Difference between revisions of "Applets:Coherent and Non-Coherent On-Off Keying"

Revision as of 16:09, 4 March 2021

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Applet Description

Considered is the symbol error probability $p_{\rm S}$ of "On–off keying" $\rm (OOK)$ in the presence of white noise, characterized by the standard deviation $\sigma_{\rm AWGN}$, both in the case of coherent demodulation and in the case of non–coherent demodulation. Plotted for both cases are the probability density functions $\rm (PDF)$ of the received signal $r(t)$ for the possible transmitted symbols $s_0$ and $s_1 \equiv 0$.

In the coherent case, there are two Gaussian functions around $s_0$ and $s_1$.

In the incoherent case, there is a Rayleigh–PDF for the symbol $s_1 = 0$ and a Rice–PDF for $s_0 \ne 0$, whose form also depends on the input parameter $C_{\rm Rice}$.

The applet returns the composite probabilities ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1})$ ⇒ (filled blue area in the PDF graph) and ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0})$ ⇒ (red area) and as a final result:

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}(\boldsymbol{r} \ne \boldsymbol{s})= {\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) + {\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}). $$

All these quantities also depend on the decision threshold $G$ whose optimal value in each case is also determined.

In addition, the applet shows which error one makes when approximating the generally more complicated Rice PDF by the best possible Gaussian PDF.

Note: The next section "Theoretical Background" is currently still in German language. The translation is planned as soon as possible.

Theoretical Background

On–Off–Keying mit kohärenter Demodulation

Das einfachste digitale Modulationsverfahren ist On–Off–Keying $\rm (OOK)$. Dieses Verfahren wird teilweise auch als Amplitude Shift Keying $\rm (2–ASK)$ bezeichnet und kann im äquivalenten Tiefpassbereich wie folgt charakterisiert werden:

Signalraumkonstellationen für On–Off–Keying

$\rm OOK$ ist ein binäres und eindimensionales Modulationsverfahren, zum Beispiel mit $s_{1} \equiv 0$ und

$\boldsymbol{s}_{0} = \{s_0,\ 0\}$ (bei Cosinus–Träger, linke Grafik) bzw.
$\boldsymbol{s}_{0} = \{0,\ -s_0\}$ (bei Sinus–Träger, rechte Grafik).

Bei kohärenter Demodulation ist die Signalraumkonstellation des Empfangssignals gleich der des Sendesignals und besteht wieder aus den zwei Punkten $\boldsymbol{r}_0=\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{r}_1=\boldsymbol{s}_1$. In diesem Fall ist das AWGN–Rauschen eindimensional mit der Varianz $\sigma_{\rm AWGN}^2$ anzusetzen und man erhält entsprechend dem Theorieteil für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S} = {\rm Pr}(\boldsymbol{r}\ne \boldsymbol{s})$:

$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{s_0/2}{\sigma_{\rm AWGN}}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ {E_{\rm S}}/{N_0}}\right ) \hspace{0.05cm}. $$

Hierzu ist anzumerken:

Die Funktion ${\rm Q}(x)$ nennt man das „Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral”. Der Link weist auf das Applet Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen.
Obige Gleichung gilt für gleichwahrscheinliche Symbole mit der Entscheiderschwelle $G$ in der Mitte zwischen $\boldsymbol{r}_0$ und $\boldsymbol{r}_1$.
Der Abstand der beiden Signalpunkte von der Entscheiderschwelle $G$ beträgt somit jeweils $\Delta G = s_0/2$ $($Zähler im Argument der ersten $\rm Q$–Funktion$)$.
$E_{\rm S}=s_0^2/2 \cdot T$ bezeichnet für diesen Fall die „mittlere Energie pro Symbol” und $N_0=2T \cdot \sigma_{\rm AWGN}^2$ die (einseitige) AWGN–Rauschleistungsdichte.

$p_{\rm S}$–Berechnung für kohärente Demodulation

$\text{Beispiel 1:}$ Es gelte $\sigma_{\rm AWGN}= 0.8$ und $s_{0} = 2$, ⇒ $G=1$. Alle diese Werte seien auf den Wert $1\hspace{0.05cm} {\rm V}$ normiert.

