Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.6Z: Gilbert-Elliott Model"
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$\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) \hspace{0.2cm} = \ ${ 0.9 3% } | $\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) \hspace{0.2cm} = \ ${ 0.9 3% } | ||
| − | {Mit welchen Wahrscheinlichkeiten befindet sich das GE–Modell im Zustand | + | {Mit welchen Wahrscheinlichkeiten befindet sich das GE–Modell im Zustand "GOOD" $(w_{\rm G})$ bzw. im Zustand "BAD" $(w_{\rm B})$? |
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$w_{\rm G} \ = \ $ { 0.909 3% } | $w_{\rm G} \ = \ $ { 0.909 3% } | ||
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'''(2)''' Das GE–Modell ist eine stationäre Markovkette. | '''(2)''' Das GE–Modell ist eine stationäre Markovkette. | ||
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:$$w_{\rm G} = {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) \cdot | :$$w_{\rm G} = {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) \cdot | ||
w_{\rm G} + {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) \cdot | w_{\rm G} + {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) \cdot | ||
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*Dagegen ist mit festem $p_{\rm G} = 0.001$ der Wert $p_{\rm M} = 0.005$ erreichbar: | *Dagegen ist mit festem $p_{\rm G} = 0.001$ der Wert $p_{\rm M} = 0.005$ erreichbar: | ||
:$$0.005 = {10}/{11} \cdot 10^{-3} + {1}/{11} \cdot p_{\rm B} | :$$0.005 = {10}/{11} \cdot 10^{-3} + {1}/{11} \cdot p_{\rm B} | ||
Revision as of 15:43, 28 May 2021
Vorgegebenes Gilbert–Elliott–Modell
Wir betrachten das Bündelfehler–Kanalmodell nach E.N. Gilbert und E.O. Elliott (siehe Skizze). Für die Übergangswahrscheinlichkeiten soll dabei gelten:
- $${\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)= 0.1, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$
Die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand "GOOD" betrage $p_{\rm G} = 0.1\%$. Für den Zustand "BAD" gelte $p_{\rm B} = 10\%$.
Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen weitere Kenngrößen ermittelt werden:
- die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$,
- die Zustandswahrscheinlichkeiten $w_{\rm G} = \rm Pr(Z = G)$ und $w_{\rm B} = \rm Pr(Z = B)$,
- die Werte der Korrelationsfunktion, die für $k > 0$ analytisch wie folgt gegeben ist:
- $$\varphi_{e}(k) = p_{\rm M}^2 + (p_{\rm B} - p_{\rm M}) \cdot (p_{\rm M} - p_{\rm G}) \cdot \big [1 - {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )- {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )\big ]^{\it k} \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Bündelfehlerkanäle.
- Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Markovketten im Buch "Stochastische Signaltheorie" und insbesondere auf die Seite Fehlerkorrelationsfunktion des GE–Modells im Buch "Kanalcodierung".
Fragebogen
Musterlösung
(1) Es gilt $\rm Pr(G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G) = 1 \, –Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G) \ \underline {= 0.99}$ sowie $\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 1 \, –Pr(G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) \ \underline {= 0.9}$.
(2) Das GE–Modell ist eine stationäre Markovkette.
