Aufgaben:Exercise 2.10: Shannon-Fano Coding

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Baumdiagramm der
Shannon–Fano–Codierung

Ein weiterer Algorithmus zur Entropiecodierung wurde 1949 von  Claude Elwood Shannon  und  Robert Fano  angegeben, der im Theorieteil beschrieben ist.

Diese spezielle Art von Quellencodierung soll hier an einem einfachen Beispiel für den Symbolumfang  $M = 4$  und die folgenden Symbolwahrscheinlichkeiten beschrieben werden:

$$p_{\rm A} = 0.2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}p_{\rm B}= 0.3 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}p_{\rm C}= 0.4 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} p_{\rm D}= 0.1 \hspace{0.05cm}. $$

Die Grafik zeigt das dazugehörige Baumdiagramm.  Man geht folgendermaßen vor:

1. Man ordnet die Symbole nach fallender Auftrittswahrscheinlichkeit, hier  $\rm C$ – $\rm B$ – $\rm A$ – $\rm D$.

2. Man teilt die Symbole in zwei etwa gleichwahrscheinliche Gruppen ein, hier  $\rm C$  und  $\rm BAD$.

3. Der unwahrscheinlicheren Gruppe wird das Binärsymbol  0, der anderen Gruppe die  1  zugeordnet.

4. Sind in einer Gruppe mehr als ein Zeichen, so ist der Algorithmus rekursiv anzuwenden.

Für dieses Beispiel ergibt sich die folgende Codezuordnung (im Baumdiagramm markiert eine rote Verbindung eine  1  und eine blaue eine  0:

      $\rm A$   →   111,     $\rm B$   →   10,     $\rm C$   →   0,     $\rm D$   →   110.

Damit ergibt sich für die mittlere Codewortlänge:

$$L_{\rm M} = 0.4 \cdot 1 + 0.3 \cdot 2 + (0.2 + 0.1) \cdot 3 = 1.9\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}.$$

Der Huffman-Algorithmus würde hier zwar einen geringfügig anderen Code erzeugen, aber auch bei diesem würde 

• $\rm C$  mit einem Bit, 
• $\rm B$  mit zwei Bit und 
• $\rm A$ und  $\rm D$  mit jeweils drei Bit 

codiert.  Damit ergäbe sich ebenfalls  $L_{\rm M} = 1.9 \ \rm bit/Quellensymbol$.

In dieser Aufgabe sollen Sie den Shannon–Fano–Code für  $M = 8$  und die Wahrscheinlichkeiten

$$p_{\rm A} = 0.10 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}p_{\rm B}= 0.40 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}p_{\rm C}= 0.02 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} p_{\rm D}= 0.14 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} p_{\rm E} = 0.17 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}p_{\rm F}= 0.03 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}p_{\rm G}= 0.05 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}p_{\rm H}= 0.09$$

ermitteln.  Sie werden erkennen, dass sich mit diesen Wahrscheinlichkeiten „Shannon–Fano" auch hinsichtlich der Effizienz von „Huffman" unterscheiden wird. 

Beim Huffman–Code ergibt sich mit den vorliegenden Wahrscheinlichkeiten die folgende Zuordnung:

      $\rm A$   →   100,     $\rm B$   →   0,     $\rm C$   →   111100,     $\rm D$   →   101,     $\rm E$   →   110,     $\rm F$   →   111101,     $\rm G$   →   11111,     $\rm H$   →   1110.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Weitere Quellencodierverfahren.
• Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite  Der Shannon-Fano-Algorithmus.
• Zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse verweisen wir auf das interaktive Applet  Huffman– und Shannon–Fano–Codierung.

Fragebogen

1

Wie groß ist die mittlere Codewortlänge  $L_{\rm M}$  beim  Huffman–Code?

$L_{\rm M}\ = \ $ $\ \rm bit/Quellensymbol$

2

Was geschieht im ersten Schritt der  Shannon–Fano–Codierung?  Hinweis:  Alle anderen Symbole werden in der zweiten Gruppe zusammengefasst.

