Difference between revisions of "Signal Representation/Harmonic Oscillation"

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$\text{Definition:}$ 
 
$\text{Definition:}$ 
Eine jede  '''harmonische Schwingung'''  kann man in allgemeinster Form wie folgt darstellen:
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Any  '''harmonic oscillation'''   can be represented in most general form as follows:
  
 
:$$x(t)= C \cdot \cos(2\pi f_0 t - \varphi).$$
 
:$$x(t)= C \cdot \cos(2\pi f_0 t - \varphi).$$
  
Hierbei sind folgende Signalparameter verwendet:
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The following signal parameters are used:
*die  '''Amplitude'''  $C$  – gleichzeitig der Maximalwert des Signals,
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*the  '''amplitude'''  $C$  – simultaneously the maximum value of the signal,
*die  '''Signalfrequenz'''  $f_{0}$   ⇒   der Kehrwert der Periodendauer  $T_{0}$, und
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*the  '''signal frequency'''  $f_{0}$   ⇒   the reciprocal of the period duration  $T_{0}$, and
*der  '''Nullphasenwinkel'''  (oder kurz die ''Phase'')  $\varphi$  der Schwingung.}}
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*the  '''zero phase angle'''  (or briefly the ''phase'')  $\varphi$  of the oscillation.}}
  
  
Das Lernvideo  [[Harmonische_Schwingungen_(Lernvideo)|Harmonische Schwingungen]]  verdeutlicht die Eigenschaften harmonischer Schwingungen anhand von Tonleitern.
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The  german learning video  [[Harmonische_Schwingungen_(Lernvideo)|Harmonic Oscillations]]  illustrates the properties of harmonic oscillations using scales.
  
 
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$\text{Anmerkung zur Nomenklatur:}$ 
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$\text{Comments on nomenclature:}$ 
*In diesem Tutorial geht – wie auch in anderer Literatur üblich – bei der Beschreibung von harmonischen Schwingungen, Fourierreihe und Fourierintegral die Phase mit negativem Vorzeichen in die Gleichungen ein, während in Zusammenhang mit allen Modulationsverfahren die Phase stets mit einem Pluszeichen angesetzt wird.
+
*In this tutorial - as usual in other literature - when describing harmonic oscillations, Fourier series and Fourier integral, the phase is entered into the equations with a negative sign, whereas in connection with all modulation methods the phase is always entered with a plus sign.
*Zur Unterscheidung der beiden Varianten benutzen wir in  $\rm LNTwww$  $\varphi$  und  $\phi$. Beide Symbole kennzeichnen das kleine griechische „phi”, wobei die Schreibweise  $\varphi$  vorwiegend im deutschen und  $\phi$  im anglo–amerikanischen Sprachraum angewandt wird.
+
*To distinguish between the two variants we use in  $\rm LNTwww$  $\varphi$  and  $\phi$. Both symbols denote the small Greek "phi". The spelling  $\varphi$  is mainly used in the German and  $\phi$  in the anglo–american language area.
*Die Angaben  $\varphi = 90^{\circ}$  und  $\phi = -90^{\circ}$  sind somit äquivalent und stehen beide für die Sinusfunktion:
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*The indications  $\varphi = 90^{\circ}$  and  $\phi = -90^{\circ}$  are thus equivalent and both stand for the sine function:
 
   
 
   
 
:$$\cos(2 \pi f_0 t - 90^{\circ}) = \cos(2 \pi f_0 t - \varphi)  = \cos(2 \pi f_0 t + \phi) = \sin(2 \pi f_0 t ).$$}}
 
:$$\cos(2 \pi f_0 t - 90^{\circ}) = \cos(2 \pi f_0 t - \varphi)  = \cos(2 \pi f_0 t + \phi) = \sin(2 \pi f_0 t ).$$}}
  
  
==Zeitsignaldarstellung==
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==Time Signal Representation==
 
