbereich:

$$Y(f) = - {\rm j} \cdot {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$$

Das Ergebnis der letzten Seite lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:

Man erhält aus dem realen, physikalischen Bandpass–Signal $x(t)$ das analytische Signal $x_+(t)$, indem man zu $x(t)$ einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:

$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$

Die Hilberttransformierte $\text{H}\{x(t)\}$ verschwindet nur für den Fall $x(t) = \rm const.$ ⇒ Gleichsignal Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal $x_+(t)$ somit stets komplex.
Aus dem analytischen Signal $x_+(t)$ kann das reale Bandpass–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:

$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$

$\text{Beispiel 2:}$ Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die folgende Grafik nochmals verdeutlicht:

Nach der linken Darstellung $\rm (A)$ kommt man vom physikalischen Signal $x(t)$ zum analytischen Signal $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil ${\rm j} \cdot y(t)$ hinzufügt.
Hierbei ist $y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$ eine reelle Zeitfunktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch die Multiplikation des Spektrums $X(f)$ mit $- {\rm j} \cdot \sign(f)$ angeben lässt.

Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten

Die rechte Darstellung $\rm (B)$ ist äquivalent zu $\rm (A)$:

Nun gilt $x_+(t) = x(t) + z(t)$ mit der rein imaginären Funktion $z(t)$.
Ein Vergleich der beiden Bilder zeigt, dass tatsächlich $z(t) = {\rm j} \cdot y(t)$ ist.

Zeigerdiagrammdarstellung der harmonischen Schwingung

Die Spektralfunktion $X(f)$ einer harmonischen Schwingung $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_{\rm T}t - \varphi)$ besteht bekanntlich aus zwei Diracfunktionen bei den Frequenzen

$+f_{\rm T}$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
$-f_{\rm T}$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.

Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals $($also ohne die Diracfunktion bei der Frequenz $f =-f_{\rm T})$:

$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm T}) .$$

Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des Verschiebungssatzes:

$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}( 2 \pi f_{\rm T} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$

Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$ drehenden Zeiger.

$\text{Beispiel 3:}$ Aus Darstellungsgründen ist in der folgenden Grafik das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um $90^\circ$ nach links gedreht (Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).

Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung

Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:

Zum Startzeitpunkt $t = 0$ liegt der Zeiger der Länge $A$ (Signalamplitude) mit dem Winkel $-\varphi$ in der komplexen Ebene. Im gezeichneten Beispiel gilt $\varphi = 45^\circ$.
Für Zeiten $t > 0$ dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) $\omega_{\rm T}$ in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius $A$ und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit $T_0$, also die Periodendauer der harmonischen Schwingung $x(t)$.
Die Projektion des analytischen Signals $x_+(t)$ auf die reelle Achse, durch rote Punkte markiert, liefert die Augenblickswerte von $x(t)$.

Zeigerdiagramm einer Summe harmonischer Schwingungen

Für die weitere Beschreibung gehen wir für das analytische Signal von folgendem Spektrum aus:

$$X_+(f) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \varphi_i}\cdot\delta (f - f_{i}) .$$

Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel $I = 3$. Wählt man $I$ relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung auch (frequenz–) kontinuierliche Spektralfunktionen $X_+(f)$ angenähert werden.

Zeigerdiagramm eines Verbundes aus drei Schwingungen

Im rechten Bild ist die dazugehörige Zeitfunktion angedeutet. Diese lautet allgemein:

$$x_+(t) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}(\omega_i \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$

Zu dieser Grafik anzumerken:

Die Skizze zeigt die Ausgangslage der Zeiger zum Startzeitpunkt $t = 0$ entsprechend den Amplituden $A_i$ und den Phasenlagen $\varphi_i$.
Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert. Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt $t = 0$:

$$x_+(t= 0) = \big [1 \cdot \cos(60^\circ) - 1 \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ) \big ]+ 2 \cdot \cos(0^\circ)+1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$

Für Zeiten $t > 0$ drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten $\omega_i = 2\pi f_i$. Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger $x_+(t)$ tendenziell in diese Richtung bewegen. Zum Zeitpunkt $t = 1\,µ\text {s}$ liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die gegebenen Parameterwerte bei

$$ \begin{align*}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}µ s}) & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}40 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}50 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}60 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} = \\ & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}45.6^\circ} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}18^\circ}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}21.6^\circ} \approx 1.673- {\rm j} \cdot 0.464.\end{align*}$$

Die resultierende Zeigerspitze liegt nun aber nicht wie bei einer einzigen Schwingung auf einem Kreis, sondern es entsteht eine komplizierte geometrische Figur.