Die Grafik zeigt zwei „halbe Gaußfunktionen” um $s_1=0$ (blaue Kurve) und $s_0=2$ (rote Kurve) sowie den Schwellenwert $G$. Die schraffierten Flächen markieren die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit.

Nach der ersten Gleichung gilt mit $\Delta G = s_{0} -G= G-s_1 = 1$:

$$p_{\rm S} = {\rm Q} ( 1/0.8 )= {\rm Q} ( 1.25 )\approx 10.56 \%.$$

Ebenso liefert die zweite Gleichung: $E_{\rm S}/{N_0} = 1/4 \cdot s_0^2/\sigma_{\rm AWGN}^2 = 1.5615$:

$$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{1.5615} )\approx 10.56 \%.$$

Aufgrund der Symmetrie ist der Schwellenwert $G=1$ optimal. In diesem Fall sind die rote und die blaue schraffierte Fläche gleich groß ⇒ die Symbole $\boldsymbol{s}_{0}$ und $\boldsymbol{s}_{1}$ werden in gleicher Weise verfälscht.

Mit $G\ne 1$ ergibt sich eine größere Verfälschungswahrscheinlichkeit. Beispielsweise ergibt sich mit $G=0.6$:

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}(\boldsymbol{r}\ne \boldsymbol{s}) = {\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) + {\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0})= 1/2 \cdot {\rm Q} ( 0.75)+ 1/2 \cdot {\rm Q} ( 1.75)\approx 13.33\% .$$

Hier ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit für das Symbol $\boldsymbol{s}_{1}$ ⇒ blaue gefüllte Fläche ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) \approx 11.33\%$ aufgrund der ungünstig gewählten Entscheiderschwelle sehr viel größer als die des Symbols $\boldsymbol{s}_{0}$ ⇒ rote gefüllte Fläche ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) \approx 2\%$.

On–Off–Keying mit inkohärenter Demodulation

Die folgende Grafik zeigt die Strukur (im äquivalenten Tiefpassbereich) des optimalen OOK–Empfängers für inkohärente Demodulation. Detailbeschreibung

Empfänger für inkohärente OOK-Demodulation (komplexe Signale sind blau beschriftet)

Entsprechend dieser zweiten Grafik gilt:

Das Eingangssignal $\boldsymbol{r}(t) = \boldsymbol{s}(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.02cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\phi} + \boldsymbol{n}(t)$ am Empfänger ist aufgrund des aktuellen Phasenwinkels $\phi$ und wegen des komplexen Rauschterms $\boldsymbol{n}(t)$ im allgemeinen komplex.
Erforderlich ist nun die Korrelation zwischen dem komplexen Empfangssignal $\boldsymbol{r}(t)$ und einer komplexen Basisfunktion $\boldsymbol{\xi}(t)$.

Das Ergebnis ist der (komplexe) Detektorwert $\boldsymbol{r}$, woraus als reelle Entscheidereingangsgröße der Betrag $y = |\boldsymbol{r}(t)|$ gebildet wird.

Ist $y \gt G$, so wird als Schätzwert $m_0$ für das Symbol $\boldsymbol{s}_{0}$ ausgegeben, andernfalls der Schätzwert $m_1$ für das Symbol $\boldsymbol{s}_{1}$.
Auch hier ist die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit als Summe zweier Verbundwahrscheinlichkeiten darstellbar:

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}(\boldsymbol{r}\ne \boldsymbol{s}) = {\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) + {\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}).$$

Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung unter Berücksichtigung von Rayleigh– und Riceverteilung

Zur Berechnung der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit bei inkohärenter Demodulation gehen wir von folgender Grafik aus. Dargestellt ist das Empfangssignal im äquivalenten Tiefpassbereich in der komplexen Ebene.

??? Kohärente und Inkohärente Demodulation von On-Off-Keying

Der Punkt $\boldsymbol{s_1}=0$ führt im Empfangsignal wieder zu $\boldsymbol{r_1}=0$.
Dagegen kann $\boldsymbol{r}_0 = \boldsymbol{s}_0 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.02cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\phi}$ auf jedem Punkt eines Kreises mit Radius $1$ liegen, da die Phase $\phi$ unbekannt ist.

Der Entscheidungsprozess unter Berücksichtigung des AWGN–Rauschens ist nun zweidimensional zu interpretieren, wie durch die Pfeile in der Grafik angedeutet.