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[[File:P_ID129__Sig_T_2_3_S2a.png|right|frame|Signalparameter einer harmonischen Schwingung]]
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[[File:P_ID129__Sig_T_2_3_S2a.png|right|frame|Signal Parameters of a Harmonic Oscillation]]
Die Amplitude&nbsp; $C$&nbsp; kann aus nebenstehender Grafik direkt abgelesen werden. Die Signalfrequenz&nbsp; $f_0$&nbsp; ist gleich dem Kehrwert der Periodendauer&nbsp; $T_0$. Schreibt man die obige Gleichung in der Form
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The amplitude&nbsp; $C$&nbsp; can be read directly from the adjacent graphic. The signal frequency&nbsp; $f_0$&nbsp; is equal to the reciprocal of the period duration&nbsp; $T_0$. If the above equation is written in the form
  
 
:$$x(t)  =  C \cdot \cos(2\pi f_0 t - \varphi) =  C \cdot \cos \big(2\pi f_0  (t - \tau) \big), $$
 
:$$x(t)  =  C \cdot \cos(2\pi f_0 t - \varphi) =  C \cdot \cos \big(2\pi f_0  (t - \tau) \big), $$
 
   
 
   
so wird klar, dass der Nullphasenwinkel&nbsp; $\varphi$&nbsp; und die Verschiebung&nbsp; $\tau$&nbsp; gegenüber einem cosinusförmigen Signal wie folgt zusammenhängen:
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it becomes clear that the zero phase angle&nbsp; $\varphi$&nbsp; and the displacement&nbsp; $\tau$&nbsp; relative to a cosine signal are related as follows
  
 
:$$\varphi  =  \frac{\tau}{T_0} \cdot 2{\pi}. $$  
 
:$$\varphi  =  \frac{\tau}{T_0} \cdot 2{\pi}. $$  
  
*Bei einem ''Cosinussignal''&nbsp; sind die Kenngrößen&nbsp; $\tau$&nbsp; und&nbsp; $\varphi$&nbsp; jeweils Null.  
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*For a ''cosine signal''&nbsp; the parameters&nbsp; $\tau$&nbsp; and&nbsp; $\varphi$&nbsp; are zero.  
*Demgegenüber ist ein ''Sinussignal''&nbsp; um&nbsp; $\tau = T_0/4$&nbsp; verschoben und entsprechend gilt für den Nullphasenwinkel&nbsp; $\varphi = \pi/2$&nbsp; (im Bogenmaß) bzw.&nbsp; $90^{\circ}$.
+
*In contrast, a ''sinusoidal signal''&nbsp; is shifted by&nbsp; $\tau = T_0/4$&nbsp; and accordingly applies to the zero phase angle&nbsp; $\varphi = \pi/2$&nbsp; (in radians) or &nbsp; $90^{\circ}$.
  
  
Es ist also festzustellen, dass – wie für die obige Skizze vorausgesetzt – bei einem positiven Wert von&nbsp; $\tau$&nbsp; bzw.&nbsp; $\varphi$&nbsp; das $($bezüglich&nbsp; $t = 0)$&nbsp; nächstgelegene Signalmaximum später kommt als beim Cosinussignal und bei negativen Werten früher. Liegt am Systemeingang ein Cosinussignal an und ist das Ausgangssignal demgegenüber um einen Wert&nbsp; $\tau$&nbsp; verzögert, so bezeichnet man&nbsp; $\tau$&nbsp; auch als die&nbsp; '''Laufzeit'''&nbsp; des Systems.
+
So it can be stated, that - as assumed for the above sketch - at a positive value of&nbsp; $\tau$&nbsp; resp. &nbsp; $\varphi$&nbsp; the $($referring&nbsp; $t = 0)$&nbsp; nearest signal maximum comes later than at the cosine signal and at negative values earlier. If a cosine signal is present at the system input and the output signal is delayed by a value&nbsp; $\tau$&nbsp; then the system is called&nbsp; $\tau$&nbsp; also called the&nbsp; '''runtime'''&nbsp;.
  
