Aufgaben:Exercise 5.2Z: Two-Way Channel

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Zweiwegekanal–Impulsantwort  $h(t)$  und  $h(t) * h( { - t} )$

Von einem Übertragungssystem ist bekannt, dass zwischen dem Eingangssignal  $x(t)$  und dem Ausgangssignal  $y(t)$  der folgende Zusammenhang besteht:

$$y(t) = x( {t - \tau _1 } ) + \alpha \cdot x( {t - \tau _2 } ).$$

Die dazugehörige Impulsantwort  $h(t)$  ist oben skizziert.

In der unteren Skizze ist die Funktion

$$h(t) * h( { - t} )\hspace{0.25cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\hspace{0.25cm}\left| {H(f)} \right|^2$$

dargestellt, wobei die Parameter  $C_0$,  $C_3$  und  $\tau_3$  von  $\alpha$,  $\tau_1$  und  $\tau_2$  abhängen   ⇒   siehe Teilaufgabe  (4).

Das Eingangssignal  $x(t)$  sei bandbegrenztes weißes Rauschen

• mit der Leistungsdichte  $N_0 = 10^{-6} \hspace{0.08cm} \rm W/Hz$
• und der Bandbreite  $B = 10 \hspace{0.08cm} \rm kHz$,

woraus die Leistung  $P_x = 10 \hspace{0.08cm} \rm mW$  berechnet werden kann.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Stochastische Systemtheorie.
• Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen stets den Wert  $\alpha = 0.5$.
• Für die Teilaufgaben  (1)  und  (2)  gelte zudem  $\tau_1 = 0$  und  $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$.
• Für die späteren Aufgabenteile soll von  $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$  und  $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$ ausgegangen werden.

Fragebogen

1

Berechnen Sie den Frequenzgang  $H(f)$  für  $\tau_1 = 0$  und $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$.  Zeigen Sie, dass  $H(f)$  eine mit  $f_0$  periodische Funktion ist.  Wie groß ist  $f_0$?

$f_0 \ = \ $ $\ \rm kHz$

2

Wie groß ist  $|H(f)|^2$  mit  $\tau_1 = 0$,  $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$  und  $\alpha = 0.5$?  Geben Sie den Wert bei  $f = 0$  ein.

$|H(f = 0)|^2 \ = \ $

3

Wie verändert sich  $|H(f)|^2$  mit  $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$  und  $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$?  Die Dämpfungskonstante sei weiterhin  $\alpha = 0.5$.  Geben Sie den Wert bei  $f = 0$  ein.

$|H(f = 0)|^2 \ = \ $

4

Es gelte weiterhin  $\alpha = 0.5$,  $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$  und  $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$.  Welche Werte ergeben sich für die Funktionsparameter von  $h(t) \star h(-t)$  gemäß der Skizze?

$C_0 \ = \ $

$C_3 \ = \ $

$\tau_3 \ = \ $ $\ \rm ms$

5

Wie groß ist die Leistung des Ausgangssignals  $y(t)$?

$P_y \ = \ $ $\ \rm mW$

Musterlösung

Solution

(1)  $H(f)$  ist die Fouriertransformierte zu  $h(t)$.

• Mit dem Verschiebungssatz lautet diese  $(\tau_1 = 0)$:

$$H(f) = 1 + \alpha \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}f\tau _2 } = 1 + \alpha \cdot \cos ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ) - {\rm{j}} \cdot \alpha \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ).$$

• Falls  $H(f)$  periodisch mit  $f_0$  ist, muss für alle ganzzahligen Werte von  $i$  gelten:  

$$H( {f + i \cdot f_0 } ) = H( f ).$$

• Mit  $f_0 = 1/\tau_2\hspace{0.15cm} \underline{= 0.25 \hspace{0.05cm}\rm kHz}$  ist diese Bedingung erfüllt.

