Aufgaben:Exercise 4.6Z: Locality Curve for Phase Modulation

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Eine mögliche Ortskurve bei Phasenmodulation

Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal  $q(t)$  aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird.

• Der Maximalwert dieses Signal ist  $q_{\rm max} = 1$  und der minimale Signalwert beträgt  $q_{\rm min} = -0.5$.
• Ansonsten ist über  $q(t)$  nichts bekannt.

Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation:

$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t + \eta \cdot q(t)).$$

Hierbei bezeichnet  $\eta$  den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve  $s_0$  sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu  $s_0 = 2$  gesetzt wird (siehe Grafik).

Ersetzt man die Cosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal

$$s_{\rm +}(t) = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t + \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t)) }.$$

Daraus kann man das in der Grafik skizzierte äquivalente Tiefpass-Signal wie folgt berechnen:

$$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm +}(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t } = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t) }.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion.

• Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet  Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal   ⇒   Ortskurve überprüfen.

Fragebogen

1

Wie lautet die Betragsfunktion  $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$? Welcher Wert gilt für  $t = 0$?

$a(t = 0)\ = \ $

2

Zwischen welchen Extremwerten  $\phi_{\rm min}$  und  $\phi_{\rm max}$  schwankt die Phase  $\phi (t)$?

$\phi_{\rm min}\ = \ $  $\text{Grad}$

$\phi_{\rm min}\ = \ $  $\text{Grad}$

3

Bestimmen Sie den Modulationsindex  $\eta$  aus der Phasenfunktion  $\phi (t)$.

$\eta\ = \ $

4

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Aus  $q(t) = -0.5 = \text{const.}$  folgt  $s(t) = s_0 \cdot \cos (\omega_T \cdot t)$.
	Bei einem Rechtecksignal  $q(t)$  $($mit nur zwei möglichen Signalwerten  $\pm 0.5)$  entartet die Ortskurve zu zwei Punkten.
	Mit den Signalwerten  $\pm 1$  $(q_{\rm min} = -0.5$  ist dann nicht mehr gültig$)$ entartet die Ortskurve zu einem Punkt:   $s_{\rm TP}(t) = -s_0$.

Musterlösung

Solution

(1)  Die Ortskurve ist ein Kreisbogen mit dem Radius  $2$. Deshalb ist die Betragsfunktion konstant  $\underline{a(t) = 2}$.

(2)  Aus der Grafik ist zu erkennen, dass folgende Zahlenwerte gelten:

• $\phi_{\rm min} =- \pi /2 \; \Rightarrow \; \underline{-90^\circ}$,
• $\phi_{\rm max} = +\pi \; \Rightarrow \; \underline{+180^\circ}$.

(3)  Allgemein gilt hier der Zusammenhang  $s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t)}.$ Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert:

$$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$

• Der maximale Phasenwert  $\phi_{\rm max} = +\pi \; \Rightarrow \; {180^\circ}$  ergibt sich für die Signalamplitude  $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt  ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3.14}$.
• Dieser Modulationsindex wird durch die Werte  $\phi_{\rm min} = -\pi /2$  und  $q_{\rm min} = -0.5$  bestätigt.

Ortskurve (Phasendiagramm) beim Rechtecksignal

(4)  Richtig sind der zweite und der dritte Lösungsvorschlag:

• Ist  $q(t) = \text{const.} =-0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant:

$$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - {\pi}/{2}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0 = - 2{\rm j}.$$

• Somit gilt für das tatsächliche, physikalische Signal:

$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t - {\pi}/{2}) = 2 \cdot {\sin} ( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$

• Dagegen führt  $q(t) = +0.5$  zu  $\phi (t) = \pi /2$  und zu  $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$.
• Ist  $q(t)$  ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte  $+0.5$  und  $–0.5$  annimmt, dann besteht die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit  $+0.5$  und  $–0.5$ dauern.
• Gilt dagegen  $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte  $+\pi$  und  $-\pi$, die aber identisch sind.
• Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt:   $s_{\rm TP}(t) = - s_0$  
  ⇒   das Signal  $s(t)$  ist für alle Zeiten  $t$  „minus-cosinusförmig”.