Da eine harmonische Schwingung durch lediglich drei Signalparameter eindeutig festliegt, kann der gesamte Zeitverlauf von&nbsp; $-\infty$&nbsp; bis&nbsp; $+\infty$&nbsp; aus nur drei Signalwerten&nbsp; $x_1=x(t_1)$,&nbsp; $x_2=x(t_2)$,&nbsp; $x_3=x(t_3)$&nbsp; analytisch beschrieben werden, wenn die Zeiten&nbsp; $t_1$,&nbsp; $t_2$&nbsp; und&nbsp; $t_3$&nbsp; geeignet festgelegt wurden.
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Since a harmonic oscillation is clearly defined by only three signal parameters, the entire time course from&nbsp; $-\infty$&nbsp; to&nbsp; $+\infty$&nbsp; can be calculated from only three signal values&nbsp; $x_1=x(t_1)$,&nbsp; $x_2=x(t_2)$,&nbsp; $x_3=x(t_3)$&nbsp; can be described analytically if the times&nbsp; $t_1$,&nbsp; $t_2$&nbsp; and&nbsp; $t_3$&nbsp; have been determined appropriately.
  
[[File:P_ID2717__Sig_T_2_3_S2b_neu.png|right|frame|Harmonische Schwingung, festgelegt durch <br>drei Abtastwerte]]
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[[File:P_ID2717__Sig_T_2_3_S2b_neu.png|right|frame|Harmonic Oscillation, defined by <br>Three Samples]]
 
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$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
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$\text{Example 1:}$&nbsp;
Aus den drei Abtastwerten,
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From the three sample values,
 
:$$x_1 = x(t_1 = 3.808 \;{\rm ms}) = +1.609,$$
 
:$$x_1 = x(t_1 = 3.808 \;{\rm ms}) = +1.609,$$
 
:$$x_2 = x(t_2 = 16.696 \;{\rm ms})=\hspace{0.05 cm} -0.469,$$
 
:$$x_2 = x(t_2 = 16.696 \;{\rm ms})=\hspace{0.05 cm} -0.469,$$
 
:$$x_3 = x(t_3 = 33.84 \;{\rm ms}) = +1.227$$
 
:$$x_3 = x(t_3 = 33.84 \;{\rm ms}) = +1.227$$
  
erhält man folgendes Gleichungssystem:
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you get the following system of equations:
 
   
 
   
 
:$$C \cdot \cos(2\pi  \hspace{0.05 cm} f_0  \hspace{0.05 cm} t_1 - \varphi) = +1.609\hspace{0.05 cm},$$
 
:$$C \cdot \cos(2\pi  \hspace{0.05 cm} f_0  \hspace{0.05 cm} t_1 - \varphi) = +1.609\hspace{0.05 cm},$$
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:$$C \cdot \cos(2\pi  \hspace{0.05 cm} f_0  \hspace{0.05 cm} t_3 - \varphi) = +1.227\hspace{0.05 cm}.$$
 
:$$C \cdot \cos(2\pi  \hspace{0.05 cm} f_0  \hspace{0.05 cm} t_3 - \varphi) = +1.227\hspace{0.05 cm}.$$
  
Nach Lösen dieses nichtlinearen Gleichungssystem ergeben sich folgende Signalparameter:
+
After solving this nonlinear system of equations the following signal parameters are obtained:
*Signalamplitude&nbsp; $C = 2$,
+
*Signal amplitude&nbsp; $C = 2$,
*Periodendauer&nbsp; $T_0 = 8 \;{\rm ms}$ &nbsp; ⇒ &nbsp; Signalfrequenz&nbsp; $f_0 = 125 \;{\rm Hz}$,
+
*Period duration&nbsp; $T_0 = 8 \;{\rm ms}$ &nbsp; ⇒ &nbsp; Signal frequency&nbsp; $f_0 = 125 \;{\rm Hz}$,
*Verschiebung gegenüber einem Cosinus&nbsp; $\tau = 3 \;{\rm ms}$ &nbsp; ⇒ &nbsp; Nullphasenwinkel&nbsp; $\varphi = 3\pi /4 = 135^\circ$.
+
*displacement with respect to a cosine&nbsp; $\tau = 3 \;{\rm ms}$ &nbsp; ⇒ &nbsp; zero phase angle&nbsp; $\varphi = 3\pi /4 = 135^\circ$.
  