Die Entscheidungsregion $I_1$ für das Symbol $\boldsymbol{s_1}$ ist der blau gefüllte Kreis mit Radius $G$, wobei der richtige Wert von $G$ noch zu bestimmen ist.

Liegt der Empfangswert $\boldsymbol{r}$ außerhalb dieses Kreises also im rot hinterlegten Gebiet $I_0$, so fällt die Entscheidung zugunsten von $\boldsymbol{s_0}$.

$\rm Rayleigh–Anteil$
Unter Berücksichtigung des AWGN–Rauschens gilt $\boldsymbol{r_1}=\boldsymbol{s_1} + \boldsymbol{n_1}$. Die Rauschkomponente $\boldsymbol{n_1}$ besitzt eine Rayleighverteilung $($Betrag der beiden mittelwertfreien Gaußkomponenten für $I$ und $Q)$.

Deren bedingte WDF lautet mit der rotationssymmetrischen Rauschkomponente $\eta$ mit $\sigma=\sigma_{\rm AWGN}$ :

$$f_{y\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}\boldsymbol{s_1}} (\eta \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} \boldsymbol{s_1})=\frac{\eta}{\sigma^2}\cdot {\rm e}^{-\eta^2 / ( 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sigma^2) } = f_{\rm Rayleigh}(\eta) .$$

Damit erhält man für die bedingte Wahrscheinlichkeit

$${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0}|\boldsymbol{s_1}) = \int_{G}^{\infty}f_{\rm Rayleigh}(\eta) \,{\rm d} \eta \hspace{0.05cm},$$

und mit dem Faktor $1/2$ wegen der gleichwahrscheinlichen Sendesymbole die Verbundwahrscheinlichkeit:

$${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) = 1/2 \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{r_0}|\boldsymbol{s_1})= 1/2 \cdot \int_{G}^{\infty}f_{\rm Rayleigh}(\eta) \,{\rm d} \eta \hspace{0.05cm}.$$

$\rm Rice–Anteil$
Die Rauschkomponente $\boldsymbol{n_0}$ besitzt eine Riceverteilung $($Betrag der Gaußkomponenten mit Mittelwerten $m_x$ und $m_y)$ ⇒ Konstante $C=\sqrt{m_x^2 + m_y^2}$
$($Anmerkung: Im Applet wird die Konstante $C$ mit $C_{\rm Rice}$ bezeichnet$)$.

$$f_{y\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}\boldsymbol{s_0}} (\eta \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} \boldsymbol{s_0})=\frac{\eta}{\sigma^2}\cdot{\rm e}^{-({C^2+\it \eta^{\rm 2} })/ ({\rm 2 \it \sigma^{\rm 2} })}\cdot {\rm I_0}(\frac{\it \eta\cdot C}{\sigma^{\rm 2} }) = f_{\rm Rice}(\eta) \hspace{1.4cm}{\rm mit} \hspace{1.4cm} {\rm I_0}(\eta) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\eta/2)^{2k} }{k! \cdot {\rm \Gamma ({\it k}+1)} }.$$

Damit ergibt sich für die zweite Verbundwahrscheinlichkeit:

$${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) = 1/2 \cdot \int_{0}^{G}f_{\rm Rice}(\eta) \,{\rm d} \eta \hspace{0.05cm}.$$

File:Applet Bild2.png

Dichtefunktionen für „OOK, nichtkohärent”

$\text{Beispiel 2:}$ Die Grafik zeigt das Ergebnis dieser Gleichung für $\sigma_{\rm AWGN} = 0.5$ und $C_{\rm Rice} = 2$. Die Entscheidungsgrenze liegt bei $G \approx 1.25$. Man erkennt aus dieser Darstellung:

Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ ist die Summe der beiden farblich hinterlegten Flächen. Wie im Beispiel 1 für den kohärenten Fall gilt auch hier:

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}(\boldsymbol{r}\ne \boldsymbol{s}) = {\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) + {\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}).$$

