Theory of Stochastic Signals/Stochastic System Theory

1. Theory of Stochastic Signals
2. Filterung stochastischer Signale
3. Stochastic System Theory

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# ÜBERBLICK ZUM FÜNFTEN HAUPTKAPITEL #

Dieses Kapitel beschreibt den Einfluss eines Filters auf die Autokorrelationsfunktion (AKF) und das Leistungsdichtespektrum (LDS) stochastischer Signale.

Im Einzelnen werden behandelt:

• die Berechnung von AKF und LDS am Filterausgang (Stochastische Systemtheorie ),
• die Struktur und die Darstellung Digitaler Filter  (nichrekursiv und rekursiv),
• die Dimensionierung  der Filterkoeffizienten für eine vorgegebene AKF,
• die Bedeutung des Matched-Filters  für Nachrichtensysteme (SNR-Maximierung),
• die Eigenschaften des Wiener-Kolmogorow-Filters  zur Signalrekonstruktion.

Weitere Informationen zum Thema „Filterung stochastischer Signale" sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im

• Kapitel 10:   Filterung stochastischer Signale (Programm fil)
• Kapitel 11:   Optimale Filter (Programm ofi)

des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf

• dem Lehrsoftwarepaket  LNTsim   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms, und
• der  Praktikumsanleitung - Teil B   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version mit Kapitel 10:  Seite 229-248 und Kapitel 11:  Seite 249-270.

Problemstellung

Filtereinfluss auf Spektrum und Leistungsdichtespektrum (LDS)

Wir betrachten wie im Buch  Lineare zeitinvariante Systeme  die rechts skizzierte Anordnung, wobei das System

• sowohl durch die Impulsantwort  $h(t)$
• als auch durch seinen Frequenzgang  $H(f)$

eindeutig beschrieben ist.  Der Zusammenhang zwischen diesen Beschreibungsgrößen im Zeit– und Frequenzbereich ist durch die  Fouriertransformation  gegeben.
Legt man an den Eingang das Signal  $x(t)$  an und bezeichnet das Ausgangssignal mit  $y(t)$, so liefert die klassische Systemtheorie folgende Aussagen:

• Das Ausgangssignal  $y(t)$  ergibt sich aus der  Faltung  zwischen dem Eingangssignal  $x(t)$  und der Impulsantwort  $h(t)$.  Die folgende Gleichung gilt für deterministische und stochastische Signale gleichermaßen:

$$y(t) = x(t) \ast h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\cdot h ( t - \tau) \,\,{\rm d}\tau.$$

• Bei deterministischen Signalen geht man meist den Umweg über die Spektralfunktionen.  Das Spektrum  $X(f)$  ist die Fouriertransformierte von  $x(t)$.  Die Multiplikation mit dem Frequenzgang  $H(f)$  führt zum Ausgangsspektrum  $Y(f)$.  Daraus lässt sich das Signal  $y(t)$  durch Fourierrücktransformation gewinnen.
• Bei stochastischen Signalen versagt diese Vorgehensweise, da dann die Zeitfunktionen  $x(t)$  und  $y(t)$  nicht für alle Zeiten  von ­$–∞$  bis  $+∞$  vorhersagbar sind und somit die dazugehörigen Amplitudenspektren  $X(f)$  und  $Y(f)$  gar nicht existieren.
• In diesem Fall muss auf die im letzten Kapitel definierten  Leistungsdichtespektren  übergegangen werden.