- Für die Wahrscheinlichkeit, dass sich diese im Zustand "GOOD" befindet, gilt unter Berücksichtigung des Ergebnisses der Teilaufgabe (1):
- $$w_{\rm G} = {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) \cdot w_{\rm G} + {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) \cdot w_{\rm B}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) \cdot w_{\rm G} = {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) \cdot w_{\rm B} \hspace{0.05cm}.$$
- Weiter gilt $w_{\rm B} = 1 \, –w_{\rm G}$:
- $${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) \cdot w_{\rm G} + {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) \cdot w_{\rm G} = {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} w_{\rm G} = \frac{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)} = \frac{0.1}{0.1 + 0.01} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.909} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} w_{\rm B} = 1 - w_{\rm G }\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.091}\hspace{0.05cm}.$$
(3) Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ ergibt sich aus den Fehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm G}$ und $p_{\rm B}$, gewichtet mit $w_{\rm G}$ und $w_{\rm B}$:
- $$p_{\rm M} = w_{\rm G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B} = \frac{10}{11} \cdot 10^{-3} + \frac{1}{11} \cdot 10^{-1}= \frac{10+100}{11} \cdot 10^{-3}\hspace{0.15cm}\underline { = 1\%}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Entsprechend der allgemeinen Gleichung auf dem Angabenblatt gilt für $k > 0$:
- $$\varphi_{e}(k) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} p_{\rm M}^2 + (p_{\rm B} - p_{\rm M}) \cdot (p_{\rm M} - p_{\rm G}) \cdot [1 - {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )- {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )]^{\it k} = 10^{-4} + 0.09 \cdot 0.009 \cdot 0.89^{\it k} = 10^{-4} \cdot \left ( 1 + 8.1 \cdot 0.89^{\it k} \right )\hspace{0.05cm}.$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{e}(k = 1 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 10^{-4} \cdot \left ( 1 + 8.1 \cdot 0.89^{ 1} \right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 8.209 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm},$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{e}(k = 2 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 10^{-4} \cdot \left ( 1 + 8.1 \cdot 0.89^{ 2} \right )\hspace{0.15cm}\underline { = 7.416 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm},$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{e}(k = 5 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 10^{-4} \cdot \left ( 1 + 8.1 \cdot 0.89^{ 5} \right )\hspace{0.15cm}\underline {= 5.523 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm},$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{e}(k = 50 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 10^{-4} \cdot \left ( 1 + 8.1 \cdot 0.89^{ 50} \right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 1.024 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$
(5) Für jedes Kanalmodell gilt wegen $e_{\nu} ∈ \{0, 1\}$:
- $$\varphi_{e}(k = 0 ) = {\rm E}[e_{\nu} ^2] = {\rm E}[e_{\nu} ] = p_{\rm M} \hspace{0.05cm}.$$
Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) ergibt sich für den vorliegenden Fall $\varphi_e(k = 0) \ \underline {= 0.01}$.
(6) Entsprechend der Teilaufgabe (3) gilt:
- $$p_{\rm M} = {10}/{11} \cdot p_{\rm G} + {1}/{11} \cdot p_{\rm B} \hspace{0.05cm}.$$
- Bei vorgegebenem $p_{\rm B} = 0.1$ ergibt sich selbst für $p_{\rm G} = 0$ (kein Fehler im Zustand "G") die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit zu $p_{\rm M} \approx 0.009$.
- Dagegen ist mit festem $p_{\rm G} = 0.001$ der Wert $p_{\rm M} = 0.005$ erreichbar:
- $$0.005 = {10}/{11} \cdot 10^{-3} + {1}/{11} \cdot p_{\rm B} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} \le 0.055 - 0.1 = 4.5\%\hspace{0.05cm}.$$
- Weiterhin kann die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit (mit vorgegebenem $p_{\rm G}$ und $p_{\rm B}$) auch wie folgt dargestellt werden:
- $$p_{\rm M} = \frac{p_{\rm G} \cdot {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)+ p_{\rm B} \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)} = \frac{0.001 \cdot {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)+ 0.1 \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}\hspace{0.05cm}.$$
- Mit $\rm Pr(B|G) = 0.01$ bzw. mit $\rm Pr(G|B) = 0.1$ erhält man folgende Gleichungen:
- $${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{-0.15cm}:\hspace{0.2cm} {\it p}_{\rm M} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{0.001 \cdot {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)+ 0.001 }{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + 0.01}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) = 0.1\hspace{-0.15cm}:\hspace{0.2cm}{\it p}_{\rm M} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{0.0001 + 0.1 \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{0.1 +{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) }\hspace{0.05cm}.$$
- Aus der letzten Gleichung ist zu erkennen, dass mit keinem $\rm Pr(G|B)$–Wert das Ergebnis $p_{\rm M} = 0.005$ möglich ist.
- Dagegen lässt sich durch ein kleineres $\rm Pr(B|G)$ die Bedingung erfüllen:
- $$0.005 = \frac{0.0001 + 0.1 \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{0.1 +{\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) \le \frac{0.0004}{0.095} \approx 0.0042\hspace{0.05cm}.$$
- Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 2 und 4.