Die blau markierte Fläche gibt die Verbundwahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) \approx 2.2\%$ an. Diese berechnet sich als das Integral über die halbe Rayleigh–WDF im Bereich von $G$ bis $\infty$.
Die rot markierte Fläche gibt die Verbundwahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) \approx 2.4\%$ an. Diese berechnet sich als das Integral über die halbe Rice–WDF im Bereich von $0$ bis $G$.
Somit erhält man $p_{\rm S} \approx 4.6\%$. Anzumerken ist, dass die roten und blauen Flächen nicht gleich sind und dass sich die optimale Entscheidungsgrenze $G_{\rm opt}$ sich aus dem Schnittpunkt der beiden Kurven ergibt.
Die optimale Entscheidungsgrenze $G_{\rm opt}$ ergibt sich als der Schnittpunkt von blauer und roter Kurve.

Exercises

Select the number $(1,\ 2$, ... $)$ of the task to be processed. The number "0" corresponds to a „Reset”: Setting as at the program start.
A task description is displayed. Parameter values are adjusted. Solution after pressing "Sample solution".
Always interpret the graphics and the numerical results. The symbols $s_0$ (adjustable) and ${s}_{1}\equiv 0$ are equal probability.
For space reasons, in some of the following questions and sample solutions we also use $\sigma = \sigma_{\rm AWGN}$ and $C = C_{\rm Rice}$.

Deutsch

Wählen Sie die Nummer $(1,\ 2$, ... $)$ der zu bearbeitenden Aufgabe. Die Nummer „0” entspricht einem „Reset”: Einstellung wie beim Programmstart.
Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst. Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
Interpretieren Sie stets die Grafiken und die numerischen Ergebnisse. Die Symbole $s_0$ (einstellbar) und ${s}_{1}\equiv 0$ seien gleichwahrscheinlich.
Aus Platzgründen verwenden wir bei den folgenden Fragen und Musterlösungen teilweise auch $\sigma = \sigma_{\rm AWGN}$ und $C = C_{\rm Rice}$.

(1) We consider $\text{coherent}$ demodulation with $\sigma_{\rm AWGN} = 0.5$ and $s_0 = 2$. What is the smallest possible value for the symbol error probability $p_{\rm S}$?

For coherent demodulation, the PDF of the reception signal is composed of two „half” Gaussian functions around $s_0 = 2$ $($red$)$ and $s_1 = 0$ $($blue$)$.
Here the minimum $p_{\rm S}$ value results with $G=1$ and $\Delta G = s_{0} -G= G-s_1 = 1$ to $p_{\rm S}= {\rm Q} ( \Delta G/\sigma )={\rm Q} ( 1/0.5 )= {\rm Q} ( 2 )\approx 2.28 \%.$
With $G=1$ both symbols are falsified equally. The blue area ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1})$ is equal to the red area ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0})$. Their sum gives $p_{\rm S}$.
With $G=0.5$ the red area is almost zero. Nevertheless $p_{\rm S}\approx 8\%$ (sum of both areas) is more than twice as large as with $G_{\rm opt}=1$.

(1) Wir betrachten die kohärente Demodulation mit $\sigma_{\rm AWGN} = 0.5$ und $s_0 = 2$. Was ist der kleinstmögliche Wert für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$?

Bei kohärenter Demodulation setzt sich die WDF des Empfangssignals aus zwei „halben” Gaußfunktionen um $s_0 = 2$ $($rot$)$ und $s_1 = 0$ $($blau$)$ zusammen.
Der minimale $p_{\rm S}$–Wert ergibt sich hier mit $G=1$ sowie $\Delta G = s_{0} -G= G-s_1 = 1$ zu $p_{\rm S}= {\rm Q} ( \Delta G/\sigma )={\rm Q} ( 1/0.5 )= {\rm Q} ( 2 )\approx 2.28 \%.$
Mit $G=1$ werden beide Symbole gleich verfälscht. Die blaue Fläche ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1})$ ist gleich der roten Fläche ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0})$. Deren Summe ergibt $p_{\rm S}$.
Mit $G=0.5$ ist zwar die rote Fläche nahezu Null. Trotzdem ist $p_{\rm S}\approx 8\%$ (Summe beider Flächen) mehr als doppelt so groß als mit $G_{\rm opt}=1$.

(2) Now let $\sigma = 0.75$. With what $s_0$ value does optimal $G$ give the same symbol error probability as in $(1)$? Then what is the quotient $E_{\rm S}/N_0$?