Amplituden- und Leistungsdichtespektrum

Wir betrachten einen ergodischen Zufallsprozess  $\{x(t)\}$, dessen Autokorrelationsfunktion  $φ_x(τ)$  als bekannt vorausgesetzt wird.  Das Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_x(f)$  ist dann über die Fouriertransformation ebenfalls eindeutig bestimmt und es gelten die folgenden Aussagen:

Zur AKF– und LDS–Berechnung eines Zufallssignals

• Das Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_x(f)$  kann – ebenso wie die Autokorrelationsfunktion  $φ_x(τ)$ – für jede einzelne Musterfunktion des stationären und ergodischen Zufallsprozesses  $\{x(t)\}$  angegeben werden, auch wenn der spezifische Verlauf von  $x(t)$  explizit nicht bekannt ist.
• Das  Amplitudenspektrum  $X(f)$  ist dagegen undefiniert, da bei Kenntnis der Spektralfunktion  $X(f)$  auch die gesamte Zeitfunktion  $x(t)$  von  $–∞$  bis  $+∞$  über die Fourierrücktransformation bekannt sein müsste, was bei einem stochastischen Signal eindeutig nicht der Fall sein kann.
• Ist entsprechend der nebenstehenden Skizze ein Zeitausschnitt der endlichen Zeitdauer  $T_{\rm M}$  bekannt, so kann für diesen natürlich wieder die Fouriertransformation angewendet werden.

$\text{Satz:}$  Zwischen dem Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_x(f)$  des zeitlich unendlich ausgedehnten Zufallssignals  $x(t)$  und dem Amplitudenspektrum  $X_{\rm T}(f)$  des begrenzten Zeitausschnittes  $x_{\rm T}(t)$  besteht der folgende Zusammenhang:

$${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert ^2.$$

$\text{Beweis:}$  Vorne wurde die  Autokorrelationsfunktion  eines ergodischen Prozesses mit der Musterfunktion  $x(t)$  wie folgt angegeben:

$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$

• Es ist zulässig, die zeitlich unbegrenzte Funktion  $x(t)$  durch die auf den Zeitbereich  $-T_{\rm M}/2$  bis  $+T_{\rm M}/2$  begrenzte Funktion  $x_{\rm T}(t)$  zu ersetzen.  $x_{\rm T}(t)$  korrespondiert mit dem Spektrum  $X_{\rm T}(f)$, und man erhält durch Anwendung des  ersten Fourierintegrals  und des  Verschiebungssatzes:

$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x_{\rm T}(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rm T}(f)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f ( t + \tau) } \hspace{0.1cm} \rm d \it f \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$

• Nach Aufspalten des Exponenten und Vertauschen von Zeit- und Frequenzintegral ergibt sich:

$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rm T}(f)\cdot \left[ \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x_{\rm T}(t)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f t } \hspace{0.1cm} \rm d \it t \right] \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$$

• Das innere Integral beschreibt das konjugiert–komplexe Spektrum  $X_{\rm T}^{\star}(f)$.  Daraus folgt weiter:

$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}\vert X_{\rm T}(f)\vert^2 \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$$

• Ein Vergleich mit dem bei Ergodizität stets gültigen Theorem von  Wiener  und  Chintchin,

$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f) \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f ,$$

zeigt die Gültigkeit der oben genannten Beziehung:

$${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert^2.$$

q.e.d.

Leistungsdichtespektrum des Filterausgangssignals

Kombiniert man die in den beiden letzten Abschnitten gemachten Aussagen, so kommt man zu folgendem wichtigen Ergebnis:

$\text{Satz:}$  Das Leistungsdichtespektrum (LDS) am Ausgang eines linearen zeitinvarianten Systems mit dem Frequenzgang  $H(f)$  ergibt sich als das Produkt aus dem Eingangs–LDS  ${\it Φ}_x(f)$  und der „Leistungsübertragungsfunktion"  $\vert H(f)\vert ^2$.

$${ {\it \Phi}_y(f)} = { {\it \Phi}_x(f)} \cdot \vert H(f)\vert ^2.$$

$\text{Beweis:}$  Ausgegangen wird von den drei bereits vorher hergeleiteten Beziehungen:

$${ {\it \Phi}_x(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} \vert X_{\rm T}(f)\vert^2, \hspace{0.5cm} { {\it \Phi}_y(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm}\vert Y_{\rm T}(f)\vert^2, \hspace{0.5cm} Y_{\rm T}(f) = X_{\rm T}(f) \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} H(f).$$

Setzt man diese Gleichungen ineinander ein, so erhält man das obige Ergebnis.

q.e.d.