	Man fasst  $\rm A$  und  $\rm B$  zur ersten Gruppe zusammen.
	Man fasst  $\rm B$  und  $\rm E$  zur ersten Gruppe zusammen.
	Die erste Gruppe besteht nur aus dem Symbol  $\rm B$.

3

Welche Zuordnungen ergeben sich für den  Shannon–Fano–Algorithmus?

	Das Zeichen  $\rm A$  wird binär mit  010  codiert.
	Das Zeichen  $\rm B$  wird binär mit  11  codiert.
	Das Zeichen  $\rm C$  wird binär mit  00110  codiert.

4

Wie groß ist die mittlere Codewortlänge  $L_{\rm M}$  beim  Shannon–Fano–Code?

$L_{\rm M}\ = \ $ $\ \rm bit/Quellensymbol$

5

Welche Aussagen gelten für beliebige Wahrscheinlichkeiten?

	$L_{\rm M}$  könnte bei „Shannon–Fano" kleiner sein als bei „Huffman".
	$L_{\rm M}$  könnte bei „Shannon–Fano" größer sein als bei „Huffman".
	$L_{\rm M}$  könnte bei „Shannon–Fano" und „Huffman" gleich groß sein.

Musterlösung

Solution

(1)  Für den angegebenen Huffman–Code erhält man:

$$L_{\rm M} = 0.4 \cdot 1 + (0.17 + 0.14 + 0.10) \cdot 3 + 0.09 \cdot 4 + 0.05 \cdot 5 + (0.03 + 0.02) \cdot 6 =\underline{ 2.54 \,\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}. $$

(2)  Richtig ist die Antwort 2:

• Vor Anwendung des Shannon–Fano–Algorithmus müssen die Zeichen erst nach ihren Auftrittswahrscheinlichkeiten sortiert werden.  Damit ist die Antwort 1 falsch.
• Alle sortierten Zeichen müssen so in zwei Gruppen eingeteilt werden, dass die Gruppenwahrscheinlichkeiten möglichst gleich sind. Für den ersten Schritt:

$${\rm Pr}(\boldsymbol{\rm BE}) = 0.57\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Pr}(\boldsymbol{\rm DAHGFC}) = 0.43 \hspace{0.05cm}.$$

Baumdiagramm der Shannon–Fano–Codierung

• Bei der Aufteilung gemäß Lösungsvorschlag 3 würde die Gleichverteilung noch weniger erreicht:

$${\rm Pr}(\boldsymbol{\rm B}) = 0.40\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Pr}(\boldsymbol{\rm EDAHGFC}) = 0.60 \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Alle Lösungsvorschläge sind richtig:

• Die Grafik zeigt das Baumdiagramm der Shannon–Fano–Codierung.
• Daraus ergibt sich folgende Zuordnung (eine rote Verbindung weist auf eine  1  hin, eine blaue auf eine  0):

$\underline{\rm A}$   →   010,     $\underline{\rm B}$   →   11,     $\underline{\rm C}$   →   00110,

${\rm D}$   →   011,     ${\rm E}$   →   10,     ${\rm F}$   →   00111,     ${\rm G}$   →   0010,     ${\rm H}$   →   000.

(4)  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (3)  erhält man:

$$L_{\rm M}= (0.40 + 0.17) \cdot 2 + (0.14 + 0.10 + 0.09) \cdot 3 + 0.05 \cdot 4 + (0.03 + 0.02) \cdot 5 =\underline{ 2.58 \,\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}. $$

(5)  Richtig sind die Aussagen 2 und 3:

• Im vorliegenden Beispiel ergibt sich bei Shannon–Fano ein ungünstigerer Wert als bei Huffman.
• In den meisten Fällen – so auch im Beispiel auf der Angabenseite – ergibt sich für Huffman und Shannon–Fano ein gleichwertiger Code und damit auch die gleiche mittlere Codewortlänge.
• Einen effektiveren Code als Huffman liefert Shannon–Fano dagegen nie.