In general $p_{\rm S}= {\rm Q}\big ( (s_0/2) / \sigma \big )$. If one increases $\sigma$ from $0. 5$ to $0.75$, then $s_0$ must also be increased ⇒ $s_0 = 3$ ⇒ $p_{\rm S}= {\rm Q} ( 1.5/ 0.75 )= {\rm Q} ( 2 )$.
Except $p_{\rm S}= {\rm Q}\big ( (s_0/2) / \sigma \big )$ but also holds: $p_{\rm S}= {\rm Q} ( \sqrt{E_{\rm S}/N_0} )$. It follows: $p_{\rm S}= {\rm Q}(2) ={\rm Q} ( \sqrt{E_{\rm S}/N_0})$ ⇒ $\sqrt{E_{\rm S}/N_0}= 2$ ⇒ $E_{\rm S}/N_0= 4$.
For control: $E_{\rm S}=s_0^2/2 \cdot T, \ N_0=2T \cdot \sigma^2$ ⇒ $E_{\rm S}/N_0 =s_0^2/(4 \cdot \sigma^2)= 3^2/(4 \cdot 0. 75^2)=4$. The same $E_{\rm S}/N_0 =4$ results for the problem $(1)$.

(2) Nun gelte $\sigma = 0.75$. Mit welchem $s_0$–Wert ergibt sich bei optimalem $G$ die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie in $(1)$? Wie groß ist dann der Quotient $E_{\rm S}/N_0$?

Allgemein gilt $p_{\rm S}= {\rm Q}\big ( (s_0/2) / \sigma \big )$. Erhöht man $\sigma$ von $0.5$ auf $0.75$, dann muss auch $s_0$ erhöht werden ⇒ $s_0 = 3$ ⇒ $p_{\rm S}= {\rm Q} ( 1.5/ 0.75 )= {\rm Q} ( 2 )$.
Außer $p_{\rm S}= {\rm Q}\big ( (s_0/2) / \sigma \big )$ gilt aber auch: $p_{\rm S}= {\rm Q} ( \sqrt{E_{\rm S}/N_0} )$. Daraus folgt: $p_{\rm S}= {\rm Q}(2) ={\rm Q} ( \sqrt{E_{\rm S}/N_0})$ ⇒ $\sqrt{E_{\rm S}/N_0}= 2$ ⇒ $E_{\rm S}/N_0= 4$.
Zur Kontrolle: $E_{\rm S}=s_0^2/2 \cdot T, \ N_0=2T \cdot \sigma^2$ ⇒ $E_{\rm S}/N_0 =s_0^2/(4 \cdot \sigma^2)= 3^2/(4 \cdot 0.75^2)=4$. Das gleiche $E_{\rm S}/N_0 =4$ ergibt sich für die Aufgabe (1).

(3) Now consider $\text{non–coherent}$ demodulation with $\sigma_{\rm AWGN} = 0.75$, $C_{\rm Rice} = 2.25$ and $G=2$. What is the symbol error probability $p_{\rm S}$?

For non–coherent demodulation, the PDF of the reception signal is composed of "half" a Rayleigh function $($blue$)$ and "half" a Rice function $($red$)$.
${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) \approx 1.43\%$ gives the proportions of the blue curve above $G =2$, and ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) \approx 15. 18\%$ the proportions of the red curve below $G =2$.
With $G=2$ the sum for the symbol error probability is $p_{\rm S}\approx 16.61\%$ , and with $G_{\rm opt}=1.58$ a slightly better value: $p_{\rm S}\approx 12.25\%$.

(3) Nun betrachten wir die inkohärente Demodulation mit $\sigma_{\rm AWGN} = 0.75$, $C_{\rm Rice} = 2.25$ und $G=2$. Wie groß ist die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$?

Bei inkohärenter Demodulation setzt sich die WDF des Empfangssignals aus einer „halben” Rayleighfunktion $($blau$)$ und einer „halben” Ricefunktion $($rot$)$ zusammen.
${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) \approx 1.43\%$ gibt die Anteile der blauen Kurve oberhalb von $G =2$ an, und ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) \approx 15.18\%$ die Anteile der roten Kurve unterhalb von $G =2$.
Mit $G=2$ ergibt sich für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit die Summe $p_{\rm S}\approx 16.61\%$ , und mit $G_{\rm opt}=1.58$ ein geringfügig besserer Wert: $p_{\rm S}\approx 12.25\%$.