  
''Hinweis'': &nbsp; Legt man alle Abtastzeitpunkte&nbsp; $t_1$,&nbsp; $t_2$,&nbsp; $t_3$&nbsp; in Maxima, Minima und/oder Nullstellen, so gibt es für das nichtlineare Gleichungssystem keine eindeutige Lösung.}}
+
''Note'': &nbsp; If you set all sampling times&nbsp; $t_1$,&nbsp; $t_2$,&nbsp; $t_3$&nbsp; in maxima, minima and/or zeros, there is no unique solution for the nonlinear system of equations.}}
  
  
==Darstellung mit Cosinus- und Sinusanteil==
+
==Representation with Cosine and Sine Components==
 
<br>
 
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Eine weitere Darstellungsform der harmonischen Schwingung lautet wie folgt:
 
Eine weitere Darstellungsform der harmonischen Schwingung lautet wie folgt:
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:$$x(t)=A\cdot\cos(2\pi  f_0 t)+ B\cdot\sin(2\pi f_0 t).$$
 
:$$x(t)=A\cdot\cos(2\pi  f_0 t)+ B\cdot\sin(2\pi f_0 t).$$
  
*Die Bezeichnungen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; für die Amplituden von Cosinus– und Sinusanteil sind so gewählt, dass sie mit der Nomenklatur des folgenden Kapitels&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Series| Fourierreihe]]&nbsp; übereinstimmen.
+
*The terms&nbsp; $A$&nbsp; and&nbsp; $B$&nbsp; for the amplitudes of the cosine and sine components are chosen to match the nomenclature of the following chapter[Signal_Representation/Fourier_Series| Fourier Series]]&nbsp;.
  
*Durch Anwendung trigonometrischer Umformungen erhalten wir aus der Darstellung auf der letzten Seite:
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*By applying trigonometric transformations we obtain from the illustration on the last page
 
   
 
   
 
:$$x(t)=C\cdot \cos(2\pi f_0 t-\varphi)=C\cdot\cos(\varphi)\cdot\cos(2\pi f_0  t)+C\cdot\sin(\varphi)\cdot\sin(2\pi f_0  t).$$
 
:$$x(t)=C\cdot \cos(2\pi f_0 t-\varphi)=C\cdot\cos(\varphi)\cdot\cos(2\pi f_0  t)+C\cdot\sin(\varphi)\cdot\sin(2\pi f_0  t).$$
  
*Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich direkt:
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*From this follows directly by equating the coefficients:
 
   
 
   
 
:$$A=C\cdot\cos(\varphi),\hspace{0.5cm}B=C\cdot\sin(\varphi).$$
 
:$$A=C\cdot\cos(\varphi),\hspace{0.5cm}B=C\cdot\sin(\varphi).$$
  
*Der Betrag und der Nullphasenwinkel der harmonischen Schwingung können aus den Parametern&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; ebenfalls nach einfachen trigonometrischen Überlegungen berechnet werden:
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*The magnitude and the zero phase angle of the harmonic oscillation can be calculated from the parameters&nbsp; $A$&nbsp; and&nbsp; $B$&nbsp; also according to simple trigonometric considerations
 
   
 
   
 
:$$C=\sqrt{A^2+B^2}, \hspace{0.5 cm}\varphi = \arctan\left({-B}/{A}\right).$$
 
:$$C=\sqrt{A^2+B^2}, \hspace{0.5 cm}\varphi = \arctan\left({-B}/{A}\right).$$
  
 
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$\text{Bitte beachten Sie:}$&nbsp;
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$\text{Please consider:}$&nbsp;
 
Das Minuszeichen bei der Berechnung des Nullphasenwinkels&nbsp; $\varphi$&nbsp; hängt damit zusammen, dass&nbsp; $\varphi$&nbsp; in das Argument der Cosinusfunktion mit negativem Vorzeichen eingeht.  
 