Das interaktive Applet Physikalisches Signal & Analytisches Signal verdeutlicht $x_+(t)$ für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.3: Zeigerdiagrammdarstellung

Aufgabe 4.3Z: Hilbert-Transformator

Aufgabe 4.4: Zeigerdiagramm bei ZSB-AM

Aufgabe 4.4Z: Zeigerdiagramm bei ESB-AM

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 Wir betrachten nun das Spektrum&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; des analytischen Signals etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich&nbsp; $f = 0$&nbsp; geraden  Anteil&nbsp; $X_{\rm +g}(f)$&nbsp; und einen ungeraden Anteil&nbsp; $X_{\rm +u}(f)$&nbsp; auf:
 :$$X_+(f) = X_{\rm +g}(f) + X_{\rm +u}(f).$$
-Alle diese Spektren sind im Allgemeinen komplex.
+Alle diese Spektren sind im allgemeinen komplex.
 Berücksichtigt man den&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]]&nbsp; der Fouriertransformation, so sind anhand der Grafik folgende Aussagen möglich:
 *Der gerade Anteil&nbsp; $X_{\rm +g}(f)$&nbsp; von&nbsp; $X_{+}(f)$&nbsp; führt nach der Fouriertransformation zu einem reellen Zeitsignal, der ungerade Anteil&nbsp; $X_{\rm +u}(f)$&nbsp; zu einem imaginären.
+*Es ist offensichtlich, dass&nbsp; $X_{\rm +g}(f)$&nbsp; gleich dem tatsächlichen Fourierspektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; und damit der Realteil von&nbsp; $x_{\rm +g}(t)$&nbsp; gleich dem vorgegebenen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit Bandpasseigenschaften ist.
+*Bezeichnen wir den Imaginärteil mit&nbsp; $y(t)$, so lautet das analytische Signal:
-*Es ist offensichtlich, dass $X_{\rm +g}(f)$ gleich dem tatsächlichen Fourierspektrum $X(f)$ und damit der Realteil von $x_{\rm +g}(t)$ gleich dem vorgegebenen Signal $x(t)$ mit Bandpasseigenschaften ist.
-*Bezeichnen wir den Imaginärteil mit $y(t)$, so lautet das analytische Signal:
 :$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$
-*Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]] gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:
+*Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]]&nbsp; gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:
 :$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f)
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\rm
 sign}(f)}{ {\rm j}}\cdot X(f).$$
-*Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungsoperation]], und man erhält:
+*Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungsoperation]], und man erhält:
 :$$y(t) = \frac{1}{ {\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star
 \hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot
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 ==Darstellung mit der Hilberttransformation==
 <br>
-An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|Lineare zeitinvariante Systeme]] noch eingehend behandelt wird.
+An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|Lineare zeitinvariante Systeme]]&nbsp; noch eingehend behandelt wird.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Für die '''Hilberttransformierte''' $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$ einer Zeitfunktion $x(t)$ gilt:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Für die&nbsp; '''Hilberttransformierte'''&nbsp; $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$&nbsp; einer Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; gilt:
 :$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot
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 \tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
-*Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert Cauchy–Hauptwertsatzes] ausgewertet werden.
+*Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert Cauchy–Hauptwertsatzes]&nbsp; ausgewertet werden.
 *Entsprechend gilt im Frequenzbereich:
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 Das Ergebnis der letzten Seite lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:
-*Man erhält aus dem realen, physikalischen BP–Signal $x(t)$ das analytische Signal $x_+(t)$, indem man zu $x(t)$ einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:
+*Man erhält aus dem realen, physikalischen Bandpass–Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; das analytische Signal&nbsp; $x_+(t)$, indem man zu&nbsp; $x(t)$&nbsp; einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:
 :$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$
-*Die Hilberttransformierte $\text{H}\{x(t)\}$ verschwindet nur für den Fall  $x(t) = \rm const.$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Gleichsignal  Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal $x_+(t)$ somit stets komplex.