Das folgende Beispiel verdeutlicht den Zusammenhang bei Weißem Rauschen.

Filtereinfluss im Frequenzbereich

$\text{Beispiel 1:}$  Am Eingang eines Gauß-Tiefpasses mit dem Frequenzgang

$$H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}$$

liegt weißes Rauschen  $x(t)$  mit der Rauschleistungsdichte  ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$  an   ⇒   zweiseitige Darstellung.  Dann gilt für das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals:

$${ {\it \Phi}_y(f)} = \frac {N_0}{2} \cdot {\rm e}^{- 2 \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}.$$

Die Grafik zeigt die Signale und Leistungsdichtespektren am Filtereingang und –ausgang.

Anmerkungen:

1.   Das Signal  $x(t)$  kann – streng genommen – gar nicht gezeichnet werden, da es eine unendlich große Leistung besitzt   ⇒   Integral über  ${\it Φ}_x(f)$  von  $-\infty$  bis  $+\infty$.
2.   Das Ausgangssignal  $y(t)$  ist niederfrequenter als  $x(t)$  und besitzt eine endliche Leistung entsprechend dem Integral über  ${\it Φ}_y(f)$.
3.   Bei einseitiger Darstellung würde (nur) für  $f>0$ gelten:  ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0$.  Die Aussagen  (1)  und  (2)  würden auch hier in gleicher Weise gelten.

Autokorrelationsfunktion des Filterausgangssignals

Das berechnete Leistungsdichtespektrum (LDS) kann auch wie folgt geschrieben werden:

$${{\it \Phi}_y(f)} = {{\it \Phi}_x(f)} \cdot H(f) \cdot H^{\star}(f)$$

$\text{Satz:}$  Für die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) erhält man dann entsprechend den  Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation  und durch Anwendung des  Faltungssatzes:

$${ {\it \varphi}_y(\tau)} = { {\it \varphi}_x(\tau)} \ast h(\tau)\ast h(- \tau).$$

Beim Übergang vom Spektral– in den Zeitbereich ist zu beachten:

• Einzusetzen sind jeweils die Fourierrücktransformierten, nämlich

$${{\it \varphi}_y(\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,{{\it \Phi}_y(f)}, \hspace{0.5cm}{{\it \varphi}_x(\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\bullet\,{{\it \Phi}_x(f)}, \hspace{0.5cm}{h(\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,{H(f)}, \hspace{0.5cm}{h(-\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\bullet\,{H^{\star}(f)}$$

• Zudem wird aus jeder Multiplikation eine Faltungsoperation.

Filtereinfluss im Zeitbereich

$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten nochmals das gleiche Szenario wie  im $\text{Beispiel 1}$, aber diesmal im Zeitbereich:

• weißes Rauschen  ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$,

• gaußförmiges Filter:   $H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(t) = \Delta f \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(\Delta f \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t)^2}.$

Man erkennt aus dieser Darstellung:

1.   Die AKF des Eingangssignals ist nun eine Diracfunktion mit dem Gewicht  $N_0/2$.
2.   Durch zweimalige Faltung mit der (hier ebenfalls gaußförmigen) Impulsantwort  $h(t)$  bzw.  $h(–t)$  erhält man die AKF  $φ_y(τ)$  des Ausgangssignals.
3.   Auch die AKF  $φ_y(τ)$  des Ausgangssignals ist also gaußförmig.
4.   Der AKF–Wert bei  $τ = 0$  ist identisch mit der Fläche des Leistungsdichtespektrums  ${\it Φ}_y(f)$  und kennzeichnet die Signalleistung (Varianz)  $σ_y^2$.
5.   Dagegen ergibt die Fläche unter  $φ_y(τ)$  den LDS-Wert  ${\it Φ}_y(f = \rm 0)$, also  $N_0/2$.

