Aufgaben:Exercise 1.3: Calculating with Complex Numbers

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A1.3 Rechnen mit komplexen Zahlen

Nebenstehende Grafik zeigt einige Punkte in der komplexen Ebene, nämlich

$z_1=e^{-j45^{\circ}}$,

$z_2=2 \cdot e^{j135^{\circ}}$,

$z_3=-j$.

Im Verlauf dieser Aufgabe werden noch folgende komplexe Größen betrachtet $$z_4 = z_2^2 + z_3^2,$$

$z_5 = \frac{1}{z_2}$,

$z_6 = \sqrt{z_3}$,

$z_7 = e^{z_2}$,

$z_8 = e^{z_2}+e^{z_2^{\ast}}$.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 1.3. Die Thematik wird auch in folgendem Lernvideo behandelt: Rechnen mit komplexen Zahlen (Dauer 11:52)

Fragebogen zu "A1.3 Rechnen mit komplexen Zahlen"

1

Welche der folgenden Gleichungen sind zutreffend?

	$2 \cdot z_1 + z_2 =0$
	$z_1^{\ast} \cdot z_2 +2=0$
	$(z_1/z_2) \cdot z_3$ ist rein reell.

2

Welchen Wert besitzt die Zufallsgröße $z_4 = z_2^2 + z_3^2 = x_4 + j \cdot y_4$?

$x_4 =$

$y_4 =$

3

Berechnen Sie die komplexe Größe $z_5 = \frac{1}{z_2} = x_5 + j \cdot y_5$.

$x_4 =$

$y_4 =$

4

$z_6$ hat als Quadratwurzel von $z_3$ zwei Lösungen; beide mit dem Betrag $|z_6| = 1$. Geben Sie die beiden möglichen Phasenwinkel von $z_6$ an.

$\phi_6$ (zwischen 0 Grad und 180 Grad) =

$\phi_6$ (zwischen -180 Grad und 0 Grad) =

5

Berechnen Sie $z_7 = e^{z_2} = x_7 + j \cdot y_7$.

$x_7 =$

$y_7 =$

6

Geben Sie die komplexe Größe $z_8 = e^{z_2} + e^{z_2^{\ast}} = x_8 + j \cdot y_8$.

$x_8 =$

$y_8 =$

Musterlösung zu "A1.3 Rechnen mit komplexen Zahlen"

Solution

1. Entsprechend den Angaben gilt mit dem Satz von Euler $$2 \cdot z_1 + z_2 = 2 \cdot cos(45^{\circ}) - 2j \cdot sin(45^{\circ}) - 2 \cdot cos(45^{\circ}) + 2j \cdot sin(45^{\circ}) = 0$$ .

Der zweite Vorschlag ist ebenfalls richtig, da

$z_1^{\ast} \cdot z_2 = 1 \cdot e^{j45^{\circ} \cdot 2 \cdot e^{j135^{\circ}}=-2}$.

Dagegen ist der dritte Vorschlag falsch. Die Division von $z_1$ und $z_2$ liefert $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{e^{-j45^{\circ}}}{2 \cdot e^{j135^{\circ}}} = 0.5 \cdot e^{-j180^{\circ}} = -0.5$$ .

Die Multiplikation mit $z_3 = -j$ führt zum Ergebnis j/2, also zu einer rein imaginären Größe. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 2.

2. Das Quadrat von $z_2$ hat den Betrag <math|z_2|^{2}</math> und die Phase $2 \cdot \phi_2$ $$z_2^2 = 2^2 \cdot e^{j270^{\circ}} = 4 \cdot e^{-j90^{\circ}} = -4j$$

Entsprechend gilt für das Quadrat von $z_3$ $$z_3^2=(-j)^2 = -1$$ . Somit ist x4 = –1 und y4 = –4.

3. Durch Anwendung der Divisionsregel erhält man $$z_5 = \frac{1}{z_2} = \frac{1}{2 \cdot e^{j135^{\circ}}} = o.5 \cdot e^{-j135^{\circ}} = 0.5 \cdot (cos(-135^{\circ}) + j \cdot sin(-135^{\circ}))$$ $\Rightarrow x_5 = y_5 = - \frac{\sqrt{2}}{4}= -0.354$.

4. Die angegeben Beziehung für $z_6$ kann wie folgt umgeformt werden $$z_6^2 = z_3 = e^{-90^{\circ}}$$ .

Man erkennt, dass es zwei Möglichkeiten für $z_6$ gibt, die diese Gleichung erfüllen $$z_6(1.Loesung) = \frac{z_2}{2}= 1 \cdot e^{j135^{\circ}} \Rightarrow \phi_6 = 135^{\circ}$$

$z_6(2.Loesung) = z_1= 1 \cdot e^{-j45^{\circ}} \Rightarrow \phi_6 = -45^{\circ}$.

5. Die komplexe Größe $z_2$ lautet in Realteil/imaginärteildarstellung $$z_2 = x_2 + j \cdot y_2 = -\sqrt{2} + j \cdot \sqrt{2}$$ .

Damit ergibt sich für die komplexe Exponentialfunktion $$z_7 = e^{-\sqrt{2}+j \cdot \sqrt{2}} = e^{-\sqrt{2}} \cdot (cos(\sqrt{2} + j \cdot sin(\sqrt{2})$$ .

Mit

$e^{-\sqrt{2}} = 0.243, \quad cos(\sqrt{2}) = 0.156, \quad sin(\sqrt{2}) = 0.988$

erhält man somit $$z_7 = 0.243 \cdot (0.156 + j \cdot 0.988) = 0.038 + j \cdot 0.24$$ .

6. Ausgehend vom Ergebnis 4. erhält man für $z_8$ $$z_8 = e^{-\sqrt{2}} \cdot (cos(\sqrt{2}) + j \cdot sin(\sqrt{2}) + cos(\sqrt{2}) - j \cdot (\sqrt{2}))$$

$2 \cdot e^{-\sqrt{2}} \cdot cos(\sqrt{2}) = 2 \cdot x_7$

$\Rightarrow x_8 = 0.076, \quad y_8 =0$.