(4) Let $X$ be a Rayleigh random variable in general and $Y$ be a Rice random variable, each with above parameters. How large are ${\rm Pr}(X\le 2)$ and ${\rm Pr}(Y\le 2)$ ?

It holds ${\rm Pr}(Y\le 2) = 2 \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) \approx 30.36\%$, since in the applet the Rice PDF is represented by the factor $1/2$.
In the same way ${\rm Pr}(X> 2) = 2 \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) \approx 2.86\%$ ⇒ ${\rm Pr}(X \le 2)= 1-0.0286 = 97.14\%$.

(4) Es sei $X$ allgemein eine Rayleigh–Zufallsgröße und $Y$ eine Rice–Zufallsgröße, jeweils mit obigen Parametern. Wie groß sind ${\rm Pr}(X\le 2)$ und ${\rm Pr}(Y\le 2)$ ?

Es gilt ${\rm Pr}(Y\le 2) = 2 \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) \approx 30.36\%$, da im Programm die Rice–WDF mit dem Faktor $1/2$ dargestellt ist.
In gleicher Weise gilt ${\rm Pr}(X> 2) = 2 \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) \approx 2.86\%$ ⇒ ${\rm Pr}(X \le 2)= 1-0.0286 = 97.14\%$.

(5) We consider the values $\sigma_{\rm AWGN} = 0.75$, $C_{\rm Rice} = 2.25$ and $G=G_{\rm opt}=1. 58$. How does $p_{\rm S}$ change when "Rice" is replaced by "Gauss" as best as possible?

After the exact calculation, using the optimal threshold $G_{\rm opt}=1.58$: ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) \approx 5. 44\%$, ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) \approx 6.81\%$ ⇒ $p_{\rm S}\approx 12.25\%$.
With the Gaussian approximation, for the same $G$ the first term is not changed. The second term increases to ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) \approx 9.29\%$ ⇒ $p_{\rm S}\approx 14.73\%$.
The new optimization of the threshold $G$ considering the Gaussian approximation leads to $G_{\rm opt}=1.53$ and $p_{\rm S}\approx 14.67\%$.
The parameters of the Gaussian distribution are set as follows: mean $m_{\rm Gaussian}= C_{\rm Rice}=2.25$, standard deviation $\sigma_{\rm Gaussian}= \sigma_{\rm AWGN}=0.75$.

(5) Wir betrachten die Werte $\sigma_{\rm AWGN} = 0.75$, $C_{\rm Rice} = 2.25$ und $G=G_{\rm opt}=1.58$. Wie ändert sich $p_{\rm S}$, wenn man „Rice” bestmöglich durch „Gauß” ersetzt?

Nach der exakten Berechnung ergibt sich mit der optimalen Schwelle $G_{\rm opt}=1.58$: ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_0} \cap \boldsymbol{s_1}) \approx 5.44\%$, ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) \approx 6.81\%$ ⇒ $p_{\rm S}\approx 12.25\%$.
Mit der Gaußnäherung wird bei gleichem $G$ der erste Term nicht verändert. Der zweite Term erhöht sich auf ${\rm Pr}(\boldsymbol{r_1} \cap \boldsymbol{s_0}) \approx 9.29\%$ ⇒ $p_{\rm S}\approx 14.73\%$.
Die neue Optimierung des Schwellenwerts $G$ unter Berücksichtigung der Gaußnäherung führt auf $G_{\rm opt}=1.53$ und $p_{\rm S}\approx 14.67\%$.
Die Parameter der Gaußverteilung sind dabei wie folgt einzustellen: Mittelwert $m_{\rm Gauß}= C_{\rm Rice}=2.25$, Streuung $\sigma_{\rm Gauß}= \sigma_{\rm AWGN}=0.75$.

(6) How do the results change from $(5)$ with $\sigma_{\rm AWGN} = 0. 5$, $C_{\rm Rice} = 1.5$ and with $\sigma_{\rm AWGN} = 1$, $C_{\rm Rice} = 3$ respectively, each with $G=G_{\rm opt}$?