Das Minuszeichen bei der Berechnung des Nullphasenwinkels&nbsp; $\varphi$&nbsp; hängt damit zusammen, dass&nbsp; $\varphi$&nbsp; in das Argument der Cosinusfunktion mit negativem Vorzeichen eingeht.  
  

Revision as of 20:40, 11 October 2020

Definition and Properties


Harmonic oscillations are of particular importance for communications engineering as well as in many natural sciences. The following diagram shows an exemplary signal waveform.

Example of a Harmonic Oscillation

Its importance is also related to the fact that the harmonic oscillation represents the solution of a  Differential equation  which is found in many disciplines and reads as follows

$$ x(t) + k \cdot\ddot{x} (t) = 0.$$

Here the two dots mark the second derivative of the function  $x(t)$  after time.

$\text{Definition:}$  Any  harmonic oscillation   can be represented in most general form as follows:

$$x(t)= C \cdot \cos(2\pi f_0 t - \varphi).$$

The following signal parameters are used:

  • the  amplitude  $C$  – simultaneously the maximum value of the signal,
  • the  signal frequency  $f_{0}$   ⇒   the reciprocal of the period duration  $T_{0}$, and
  • the  zero phase angle  (or briefly the phase)  $\varphi$  of the oscillation.


The german learning video  Harmonic Oscillations  illustrates the properties of harmonic oscillations using scales.

$\text{Comments on nomenclature:}$ 

  • In this tutorial - as usual in other literature - when describing harmonic oscillations, Fourier series and Fourier integral, the phase is entered into the equations with a negative sign, whereas in connection with all modulation methods the phase is always entered with a plus sign.
  • To distinguish between the two variants we use in  $\rm LNTwww$  $\varphi$  and  $\phi$. Both symbols denote the small Greek "phi". The spelling  $\varphi$  is mainly used in the German and  $\phi$  in the anglo–american language area.
  • The indications  $\varphi = 90^{\circ}$  and  $\phi = -90^{\circ}$  are thus equivalent and both stand for the sine function:
$$\cos(2 \pi f_0 t - 90^{\circ}) = \cos(2 \pi f_0 t - \varphi) = \cos(2 \pi f_0 t + \phi) = \sin(2 \pi f_0 t ).$$


Time Signal Representation


Signal Parameters of a Harmonic Oscillation

The amplitude  $C$  can be read directly from the adjacent graphic. The signal frequency  $f_0$  is equal to the reciprocal of the period duration  $T_0$. If the above equation is written in the form

$$x(t) = C \cdot \cos(2\pi f_0 t - \varphi) = C \cdot \cos \big(2\pi f_0 (t - \tau) \big), $$

it becomes clear that the zero phase angle  $\varphi$  and the displacement  $\tau$  relative to a cosine signal are related as follows

$$\varphi = \frac{\tau}{T_0} \cdot 2{\pi}. $$
  • For a cosine signal  the parameters  $\tau$  and  $\varphi$  are zero.
  • In contrast, a sinusoidal signal  is shifted by  $\tau = T_0/4$  and accordingly applies to the zero phase angle  $\varphi = \pi/2$  (in radians) or   $90^{\circ}$.


So it can be stated, that - as assumed for the above sketch - at a positive value of  $\tau$  resp.   $\varphi$  the $($referring  $t = 0)$  nearest signal maximum comes later than at the cosine signal and at negative values earlier. If a cosine signal is present at the system input and the output signal is delayed by a value  $\tau$  then the system is called  $\tau$  also called the  runtime .

Since a harmonic oscillation is clearly defined by only three signal parameters, the entire time course from  $-\infty$  to  $+\infty$  can be calculated from only three signal values  $x_1=x(t_1)$,  $x_2=x(t_2)$,  $x_3=x(t_3)$  can be described analytically if the times  $t_1$,  $t_2$  and  $t_3$  have been determined appropriately.

