Aufgaben:Exercise 2.8: Huffman Application for a Markov Source

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Binary symmetric Markov source

We consider the binary symmetric Markov source according to the graph, which is given by the single parameter

$$q = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y})$$

completely.

• The given source symbol sequences apply to the conditional probabilities  $q = 0.2$  bzw.  $q = 0.8$, respectively.
• In subtask  (1)  it has to be clarified which symbol sequence – the red or the blue one – was generated with  $q = 0.2$  and which with  $q = 0.8$ .

The properties of Markov sources are described in detail in the chapter  Message Sources with Memory .  Due to the symmetry assumed here with regard to the binary symbols  $\rm X$  and  $\rm Y$ , some serious simplifications result, as is derived in  exercise 1.5Z :

• The symbols  $\rm X$  and  $\rm Y$  are equally probable, that is,  $p_{\rm X} = p_{\rm Y} = 0.5$ holds. 
  Thus the first entropy approximation is:   $H_1 = 1\,\,{\rm bit/source\:symbol}\hspace{0.05cm}. $
• The entropy of the Markov source for  $q = 0.2$  as well as for  $q = 0.8$  results in

$$H = q \cdot {\rm log_2}\hspace{0.15cm}\frac{1}{q} + (1-q) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.15cm}\frac{1}{1-q} = 0.722\,\,{\rm bit/source\:symbol}\hspace{0.05cm}.$$

• For Markov sources, all entropy approximations  $H_k$  with order  $k \ge 2$  are determined by  $H_1$  and  $H = H_{k \to \infty}$ :

$$H_k = {1}/{k}\cdot \big [ H_1 + H \big ] \hspace{0.05cm}.$$

• The following numerical values again apply equally to  $q = 0.2$  and  $q = 0.8$ :

$$H_2 = {1}/{2}\cdot \big [ H_1 + H \big ] = 0.861\,\,{\rm bit/source\:symbol}\hspace{0.05cm},$$

$$H_3 = {1}/{3} \cdot \big [ H_1 + 2H \big ] = 0.815\,\,{\rm bit/source\:symbol}\hspace{0.05cm}.$$

In this exercise, the Huffman algorithm is to be applied to  $k$–tuples, where we restrict ourselves to  $k = 2$  and  $k = 3$ .

Hints:

• The task belongs to the chapter  Entropy coding according to Huffman.
• In particular, reference is made to the page  Application of Huffman coding to k-tuples .
• Useful information can also be found in the specification sheets for  exercise 2.7  and  exercise 2.7Z.
• To check your results, please refer to the interaction module  Huffman and Shannon–Fano––coding.

Questions

1

Which of the example sequences given at the front is true for  $q = 0.8$?

	the red source symbol sequence  1,
	the blue source symbol sequence  2.

2

Which of the following statements are true?

	The direct application of Huffman is also useful here.
	Huffman makes sense when forming two-tuples  $(k = 2)$  Sinn.
	Huffman makes sense when forming tuples of three  $(k = 3)$  Sinn.

3

What are the probabilities of two-tuples  $(k = 2)$  for  $\underline{q = 0.8}$?

$p_{\rm A} = \rm Pr(XX)\ = \ $

$p_{\rm B} = \rm Pr(XY)\ = \ $

$p_{\rm C} = \rm Pr(YX)\ = \ $

$p_{\rm D} = \rm Pr(YY)\ = \ $

Find the Huffman code for  $\underline{k = 2}$.  What is the mean codeword length in this case?

|type="{}"}

$L_{\rm M} \ = \ $ $\ \rm bit/source\:symbol$

4

What is the bound on the mean codeword length when two-tuples are formed  $(k = 2)$? Interpretation.

	$L_{\rm M} \ge H_1 = 1.000$  bit/source\:symbol,
	$L_{\rm M} \ge H_2 \approx 0.861$  bit/source\:symbol,
	$L_{\rm M} \ge H_3 \approx 0.815$  bit/source\:symbol,
	$L_{\rm M} \ge H_{k \to \infty} \approx 0.722$  bit/source\:symbol,
	$L_{\rm M} \ge 0.5$  bit/source\:symbol.

5

Calculate the probabilities of the triples  $(k = 3)$  for  $\underline{q = 0.8}$?

$p_{\rm A} = \rm Pr(XXX)\ = \ $

$p_{\rm B} = \rm Pr(XXY)\ = \ $

$p_{\rm C} = \rm Pr(XYX)\ = \ $

$p_{\rm D} = \rm Pr(XYY)\ = \ $

$p_{\rm E} = \rm Pr(YXX)\ = \ $

$p_{\rm F} = \rm Pr(YXY)\ = \ $

$p_{\rm G} = \rm Pr(YYX)\ = \ $

$p_{\rm H} = \rm Pr(YYY)\ = \ $

6

Find the Huffman code for $\underline{k = 3}$.  What is the mean codeword length in this case?

$L_{\rm M} \ = \ $ $\ \rm bit/source\:symbol$

Solution

Solution

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

• Bei der blauen Quellensymbolfolge  2  erkennt man sehr viel weniger Symbolwechsel als in der roten Folge.
• Die Symbolfolge  2  wurde mit dem Parameter  $q = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y}) = 0.8$  erzeugt und die rote Symbolfolge  1  mit  $q = 0.2$.

