Aufgaben:Exercise 2.4: About the LZW Algorithm

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LZW Dictionary for Encoding/Decoding

The compression algorithm "LZW " – named after the inventors  Abraham Lempel,  Jacob Ziv  and  Terry Welch  – works like "LZ78 " with a global dictionary.   In this case, all possible characters – in the example  A,  B,  C,  D  – are preassigned at the beginning and are successively expanded during encoding.

During decoding, exactly the same dictionary is created, only the same entry with index  $I$  is made one step later than during coding.  To designate the decoding steps, we use the run variable  $i$ here.

Here are some more notes on LZW encoding and decoding:

• During encoding, at each time  $i$ , a search is made in the dictionary for the longest possible character string that matches the input string currently present.
• The dictionary index  $I_i$  found is always transmitted in binary form.  At the same time,  $W(I_i) + Z$  is entered into the dictionary under the next free index.
• Here,  $W(I_i)$  denotes a character or a character string, and  $Z$  is the first character of the upcoming input string (i.e. also a character), which is no longer considered in  $W(I_i)$ .
• With  $M = 4$  possible characters, the first index  $I_1$  is transmitted with two bits, the indices  $I_2$, ... , $I_5$  with three bits, the next eight indices with four bits, then 16 indices with five bits, etc. The reason for this bit-saving measure can be found in the sample solution to this task.

After coding in the manner described here over  $16$  coding steps, the following binary sequence of length  $N_{\rm Bit} = 61$:

$$\boldsymbol{\rm 00 \ 000 \ 001 \ 010 \ 100 \ 0001 \ 1000 \ 0111 \ 0001 \ 0001 \ 0011 \ 1011 \ 1011 \ 01101 \ 00011 \ 01001}\hspace{0.05cm}.$$

The task of the decoder  (more precisely:  your task)  is now,

• to reconstruct from this binary sequence the indices  $I_1$, ... , $I_{16}$  taking into account the different number of bits  (description of the 16 decoding results by decimal numbers),
• then read out the corresponding characters or character sequences from the dictionary according to the indices and finally – with one step delay – generate the new dictionary entry.

Hints:

• The task belongs to the chapter  Compression according to Lempel, Ziv and Welch.
• Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seiten 

LZ77 - the basic form of Lempel-Ziv algorithms,

Lempel-Ziv coding with variable index bit length,

decoding of the LZW algorithm.

•   Task 2.3  and  Task 2.3Z  deal with other LZ methods in a similar way.

Questions

1

Which indices are available for the first four steps  $i=1$, ... , $i=4$  for decoding  Enter all  $I_i = I(i)$  as decimal numbers.

$I_1 \ = \ $

$I_2 \ = \ $

$I_3 \ = \ $

$I_4 \ = \ $

2

Continue the subdivision of the decoder input string to the end.  Which indices result from the decoding steps  $i=5$, ... , $i=8$?

$I_5 \ = \ $

$I_6 \ = \ $

$I_7 \ = \ $

$I_8 \ = \ $

3

Wie lautet der Ausgabe–String nach  $i = 16$  Decodierschritten?

	AABCAABAABCAABCABBDBBDCDBA,
	AABCAABAABCABBDCABCABBDDBA,
	AABCAABAABCABDBBABCCDBAABDCDBA.

4

Der nächste Index lautet:   $I_{17} = 10010$ (binär) $= 18$ (dezimal).  Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

	Die Decoderausgabe zum Schritt  $i = 17$  lautet  DB.
	Die Decoderausgabe zum Schritt  $i = 17$  lautet  BAD.
	Neuer Wörterbucheintrag  DB  in die Zeile  $I = 19$.
	Neuer Wörterbucheintrag  BAD  in die Zeile  $I = 19$.

5

Der Decoder–Eingabestring bestehe aus  $N_{\rm Bit} = 300$  Binärzeichen (Bit).  Welche der folgenden Aussagen sind dann sicher zutreffend?

	Übertragen wurden  $58$  LZW–Phrasen mit variabler Bitlänge.
	Mit einheitlicher Indexbitlänge wären weniger Bit erforderlich.
	Übertragen wurde eine Datei mit  $N =150$  Quaternärzeichen.

Musterlösung

Solution

(1)  Bei der LZW–Codierung des ersten Zeichens  $(i = 1)$  sind nur die vier Indizes  $I = 0$, ... , $I = 3$  möglich, für die bereits zum Schritt  $i = 0$  (Vorbelegung) ein Wörterbucheintrag vorgenommen wurde. Deshalb genügt es hier, den Index mit zwei Bit zu übertragen.

• Bereits zum Schritt  $i = 2$  werden dagegen drei Bit benötigt. Hätte die Eingangsfolge mit  AAA  begonnen, so hätte die LZW–Codierung  $I_2 = I(i = 2)$  den Dezimalwert  $4$  ergeben. Dieser ist nicht mehr mit zwei Bit darstellbar und muss mit drei Bit codiert werden, ebenso wie  $I_3$,  $I_4$  und  $I_5$.