Harmonic Oscillation, defined by
Three Samples

$\text{Example 1:}$  From the three sample values,

$$x_1 = x(t_1 = 3.808 \;{\rm ms}) = +1.609,$$
$$x_2 = x(t_2 = 16.696 \;{\rm ms})=\hspace{0.05 cm} -0.469,$$
$$x_3 = x(t_3 = 33.84 \;{\rm ms}) = +1.227$$

you get the following system of equations:

$$C \cdot \cos(2\pi \hspace{0.05 cm} f_0 \hspace{0.05 cm} t_1 - \varphi) = +1.609\hspace{0.05 cm},$$
$$C \cdot \cos(2\pi \hspace{0.05 cm} f_0 \hspace{0.05 cm} t_2 - \varphi) = \hspace{0.05 cm} -0.469\hspace{0.05 cm},$$
$$C \cdot \cos(2\pi \hspace{0.05 cm} f_0 \hspace{0.05 cm} t_3 - \varphi) = +1.227\hspace{0.05 cm}.$$

After solving this nonlinear system of equations the following signal parameters are obtained:

  • Signal amplitude  $C = 2$,
  • Period duration  $T_0 = 8 \;{\rm ms}$   ⇒   Signal frequency  $f_0 = 125 \;{\rm Hz}$,
  • displacement with respect to a cosine  $\tau = 3 \;{\rm ms}$   ⇒   zero phase angle  $\varphi = 3\pi /4 = 135^\circ$.


Note:   If you set all sampling times  $t_1$,  $t_2$,  $t_3$  in maxima, minima and/or zeros, there is no unique solution for the nonlinear system of equations.


Representation with Cosine and Sine Components


Eine weitere Darstellungsform der harmonischen Schwingung lautet wie folgt:

$$x(t)=A\cdot\cos(2\pi f_0 t)+ B\cdot\sin(2\pi f_0 t).$$
  • The terms  $A$  and  $B$  for the amplitudes of the cosine and sine components are chosen to match the nomenclature of the following chapter[Signal_Representation/Fourier_Series| Fourier Series]] .
  • By applying trigonometric transformations we obtain from the illustration on the last page
$$x(t)=C\cdot \cos(2\pi f_0 t-\varphi)=C\cdot\cos(\varphi)\cdot\cos(2\pi f_0 t)+C\cdot\sin(\varphi)\cdot\sin(2\pi f_0 t).$$
  • From this follows directly by equating the coefficients:
$$A=C\cdot\cos(\varphi),\hspace{0.5cm}B=C\cdot\sin(\varphi).$$
  • The magnitude and the zero phase angle of the harmonic oscillation can be calculated from the parameters  $A$  and  $B$  also according to simple trigonometric considerations
$$C=\sqrt{A^2+B^2}, \hspace{0.5 cm}\varphi = \arctan\left({-B}/{A}\right).$$

$\text{Please consider:}$  Das Minuszeichen bei der Berechnung des Nullphasenwinkels  $\varphi$  hängt damit zusammen, dass  $\varphi$  in das Argument der Cosinusfunktion mit negativem Vorzeichen eingeht.

Würde man statt  „$\cos(2\pi f_0 t - \varphi)$”  die Schreibweise  „$\cos(2\pi f_0 t + \phi)$”  verwenden, so wäre  $\phi= \arctan(B/A)$. Hier noch folgender Hinweis:

  • Bei Fourierreihe und Fourierintegral ist in der Literatur die  $\varphi$–Darstellung üblich.
  • Zur Beschreibung der Modulationsverfahren verwendet man dagegen fast immer die  $\phi$–Darstellungsform.


Harmonische Schwingung, dargestellt in der komplexen Ebene

$\text{Beispiel 2:}$  Die in der linken Grafik als Zeitverlauf dargestellte Schwingung ist gekennzeichnet durch die Parameter

  • $f_0 = 125 \;{\rm Hz}$,
  • $\varphi = +135^{\circ}$   ⇒   $\phi = -135^{\circ}$ .