$$H( {f + i \cdot f_0 } ) = 1 + \alpha \cdot \cos ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 + i{\rm{2\pi }}f_0 \tau _2 } ) - {\rm{j}} \cdot \alpha \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 + i{\rm{2\pi }}f_0 \tau _2 } ) = 1 + \alpha \cdot \cos ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ) - {\rm{j}} \cdot \alpha \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ).$$

(2)  Das Betragsquadrat ist die Summe von quadriertem Realteil und quadriertem Imaginärteil:

$$\left| {H( f )} \right|^2 = \left( {1 + \alpha \cdot \cos ( A )} \right)^2 + \left( {\alpha \cdot \sin ( A )} \right)^2 .$$

• Hierbei ist das Winkelargument mit  $A = 2\pi f \tau$  abgekürzt.  Nach Ausmultiplizieren erhält man wegen  $\cos^2(A) + \sin^2(A) = 1$:

$$\left| {H(f)} \right|^2 = 1 + \alpha ^2 + 2\alpha \cdot \cos ( A ).$$

• Bei der Frequenz  $f = 0$  $($und somit   $A = 0)$  ergibt sich allgemein bzw. mit  $\alpha = 0.5$:

$$\left| {H( {f = 0} )} \right|^2 = \left( {1 + \alpha } \right)^2 = 1.5^2\hspace{0.15cm} \underline{ = 2.25}.$$

(3)  Nun lässt sich das Übertragungssystem aus zwei Teilsystemen zusammensetzen (siehe Skizze):

Aufteilung der Impulsantwort in zwei Teilsysteme

• Die Übertragungsfunktion  $H_1(f)$  ist wie in der Teilaufgabe  (2)  berechnet.
• Für  $H_2(f)$  gilt mit  $\tau_1 = 1\hspace{0.05cm}\rm ms$:

$$H_2 (f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}f\tau _1 } \quad \Rightarrow \quad \left| {H_2 (f)} \right| = 1\quad \Rightarrow \quad \left| {H_2 (f)} \right|^2 = 1.$$

• Das bedeutet:   Durch die zusätzliche Laufzeit wird  $\left| {H(f)} \right|^2$  gegenüber der Teilaufgabe  (2)  nicht verändert.
• Bei der Frequenz  $f = 0$  gilt also weiterhin  $\left| {H(f = 0)} \right|^2\hspace{0.15cm} \underline{ = 2.25}.$

(4)  Durch Vergleich der gezeichneten Funktion  $h(t) \star h(-t)$  mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (2)  erhält man:

$$C_0 = 1 + \alpha ^2 \hspace{0.15cm} \underline{= 1.25}, \hspace{0.5cm}C_3 = \alpha \hspace{0.15cm} \underline{= 0.5}, \hspace{0.5cm}\tau _3 = \tau _2 - \tau _1 \hspace{0.15cm} \underline{= 4\;{\rm{ms}}}.$$

(5)  Das LDS des Ausgangssignals  $y(t)$  ist auf den Bereich von  $\pm B$  begrenzt und ergibt sich zu

$${\it \Phi}_y(f) = {N_0}/{2} \cdot |H(f)|^2 = N_0/{2} \cdot {\left( {1 + \alpha ^2 + 2\alpha \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f\tau _3 } )} \right)}.$$

• Unter Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften erhält man somit für die Leistung:

$$P_y = N_0 \cdot \int_0^B {\left( {1 + \alpha ^2 + 2\alpha \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f\tau _3 } )} \right)}\hspace{0.1cm} {\rm{d}}f.$$

• $B = 10 \hspace{0.08cm} \rm kHz$  ist ein ganzzahliges Vielfaches der Frequenzperiode  $f_0 = 1/\tau_2= 250 \hspace{0.08cm}\rm Hz$  $($vgl. Lösung zur Teilaufgabe  1$)$.
• Deshalb trägt die Cosinus-Funktion nicht zum Integral bei, und man erhält:

$$P_y = N_0 \cdot B \cdot \left( {1 + \alpha ^2 } \right) = 1.25 \cdot P_x \hspace{0.15cm} \underline{ = 12.5\;{\rm{mW}}}.$$