Kreuzkorrelationsfunktion zwischen Eingangs- und Ausgangssignal

Zur Berechnung der Kreuzkorrelationsfunktion

Wir betrachten wieder ein Filter mit dem Frequenzgang  $H(f)$  und der Impulsantwort  $h(t)$.  Weiter gilt:

• Das stochastische Eingangssignal  $x(t)$  ist eine Musterfunktion des ergodischen Zufallsprozesses  $\{x(t)\}$.
• Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) am Filtereingang ist somit  $φ_x(τ)$, während das Leistungsdichtespektrum (LDS) mit  ${\it Φ}_x(f)$  bezeichnet wird.
• Die entsprechenden Beschreibungsgrößen des ergodischen Zufallsprozesses  $\{y(t)\}$  am Filterausgang sind die Musterfunktion  $y(t)$, die Autokorrelationsfunktion  $φ_y(τ)$  sowie das Leitsungsdichtespektrum  ${\it Φ}_y(f)$.

$\text{Satz:}$  Für die  Kreuzkorrelationsfunktion  (KKF) zwischen dem Eingangs– und dem Ausgangssignal gilt:

$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)} .$$

Hierbei bezeichnet  $h(τ)$  die Impulsantwort des Filters  $($mit der Zeitvariablen  $τ$  anstelle von  $t)$  und  ${ {\it \varphi}_{x}(\tau)}$  die AKF des Eingangssignals.

$\text{Beweis:}$  Allgemein gilt für die Kreuzkorrelationsfunktion zwischen zwei Signalen  $x(t)$  und  $y(t)$:

$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot y(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$

• Mit der allgemeingültigen Beziehung  $y(t) = h(t) \ast x(t)$  und der formalen Integrationsvariablen  $θ$  lässt sich hierfür auch schreiben:

$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}{\rm d}\theta\hspace{0.1cm}{\rm d} \it t.$$

• Durch Vertauschen der beiden Integrale und Hereinziehen der Grenzwertbildung in das Integral erhält man:

$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot \left[ \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} } \cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm} {\rm d} t \right]{\rm d}\theta.$$

• Der Ausdruck in den eckigen Klammern ergibt den AKF-Wert am Eingang zum Zeitpunkt  $τ - θ$:

$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}h(\theta) \cdot \varphi_x(\tau - \theta)\hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm} {\rm d}\theta = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)} .$$

• Das verbleibende Integral beschreibt aber die Faltungsoperation in ausführlicher Schreibweise.

q.e.d.

$\text{Fazit:}$  Im Frequenzbereich lautet die entsprechende Gleichung:

$${ {\it \Phi}_{xy}(f)} = H(f)\cdot{ {\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f) = \frac{ {\it \Phi}_{xy}(f)}{ {\it \Phi}_{x}(f)}.$$

Diese Gleichung zeigt, dass der Filterfrequenzgang  $H(f)$  aus einer Messung mit stochastischer Anregung vollständig – also sowohl der Betrag als auch die Phase – berechnet werden kann, wenn folgende Beschreibungsgrößen ermittelt werden:

• die statistischen Kenngrößen am Eingang, entweder die AKF  $φ_x(τ)$  oder das  LDS ${\it Φ}_x(f)$,
• sowie die Kreuzkorrelationsfunktion  $φ_{xy}(τ)$  bzw. deren Fouriertransformierte  ${\it Φ}_{xy}(f)$.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 5.1: Gaußsche AKF und Gaußtiefpass

Aufgabe 5.1Z: $\cos^2$-Rauschbegrenzung

Aufgabe 5.2: Bestimmung des Frequenzgangs

Aufgabe 5.2Z: Zweiwegekanal