• Der vorgegebene Eingabestring

$$\boldsymbol{\rm 00 000 001 010 100 0001}\hspace{0.05cm}...$$

ist deshalb vom Decoder wie folgt aufzuteilen:

$$\boldsymbol{\rm 00 | 000 |001 |010 |100 |0001|}\hspace{0.05cm}...$$

• Die Decoderergebnisse der ersten vier Schritte lauten somit:

• $I_1 =$ 00 (binär)      = 0 (dezimal)   ⇒   A,
• $I_2 =$ 000 (binär)    = 0 (dezimal)   ⇒   A,
• $I_3 =$ 001 (binär)    = 1 (dezimal)   ⇒   B,
• $I_4 =$ 010 (binär)    = 2 (dezimal)   ⇒   C.

(2)  Berücksichtigt man, dass

• für  $i = 1$  zwei Bit verwendet werden,
• für  $2 ≤ i ≤ 5$  drei Bit,
• für  $6 ≤ i ≤ 19$  vier Bit,
• für  $14 ≤ i ≤ 29$  fünf Bit,

so kommt man vom "kontinuierlichen Decoder–Eingangsstring"

$$\boldsymbol{\rm 00 000 001 010 100 0001 1000 0111 0001 0001 0011 1011 1011 01101 00011 01001}$$

zum "eingeteilten Decoder–Eingabestring" $($bezeichnet mit  $I_1$, ... ,  $I_{16})$:

$$\boldsymbol{\rm 00 |000 |001 |010 |100 |0001 |1000 |0111 | 0001 |0001 |0011 |1011 |1011 |01101 |00011 |01001} \hspace{0.1cm}.$$

Damit lauten die gesuchten Ergebnisse für die Decodierschritte  $i = 5$, ... ,  $i = 8$:

• $I_5 =$ 100 (binär)      = 4 (dezimal)   ⇒   AA,
• $I_6 =$ 0001 (binär)    = 1 (dezimal)   ⇒   B,
• $I_7 =$ 1000 (binär)    = 8 (dezimal)   ⇒   AAB,
• $I_8 =$ 0111 (binär)    = 7 (dezimal)   ⇒   CA.

(3)  Richtig is tdie Aussage 2.

• Man erhält folgende Decodierergebnisse (in verkürzter Form):

  $I_{9} = 1$   ⇒   B, $\hspace{0.5cm}I_{10} = 1$   ⇒  B,$\hspace{0.5cm}I_{11} = 3$   ⇒   D,$\hspace{0.5cm}I_{12} = 11$   ⇒   CAB,

  $I_{13} = 11$   ⇒   CAB,$\hspace{0.5cm}I_{14} = 13$   ⇒   BD,$\hspace{0.5cm}I_{15} = 3$   ⇒   D,$\hspace{0.5cm}I_{16} = 9$   ⇒   BA.

(4)  Richtig sind die Aussagen 1 und 4. Begründung:

• Der neu ankommende Index ist  $18$  (dezimal) und im Wörterbuch wird unter dem Index  $I = 18$  der Eintrag  DB  gefunden.
• Zum Decodierschritt  $i = 17$  wird in das Wörterbuch die Zeile  $I = 19$  eingetragen.
• Der Eintrag  BAD  setzt sich zusammen aus dem Decodierergebnis aus Schritt  $i = 16$  $($BA$)$  und dem ersten Zeichen  $($D$)$  des neuen Ergebnisses  DB.

(5)  Richtig ist hier nur die Aussage 1:

• Für die erste Phrase genügen zwei Bit.
• Für die Phrasen  $I_2$, ... , $I_5$  benötigt man drei Bit.
• Für die Phrasen  $I_6$, ... , $I_{13}$  benötigt man vier Bit.
• Für die Phrasen  $I_{14}$, ... , $I_{29}$  benötigt man fünf Bit.
• Für die Phrasen  $I_{30}$, ... , $I_{58}$  benötigt man sechs Bit.

• Damit erhält man für die gesamte Bitanzahl:

$$N_{\rm Bit} = 1 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 8 \cdot 4 + 16 \cdot 5 + 29 \cdot 6 = 300 \hspace{0.05cm}.$$

• Mit einheitlicher Bitlänge (sechs Bit für jeden Index) wären  $58 · 6 = 348$  Bit (also mehr) erforderlich   ⇒   die Aussage 2 ist prinzipiell falsch.

Nun zur dritten Aussage, die ebenfalls nicht zutrifft:

• Bei der uncodierten Übertragung von  $N = 150$  Zeichen aus der Symbolmenge  $\{$ A, \ B, \ C, \ D $\}$  würde man genau  $300$  Bit benötigen. Mit LZW benötigt man sicher mehr Bit, wenn die Quelle redundanzfrei ist  (Zeichen gleichwahrscheinlich und statistisch unabhängig).
• Bei redundanter Quelle mit (beispielsweise)  $H = 1.6$ bit/Quellensymbol kann man die Bitanzahl auf  $N_{\rm Bit} = N \cdot H$  begrenzen, vorausgesetzt, es handelt sich um eine sehr große Datei  $(N \to \infty)$.
• Bei einer eher kleinen Datei – wie hier lediglich mit  $N = 150$  Bit – ist keine Aussage möglich, ob die Bitanzahl  $N_{\rm Bit}$  kleiner, gleich oder größer als  $150 · 1.6 = 240$  sein wird.
• Auch  $N_{\rm Bit} > 300$  ist durchaus möglich.  Dann sollte man auf die "Lempel–Ziv–Komprimierung" besser verzichten.