Aufgaben:Exercise 3.2Z: Sinc-Squared Spectrum with Diracs

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$\rm si$-Quadrat-Spektrum mit Diracs

The sketched spectrum  ${X(f)}$  of a time signal  ${x(t)}$  is composed of

• a continuous component  $X_1(f)$,

• plus three dirac-shaped spectral lines.

The continuous component with  $f_0 = 200\, \text{kHz}$  and  $X_0 = 10^{–5} \text{ V/Hz}$is as follows:

$$X_1( f ) = X_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {\pi {f}/{f_0}} ),\quad {\rm where is}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits} (x) = {\sin (x)}/{x}.$$

The spectral line at  $f = 0$  has the weight  $–\hspace{-0.08cm}1\,\text{V}$. In addition, there are two lines at frequencies  $\pm f_0$, both with weight  $0.5\,\text{V}$.

Hints:

• This exercise belongs to the chapter  Fourier Transform and Its Inverse.
• Further information on this topic can be found in the learning video  Kontinuierliche und diskrete Spektren.

• It can be assumed as known that a triangular pulse  $y(t)$  symmetrical about  $t = 0$  with the amplitude  ${A}$  and the absolute duration  $2T$  $($i.e.:  he signal values are unequal to$0)$  only between  $–T$  and  $+T$  has the following spectral function:

$$Y( f ) = A \cdot T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T ).$$

Question

1 Welche Werte besitzen die Parameter  ${A}$  (Amplitude) und  ${T}$  (einseitige Dauer) des dreieckförmigen Signalanteils  $x_1(t)$?

$A\ = \ $  $\text{V}$

$T\ = \ $  $\text{$µ$s}$

2 Wie groß ist der Gleichsignalanteil  ${B}$  des Signals?

$B\ = \ $  $\text{V}$

3 Wie groß ist die Amplitude  $C$  des periodischen Anteils von  $x(t)$?

$C\ = \ $  $\text{V}$

4 Wie groß sind der Maximalwert und der Minimalwert des Signals  $x(t)$?

$x_\text{max}\ = \ $  $\text{V}$

$x_\text{min}\hspace{0.2cm} = \ $  $\text{V}$

Musterlösung

Solution

Fläche des Dreieckimpulses

(1)  Die einseitige Dauer des symmetrischen Dreieckimpulses beträgt  $T = 1/f_0\hspace{0.15 cm}\underline{ = 5 \,{\rm µ s}}$.

• Der Spektralwert  $X_0 = X_1(f = 0)$  gibt die Impulsfläche von  $x_1(t)$  an.
• Diese ist gleich  ${A} \cdot {T}$.  Daraus folgt:

$$A = \frac{X_0 }{T} = \frac{ 10^{-5}\rm V/Hz }{5 \cdot 10^{-6}{\rm s}}\hspace{0.15 cm}\underline{= 2\;{\rm V}}.$$

(2)  Der Gleichsignalanteil ist durch das Diracgewicht bei  $f = 0$  gegeben. Man erhält  ${B} \hspace{0.15 cm}\underline{= -1 \,\text{V}}$.

(3)  Die beiden Spektrallinien bei  $\pm f_0$  ergeben zusammen ein Cosinussignal mit der Amplitude  ${C} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1 \text{V}}$.

(4)  Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt  ${t} = 0$  auf  (hier sind Dreieckimpuls und Cosinussignal maximal):

$$x_{\text{max}} = A + B + C \hspace{0.15 cm}\underline{= +2 \text{V}}.$$

• Die minimalen Werte von  ${x(t)}$  ergeben sich dann, wenn der Dreieckimpuls abgeklungen ist und die Cosinusfunktion den Wert  $–\hspace{-0.08 cm}1 \,\text{V}$  liefert:

$$x_\text{min} = {B} - {C}\hspace{0.15 cm}\underline{ = -2\, \text{V}}.$$