+*Die Hilberttransformierte&nbsp; $\text{H}\{x(t)\}$&nbsp; verschwindet nur für den Fall&nbsp;  $x(t) = \rm const.$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Gleichsignal  Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; somit stets komplex.
-*Aus dem analytischen Signal $x_+(t)$ kann das reale Bandpass–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:
+*Aus dem analytischen Signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; kann das reale Bandpass–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:
 :$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die folgende Grafik nochmals verdeutlicht:
-*Nach der linken Darstellung $\rm (A)$ kommt man vom physikalischen Signal $x(t)$ zum analytischen Signal $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil ${\rm j} \cdot y(t)$ hinzufügt.
+*Nach der linken Darstellung&nbsp; $\rm (A)$&nbsp; kommt man vom physikalischen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; zum analytischen Signal&nbsp; $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil&nbsp; ${\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; hinzufügt.
-*Hierbei ist $y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$] eine reelle Zeitfunktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch die Multiplikation des Spektrums $X(f)$ mit $- {\rm j} \cdot \sign(f)$ angeben lässt.
+*Hierbei ist&nbsp; $y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$&nbsp; eine reelle Zeitfunktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch die Multiplikation des Spektrums&nbsp; $X(f)$&nbsp; mit&nbsp; $- {\rm j} \cdot \sign(f)$&nbsp; angeben lässt.
 [[File:P_ID2729__Sig_T_4_2_S2b_neu.png|center|frame|Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten]]
-Die rechte Darstellung $\rm (B)$ ist äquivalent zu $\rm (A)$:
+Die rechte Darstellung&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; ist äquivalent zu&nbsp; $\rm (A)$:
-*Nun gilt $x_+(t) = x(t) + z(t)$ mit der rein imaginären Funktion $z(t)$.
+*Nun gilt&nbsp; $x_+(t) = x(t) + z(t)$&nbsp; mit der rein imaginären Funktion&nbsp; $z(t)$.
-*Ein Vergleich der beiden Bilder zeigt, dass tatsächlich $z(t) = {\rm j} \cdot y(t)$ ist.}}
+*Ein Vergleich der beiden Bilder zeigt, dass tatsächlich&nbsp; $z(t) = {\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; ist.}}
 ==Zeigerdiagrammdarstellung der harmonischen Schwingung==
 <br>
-Die Spektralfunktion $X(f)$ einer harmonischen Schwingung $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_{\rm T}t - \varphi)$ besteht bekanntlich aus zwei Diracfunktionen bei den Frequenzen
+Die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; einer harmonischen Schwingung&nbsp; $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_{\rm T}t - \varphi)$&nbsp; besteht bekanntlich aus zwei Diracfunktionen bei den Frequenzen
-* $+f_{\rm T}$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
+* $+f_{\rm T}$&nbsp; mit dem komplexen Gewicht&nbsp; $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
-* $-f_{\rm T}$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.
+* $-f_{\rm T}$&nbsp; mit dem komplexen Gewicht&nbsp; $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.
-Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals (also ohne die Diracfunktion bei der Frequenz $f =-f_{\rm T}$):
+Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals&nbsp; $($also ohne die Diracfunktion bei der Frequenz&nbsp; $f =-f_{\rm T})$:
 :$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm
 T}) .$$
-Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]:
+Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]:
 :$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}( 2 \pi f_{\rm T} t
 \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$
-Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$ drehenden Zeiger.
+Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit&nbsp; $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$&nbsp; drehenden Zeiger.
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Aus Darstellungsgründen ist in der folgenden Grafik das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um $90^\circ$ nach links gedreht (Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).
+$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Aus Darstellungsgründen ist in der folgenden Grafik das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um&nbsp; $90^\circ$&nbsp; nach links gedreht (Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).
 [[File:P_ID712__Sig_T_4_2_S3.png|center|frame|Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung]]
 Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:
-*Zum Startzeitpunkt $t = 0$ liegt der Zeiger der Länge $A$ (Signalamplitude) mit dem Winkel $-\varphi$ in der komplexen Ebene. Im gezeichneten Beispiel gilt $\varphi = 45^\circ$.
+*Zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; liegt der Zeiger der Länge&nbsp; $A$&nbsp; (Signalamplitude) mit dem Winkel&nbsp; $-\varphi$&nbsp; in der komplexen Ebene. Im gezeichneten Beispiel gilt&nbsp; $\varphi = 45^\circ$.
-*Für Zeiten $t > 0$ dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) $\omega_{\rm T}$ in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
+*Für Zeiten&nbsp; $t > 0$&nbsp; dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz)&nbsp; $\omega_{\rm T}$&nbsp; in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
-*Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius $A$ und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit $T_0$, also die Periodendauer der harmonischen Schwingung $x(t)$.
+*Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius&nbsp; $A$&nbsp; und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit&nbsp; $T_0$, also die Periodendauer der harmonischen Schwingung&nbsp; $x(t)$.
-*Die Projektion des analytischen Signals $x_+(t)$ auf die reelle Achse, durch rote Punkte markiert, liefert die Augenblickswerte von $x(t)$.}}
+*Die Projektion des analytischen Signals&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; auf die reelle Achse, durch rote Punkte markiert, liefert die Augenblickswerte von&nbsp; $x(t)$.}}
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 \varphi_i}\cdot\delta (f - f_{i}) .$$
-Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel $I = 3$. Wählt man $I$ relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung auch kontinuierliche Spektralfunktionen $X_+(f)$ angenähert werden.
+Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel&nbsp; $I = 3$. Wählt man&nbsp; $I$&nbsp; relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung auch (frequenz&ndash;) kontinuierliche Spektralfunktionen&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; angenähert werden.
 [[File:P_ID715__Sig_T_4_2_S4.png|center|frame|Zeigerdiagramm eines Verbundes aus drei Schwingungen]]
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 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$
-Zu dieser Grafik ist Folgendes anzumerken:
+Zu dieser Grafik anzumerken:
-*Die Skizze zeigt die Ausgangslage der Zeiger zum Startzeitpunkt $t = 0$ entsprechend den Amplituden $A_i$ und den Phasenlagen $\varphi_i$.
+*Die Skizze zeigt die Ausgangslage der Zeiger zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; entsprechend den Amplituden&nbsp; $A_i$&nbsp; und den Phasenlagen&nbsp; $\varphi_i$.
-*Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert. Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt $t = 0$:
+*Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert. Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$:
-:$$x_+(t) = \big [1 \cdot \cos(60^\circ) - 1  \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ) \big ]+ 2 \cdot \cos(0^\circ)+1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$
+:$$x_+(t= 0) = \big [1 \cdot \cos(60^\circ) - 1  \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ) \big ]+ 2 \cdot \cos(0^\circ)+1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$
-*Für Zeiten $t$ > 0 drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten $\omega_i = 2\pi f_i$. Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
+*Für Zeiten&nbsp; $t > 0$&nbsp; drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten&nbsp; $\omega_i = 2\pi f_i$. Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
-*Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger $x_+(t)$ tendenziell in diese Richtung bewegen. Zum Zeitpunkt $t = 1\,&micro;\text {s}$ liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die angegebenen Parameterwerte bei
+*Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; tendenziell in diese Richtung bewegen. Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 1\,&micro;\text {s}$&nbsp; liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die gegebenen Parameterwerte bei
 :$$ \begin{align*}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}&micro; s}) & =  1 \cdot {\rm e}^{-{\rm
 j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm
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-Das interaktive Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]] zeigt $x_+(t)$ für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.
+Das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]&nbsp; verdeutlicht&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.