Die Schwingung wird durch jede der beiden Gleichungen vollständig beschrieben:

$$x(t) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 2\cdot \cos(2\pi f_0 t-135^{\circ})\hspace{0.05cm},$$
$$x(t) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -\sqrt{2}\cdot \cos(2\pi f_0 t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}\sqrt{2}\cdot \sin(2\pi f_0 t)\hspace{0.05cm}.$$

Die rechte Skizze verdeutlicht die trigonometrische Umformung:

$$A = 2\cdot \cos(-135^{\circ}) = -\sqrt{2}\hspace{0.05cm},$$
$$B = 2\cdot \sin(-135^{\circ}) = +\sqrt{2}\hspace{0.05cm}.$$


Spektraldarstellung eines Cosinussignals


Zur Herleitung der Spektralfunktion beschränken wir uns zunächst auf ein Cosinussignal, das mit der komplexen Exponentialfunktion  und dem  Satz von Euler  auch in folgender Weise geschrieben werden kann:

$$x(t)=A \cdot \cos(2\pi f_0 t)={A}/{2}\cdot \big [{\rm e}^{\rm -j2 \pi \it f_{\rm 0} t} + {\rm e}^{\rm j2\pi \it f_{\rm 0} t} \big ].$$

Bereits aus dieser Zeitbereichsdarstellung ist ersichtlich, dass das Cosinussignal – spektral gesehen – nur eine einzige (physikalische) Frequenz beinhaltet, nämlich die Frequenz  $f_0$.

$\text{Beweis:}$  Zur mathematischen Herleitung der Spektralfunktion benutzen wir folgende Beziehungen:

$$x(t)=A \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)=A \cdot \rm \delta (\it f).$$
$$x(t) \cdot {\rm e}^{\rm j2\pi\it f_{\rm 0} t}\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f-f_0). $$

Daraus ergibt sich die folgende Fourierkorrespondenz:

$$x(t)=A\cdot \cos(2\pi f_0t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)={A}/{\rm 2}\cdot {\rm \delta} (f+f_{\rm 0})+{A}/{\rm 2}\cdot {\rm \delta}(\ f-f_{\rm 0}).$$

Das bedeutet:

  • Die Spektralfunktion  $X(f)$  eines Cosinussignals mit der Frequenz  $f_0$  setzt sich aus zwei Diracfunktionen bei  $\pm f_0$  zusammen.
  • Die Impulsgewichte sind jeweils gleich der halben Signalamplitude.


Spektrum eines Cosinussignals

$\text{Beispiel 3:}$  Die Grafik zeigt das Spektrum einer Cosinusschwingung

  • mit der Amplitude  $A = 4 \;{\rm V}$  und
  • der Frequenz  $f_0 = 5 \;{\rm kHz}$   ⇒   $T_0 = 200 \;{\rm µ s}$.


Dann gilt folgender Zusammenhang mit obiger Gleichung:

  • Die Diracfunktion bei  $-f_0$  gehört zum ersten Term $($ableitbar aus der Bedingung  $f + f_0 = 0)$.
  • Die Diracfunktion bei  $+f_0$  gehört zum zweiten Term $($ableitbar aus der Bedingung $f - f_0 = 0)$.
  • Die Impulsgewichte sind jeweils  $A/2 = 2 \;{\rm V}$.


$\text{Bitte beachten Sie:}$  Die Spektralfunktion einer jeden reellen Zeitfunktion mit Ausnahme des Gleichsignals weist sowohl Anteile bei positiven als auch bei negativen Frequenzen auf.

  • Diese Tatsache, die Studienanfängern oft Probleme bereitet, ergibt sich ganz formal aus dem  Satz von Euler .
  • Durch die Erweiterung des Frequenzwertebereichs von  $f \ge 0$  auf die Menge der reellen Zahlen kommt man von der physikalischen zur mathematischen Frequenz.
  • Allerdings ist für eine negative Frequenz die vorne angegebene  Definition  nicht mehr anwendbar:   Man kann „–5 kHz” nicht als „minus 5000 Schwingungen pro Sekunde” interpretieren.


Im Verlauf dieses Kurses werden Sie feststellen, dass durch die Verkomplizierung dieses einfachen Sachverhaltes später kompliziertere Sachverhalte sehr elegant und einfach beschrieben werden können.