(2)  Richtig sind die Antworten 2 und 3.:

• Da hier die Quellensymbole  $\rm X$  und  $\rm Y$  als gleichwahrscheinlich angenommen wurden, macht die direkte Anwendung von Huffman keinen Sinn.
• Dagegen kann man die inneren statistischen Bindungen der Markovquelle zur Datenkomprimierung nutzen, wenn man  $k$–Tupel bildet  $(k ≥ 2)$.
• Je größer  $k$  ist, desto mehr nähert sich die mittlere Codewortlänge  $L_{\rm M}$  der Entropie  $H$.

(3)  Die Symbolwahrscheinlichkeiten sind  $p_{\rm X} = p_{\rm Y} = 0.5$.  Damit erhält man für die Zweiertupel:

$$p_{\rm A} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XX}) = p_{\rm X} \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) = 0.5 \cdot q = 0.5 \cdot 0.8 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.4} \hspace{0.05cm},$$

$$p_{\rm B} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XY}) = p_{\rm X} \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) = 0.5 \cdot (1-q)= 0.5 \cdot 0.2 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.1} \hspace{0.05cm},$$

$$p_{\rm C} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YX}) = p_{\rm Y} \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y}) = 0.5 \cdot (1-q)= 0.5 \cdot 0.2 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.1} \hspace{0.05cm},$$

$$p_{\rm D} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YY}) = p_{\rm Y} \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y}) = 0.5 \cdot q = 0.5 \cdot 0.8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.4} \hspace{0.05cm}.$$

Zur Huffman–Codierung für $k = 2$

(4)  Nebenstehender Bildschirmabzug des (früheren) SWF–Programms  Shannon–Fano– und Huffman–Codierung  zeigt die Konstruktion des Huffman–Codes für  $k = 2$  mit den soeben berechneten Wahrscheinlichkeiten.

• Damit gilt für die mittlere Codewortlänge:

$$L_{\rm M}\hspace{0.01cm}' = 0.4 \cdot 1 + 0.4 \cdot 2 + (0.1 + 0.1) \cdot 3 = 1.8\,\,{\rm bit/Zweiertupel}$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}L_{\rm M} = {L_{\rm M}\hspace{0.01cm}'}/{2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.9\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}.$$

(5)  Richtig iist der Lösungsvorschlag 2:

• Nach dem Quellencodierungstheorem gilt  $L_{\rm M} ≥ H$.
• Wendet man aber Huffman–Codierung an und lässt dabei Bindungen zwischen nicht benachbarten Symbolen außer Betracht  $(k = 2)$, so gilt als unterste Grenze der Codewortlänge nicht  $H = 0.722$, sondern  $H_2 = 0.861$  (auf den Zusatz bit/Quellensymbol wird für den Rest der Aufgabe verzichtet).
• Das Ergebnis der Teilaufgabe  (4)  war  $L_{\rm M} = 0.9.$
• Würde eine unsymmetrische Markovkette vorliegen und zwar derart, dass sich für die Wahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A}$, ... , $p_{\rm D}$  die Werte  $50\%$,  $25\%$  und zweimal  $12.5\%$  ergeben würden, so käme man auf die mittlere Codewortlänge  $L_{\rm M} = 0.875$.
• Wie die genauen Parameter dieser unsymmetrischen Markovquelle aussehen, weiß aber auch der Aufgabensteller (G. Söder) nicht.
• Auch nicht, wie sich der Wert  $0.875$  auf  $0.861$  senken ließe. Der Huffman–Algorithmus ist hierfür jedenfalls ungeeignet.

(6)  Mit  $q = 0.8$  und  $1 - q = 0.2$  erhält man:

$$p_{\rm A} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XXX}) = 0.5 \cdot q^2 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.32} = p_{\rm H} = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YYY})\hspace{0.05cm},$$

$$p_{\rm B} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XXY}) = 0.5 \cdot q \cdot (1-q) \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.08}= p_{\rm G} = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YYX}) \hspace{0.05cm},$$

$$p_{\rm C} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XYX}) = 0.5 \cdot (1-q)^2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.02} = p_{\rm F}= {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YXY}) \hspace{0.05cm},$$

$$p_{\rm D} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XYY}) = 0.5 \cdot (1-q) \cdot q \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.08} = p_{\rm E} = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YXX})\hspace{0.05cm}.$$

(7)  Der Bildschirmabzug des des (früheren) SWF–Programms  Shannon–Fano– und Huffman–Codierung  verdeutlicht die Konstellation des Huffman–Codes für  $k = 3$.  Damit erhält man für die mittlere Codewortlänge:

$$L_{\rm M}\hspace{0.01cm}' = 0.64 \cdot 2 + 0.24 \cdot 3 + 0.04 \cdot 5 = 2.52\,\,{\rm bit/Dreiertupel}\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}L_{\rm M} = {L_{\rm M}\hspace{0.01cm}'}/{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.84\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}.$$

Zur Huffman–Codierung für $k = 3$

• Man erkennt die Verbesserung gegenüber der Teilaufgabe  (4).
• Die für  $k = 2$  gültige Schranke  $H_2 = 0.861$  wird nun von der mittleren Codewortlänge  $L_{\rm M}$  unterschritten.
• Die neue Schranke für  $k = 3$  ist  $H_3 = 0.815$.
• Um die Quellenentropie  $H = 0.722$  zu erreichen  (besser gesagt:  diesem Endwert bis auf ein  $ε$  nahe zu kommen), müsste man allerdings unendlich lange Tupel bilden  $(k → ∞)$.