With the optimal decision threshold $G_{\rm opt}$, the probabilities are the same, both for the exact Rice distribution and with the Gaussian approximation.
For all three parameter sets, $E_{\rm S}/N_0= 2.25$. This suggests: The results with non–coherent demodulation depend on this characteristic value alone.

(6) Wie ändern sich die Ergebnisse gegenüber $(5)$ mit $\sigma_{\rm AWGN} = 0.5$, $C_{\rm Rice} = 1.5$ bzw. mit $\sigma_{\rm AWGN} = 1$, $C_{\rm Rice} = 3$, jeweils mit $G=G_{\rm opt}$?

Bei optimaler Entscheidungsgrenze ergeben sich stets gleiche Wahrscheinlichkeiten, sowohl für die exakte Riceverteilung als auch mit der Gaußnäherung.
Bei allen drei Parametersätzen gilt $E_{\rm S}/N_0= 2.25$. Dies lässt vermuten: Die Ergebnisse bei inkohärenter Demodulation hängen allein von dieser Kenngröße ab.

(7) Let the setting continue to be $\text{non–coherent/approximation}$ with $C_{\rm Rice} = 3$, $G=G_{\rm opt}$. Vary the AWGN standard deviation in the range $0.5 \le \sigma \le 1$.
Interpret the relative error ⇒ $\rm (False - Correct)/Correct$ as a function of the quotient $E_{\rm S}/N_0$.

With $\sigma =0.5$ ⇒ $E_{\rm S}/N_0 = 9$ one obtains $p_{\rm S}^{\ \rm (exact)}\approx 0. 32\%$ and $p_{\rm S}^{\ \rm (approximate)}\approx 0.38\%$. The absolute error is $0.06\%$ and the relative error $18.75\%$.
With $\sigma =1$ ⇒ $E_{\rm S}/N_0 = 2.25$ one obtains $p_{\rm S}^{\ \rm (exact)}\approx 12. 25\%$ and $p_{\rm S}^{\ \rm (approximate)}\approx 14.67\%$. The absolute error is $2.42\%$ and the relative error $19.75\%$.
⇒ The Gaussian approximation becomes better with larger $E_{\rm S}/N_0$. This statement can be seen more clearly from the absolute than from the relative error.

(7) Die Einstellung sei weiterhin „inkohärent mit Näherung”. Es gelte stets $C_{\rm Rice} = 3$, $G=G_{\rm opt}$. Variierern Sie die AWGN–Streuung im Bereich $0.5 \le \sigma \le 1$.
Interpretieren Sie den relativen Fehler ⇒ $\rm (Falsch - Richtig)/Richtig$ in Abhängigkeit der Kenngröße $E_{\rm S}/N_0$.

Mit $\sigma =0.5$ ⇒ $E_{\rm S}/N_0 = 9$ erhält man $p_{\rm S}^{\ \rm (exakt)}\approx 0.32\%$ und $p_{\rm S}^{\ \rm (Näherung)}\approx 0.38\%$. Der absolute Fehler beträgt $0.06\%$ und der relative Fehler $18.75\%$.
Mit $\sigma =1$ ⇒ $E_{\rm S}/N_0 = 2.25$ erhält man $p_{\rm S}^{\ \rm (exakt)}\approx 12.25\%$ und $p_{\rm S}^{\ \rm (Näherung)}\approx 14.67\%$. Der absolute Fehler beträgt $2.42\%$ und der relative Fehler $19.75\%$.
Fazit: Die Gaußnäherung wird mit größerem $E_{\rm S}/N_0$ immer besser. Diese Aussage erkennt man am absoluten Fehler deutlicher als am relativen Fehler.

(8) Now repeat the last experiment with $\text{coherent}$ demodulation and $s_0 = 3$, $G=G_{\rm opt}$. What conclusion does the comparison with $(7)$ allow?