Allgemeine Spektraldarstellung


Für ein sinusförmiges Signal gilt mit dem Satz von  Euler  in ähnlicher Weise:

$$x(t)=B\cdot \sin(2 \pi f_0 t)= \frac{\it B}{2 \rm j} \cdot \big [{\rm e}^{+{\rm j} 2 \pi \it f_{\rm 0} t}-{\rm e}^{-\rm j2 \pi \it f_{\rm 0} t}\big ]=\rm j\cdot {\it B}/{2} \cdot \big [{\rm e}^{-j2 \pi \it f_{\rm 0} t}-{\rm e}^{+\rm j2 \pi \it f_{\rm 0} t} \big ] .$$

Daraus folgt für die Spektralfunktion, die jetzt rein imaginär ist:

$$x(t)=B\cdot \sin(2\pi f_0 t)\;\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\; \ X(f)={\rm j} \cdot \big [ {B}/{2} \cdot \delta (f+f_0)- {B}/{2} \cdot \delta (f-f_0) \big ].$$
Spektrum eines Sinussignals

$\text{Beispiel 4:}$  Das Bild zeigt die rein imaginäre Spektralfunktion einer Sinusschwingung  $x(t)$  mit

  • Amplitude  $B = 3 \;{\rm V},$
  • Frequenz  $f_0 = 5\;{\rm kHz},$
  • Phase  $\varphi=90^{\circ}$   ⇒   $\phi = -90^{\circ}$.


$\text{Bitte beachten Sie}$:

  • Bei der positiven Frequenz $(f = +f_0)$ ist der Imaginärteil negativ.
  • Bei der negativen Frequenz $(f = -f_0)$ ergibt sich ein positiver Imaginärteil.


Bei Überlagerung von Cosinus– und Sinusanteil entsprechend der Beziehung

$$x(t)=A \cdot \cos(2\pi f_0 t) +B \cdot \sin(2 \pi f_0 t)$$

überlagern sich auch die einzelnen Spektralfunktionen und man erhält:

$$X(f)=\frac{A+{\rm j} \cdot B}{2}\cdot {\rm \delta} (f+f_0)+\frac{A-{\rm j} \cdot B}{2} \cdot \delta (f-f_0).$$

Mit dem Betrag  $C$  und der Phase  $\varphi$  lautet diese Fourierkorrespondenz:

$$x(t)=C\cdot \cos(2\pi f_0 t-\varphi)\ \, \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ X(f)={C}/{2}\cdot {\rm e}^{{\rm j} \varphi} \cdot \delta(f+f_0) + {C}/{2} \cdot {\rm e}^{\rm{-j} \varphi} \cdot \delta (f-f_0).$$

$\text{Man erkennt:}$  Die Spektralfunktion  $X(f)$

  • ist nicht nur für positive und negative Frequenzen definiert,
  • sondern im Allgemeinen auch noch komplexwertig.


Allgemeine Spektralfunktion einer harmonischen Schwingung

$\text{Beispiel 5:}$  Mit den Parametern  $C = 5 \;{\rm V}$,  $f_0 = 5\;{\rm kHz}$  und  $\varphi=90^{\circ}$  $($im Bogenmaß $\pi/6)$  ergibt sich wegen

$$2.5 · \cos(30^{\circ}) = 2.165, \hspace{0.3cm} 2.5 · \sin(30^{\circ}) = 1.25$$

der Real- bzw. der Imaginärteil von $X(f)$ gemäß der Grafik:

$${\rm Re}\big[X(f)\big]=2.165\,{\rm V} \cdot \delta(f+f_0) + 2.165\,{\rm V} \cdot \delta (f-f_0).$$
$${\rm Im}\big[X(f)\big]=1.25\,{\rm V} \cdot \delta(f+f_0) -1.25\,{\rm V} \cdot \delta (f-f_0).$$


Das Lernvideo  Harmonische Schwingungen  verdeutlicht die Eigenschaften harmonischer Schwingungen anhand der so genannten Tonleiter.


Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 2.3: Cosinus- und Sinusanteil

Aufgabe 2.3: Schwingungsparameter