Aufgaben:Exercise 3.3Z: Rectangular Pulse and Dirac Delta

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Verschiedene Rechteckimpulse

We consider here a multitude of symmetrical rectangular functions  $x_k(t)$. The individual rectangles differ in amplitudes (heights)

$$A_k = k \cdot A$$

and different pulse durations (widths)

$$T_k = T/k.$$

Let  $k$  be any positive value.

• The rectangular pulse  $x_1(t)$  shown in red has the amplitude   $A_1 = {A} = 2 \,\text{V}$  and the duration  $T_1 = {T} = 500 \,µ\text{s}$.
• The pulse  $x_2(t)$ shown in blue is half as wide  ⇒   $T_2 =250 \,µ\text{s}$, but twice as high   ⇒   $A_2 = 4 \text{ V}$.

Hints:

• This exercise belongs to the chapter  Special Cases of Impulse Signals.

• You can check your results using the two interactive applets  Impulse und Spektren  sowie  Frequenzgang und Impulsantwort .

Questions

1

Which of the following statements are true regarding the spectrum  $X_1(f)$ ?

	The spectral value  $X_1(f = 0)$  is equal to  $10^{–3} \,\text{V/Hz}$.
	$X_1(f)$  has zeros at a distance of  $2 \,\text{kHz}$.
	$X_1(f)$  has zeros at a distance of  $4 \,\text{kHz}$.

2

Which of the following statements are true regarding the spectrum  $X_2(f)$  zu?

	The spectral value  $X_2(f = 0)$  ist gleich  $10^{–3} \,\text{V/Hz}$.
	$X_2(f)$  has zeros at a distance of  $2\, \text{kHz}$.
	$X_2(f)$  has zeros at a distance of  $4 \,\text{kHz}$.

3

Let  $k = 10$. Calculate the frequency  $f_{10}$  of the first zero and the spectral value at  $f = 2 \,\text{kHz}$.

$f_{10} \ = \ $  $\text{kHz}$

$X_{10}(f = 2 \text{kHz})\ = \ $  $\text{mV/Hz}$

4

What is the spectral value at  bei $f = 2 \,\text{kHz}$  in the limiting case  $k \rightarrow \infty$? Interpret the result.

$X_{\infty}(f = 2 \,\text{kHz})\ = \ $  $\text{mV/Hz}$

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

• Der Spektralwert bei der Frequenz  $f = 0$  ist nach dem  ersten Fourierintegral  stets gleich der Fläche unter der Zeitfunktion:

$$X( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )} \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}ft} \hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \;X( {f = 0} ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )}\hspace{0.1cm} {\rm d}t.$$

• Im vorliegenden Fall ist die Impulsfläche stets  $A \cdot T = 10^{–3} \,\text{Vs} = 1\, \text{mV/Hz}$.
• Wegen  $T_1 = 500 \,µ\text{s}$  weist das Spektrum  $X_1(f)$  Nulldurchgänge im Abstand  $f_1 = 1/T_1 = 2 \,\text{kHz}$  auf.

(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

• Aufgrund gleicher Impulsflächen wird der Spektralwert bei der Frequenz  $f = 0$  nicht verändert.
• Die äquidistanten Nulldurchgänge treten nun im Abstand  $f_2 = 1/T_2 = 4 \,\text{kHz}$  auf.

(3)  Nullstellen gibt es bei Vielfachen von  $f_{10} = 1/T_{10} = 20 \,\text{kHz}$, und die Spektralfunktion lautet:

$$X_{10} ( f ) = X_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}f/f_{10} } ).$$

• Bei der Frequenz  $f = 2 \,\text{kHz}$ ist  das Argument der  $\rm si$-Funktion gleich  $\pi/10$  $($oder  $18^{\circ})$:

$$X_{10} ( {f = 2\;{\rm{kHz}}}) = 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}} \cdot \frac{{\sin ( {18^\circ } )}}{{{\rm{\pi /10}}}} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.984 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$

  (4)  Im Grenzfall  $k \rightarrow \infty$  geht der dann unendlich hohe und unendlich schmale  Rechteckimpuls  in den  Diracimpuls  über.

• Dessen Spektrum ist für alle Frequenzen konstant.
• Damit gilt auch bei der Frequenz  $f = 2 \,\text{kHz}$  der Spektralwert  $X_{\infty}(f = 2 \,\text{kHz})\hspace{0.15 cm}\underline{=1 \text{ mV/Hz}}$.