The comparison of $(7)$ and $(8)$ shows: For each $E_{\rm S}/N_0$ there is a greater (worse) symbol error probability with non–coherent demodulation.
For $E_{\rm S}/N_0= 9$: $p_{\rm S}^{\ \rm (coherent)}\approx 0.13\%$ and $p_{\rm S}^{\ \rm (non–coherent)}\approx 0.32\%$. And for $E_{\rm S}/N_0= 2.25$: $p_{\rm S}^{\ \rm (coherent)}\approx 6.68\%$ and $p_{\rm S}^{\ \rm (non–coherent)}\approx 12.25\%$.
The simpler realization of the incoherent demodulator (no clock synchronization) causes a loss of quality ⇒ greater error probability.

(8) Wiederholen Sie den letzten Versuch nun mit der Einstellung „kohärente Demodulation” sowie $s_0 = 3$, $G=G_{\rm opt}$. Welches Fazit erlaubt der Vergleich mit (7)?

Der Vergleich von $(7)$ und $(8)$ zeigt: Für jedes $E_{\rm S}/N_0$ ergibt sich bei inkohärenter Demodulation eine größere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit.
Für $E_{\rm S}/N_0= 9$ ergibt sich $p_{\rm S}^{\ \rm (kohärent)}\approx 0.13\%$ und $p_{\rm S}^{\ \rm (inkohärent)}\approx 0.32\%$. Für $E_{\rm S}/N_0= 2.25$ erhält man $p_{\rm S}^{\ \rm (kohärent)}\approx 6.68\%$ und $p_{\rm S}^{\ \rm (inkohärent)}\approx 12.25\%$.
Die einfachere Realisierung des inkohärenten Demodulators (keine Taktsynchronisierung) bewirkt einen Qualitätsverlust ⇒ größere Fehlerwahrscheinlichkeit.

Applet Manual

Bildschirmabzug (englische Version, heller Hintergrund)

(A) Theme (veränderbare grafische Oberflächengestaltung)

Dark: schwarzer Hintergrund (wird von den Autoren empfohlen)
Bright: weißer Hintergrund (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
Deuteranopia: für Nutzer mit ausgeprägter Grün–Sehschwäche
Protanopia: für Nutzer mit ausgeprägter Rot–Sehschwäche

(B) Vorauswahl für die Impulsform $x_1(t)$ (rote Kurve)

(C) Parameterfestlegung für $x_1(t)$

(D) Numerikausgabe für $x_1(t_*)$ und $X_1(f_*)$

(E) Vorauswahl für die Impulsform $x_2(t)$ (blaue Kurve)

(F) Parameterfestlegung für $x_2(t)$

(G) Numerikausgabe für $x_2(t_*)$ und $X_2(f_*)$

(H) Einstellung der Zeit $t_*$ für die Numerikausgabe

(I) Einstellung der Frequenz $f_*$ für die Numerikausgabe

(J) Bereich der graphischen Darstellung im Zeitbereich

(K) Bereich der graphischen Darstellung im Frequenzbereich

(L) Auswahl der Aufgabe entsprechend der Aufgabennummer

(M) Aufgabenbeschreibung und Fragestellung

(N) Musterlösung anzeigen und verbergen

Details zu den obigen Punkten (J ) und (K)

Zoom–Funktionen:
„$+$” (Vergrößern), „$-$” (Verkleinern), „$\rm o$” (Zurücksetzen)

Verschiebe–Funktionen: „$\leftarrow$” „$\uparrow$” „$\downarrow$” „$\rightarrow$”
„$\leftarrow$” bedeutet: Bildausschnitt nach links, Ordinate nach rechts

Andere Möglichkeiten:

Bei gedrückter Shifttaste und Scrollen kann im Koordinatensystem gezoomt werden.
Bei gedrückter Shifttaste und gedrückter linker Maustaste kann das Koordinatensystem verschoben werden.

About the Authors

This interactive calculation tool was designed and implemented at the Institute for Communications Engineering at the Technical University of Munich.

The first version was created in 2007 by Thomas Großer as part of his diploma thesis with “FlashMX – Actionscript” (Supervisor: Günter Söder).
In 2018 the program was redesigned by Xiaohan Liu as part of her bachelor thesis (Supervisor: Tasnád Kernetzky ) via „HTML5”.
Last revision and English version 2021 by Carolin Mirschina in the context of a working student activity. Translation using DEEPL.com.

The conversion of this applet to HTML 5 was financially supported by "Studienzuschüsse" (Faculty EI of the TU Munich). We thank.

Once again: Open Applet in new Tab