Aufgaben:Exercise 2.1: Election Demand

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Result of election demand

In an election, the three candidates  $A$,  $B$  and  $C$  are running for mayor.

• The candidate who receives more than  $50\%$  of the votes cast is elected.
• If none of the three candidates succeeds in the first ballot, a run-off election shall be held between the two candidates with the most votes.

Immediately after the closing of the polling stations, the result of an election demand shall be presented:

Candidate  $A$:   $48\%$,       Candidate  $B$:   $30\%$,       Candidate  $C$:   $22\%$.

This demand is based on a survey of only  $N = 2000$  of the total  $N' = 800 \hspace{0.05cm}000$  voters.

In answering the following questions, assume the following:

• The actual (percentage) votes obtained in the election by candidates  $A$,  $B$  and  $C$  can be taken as the probabilities  $p_{\rm A}$,  $p_{\rm B}$  and  $p_{\rm C}$  although these are also themselves determined as relative frequencies  $($related to  $N')$  .
• The  $2000$  selected voters ideally represent the entire electorate in a statistical sense and answered truthfully when asked to vote.
• According to Bernoulli's Law of Large Numbers  the results of this demand are to be understood as relative frequencies:

$$h_{\rm A} = 0.48,\hspace{0.8cm}h_{\rm B} = 0.30,\hspace{0.9cm} h_{\rm C} = 0.22.$$

Hints:

• The exercise belongs to the chapter  From Random Experiment to Random Variable.

• The topic of this chapter is illustrated with examples in the  (German language)  learning video  Bernoullisches Gesetz der großen Zahlen  $\Rightarrow$   Bernoulli's Law of Large Numbers.

Questions

1

Wen erwarten Sie nach dieser Nachfrage als zukünftigen Bürgermeister?

	Kandidat  $A$,
	Kandidat  $B$,
	Kandidat  $C$.

2

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Stichwahl erforderlich sein wird?  Geben Sie hierfür die obere Schranke an.

$\text{Maximum: Pr(keine Stichwahl)} \ = \ $ $\ \rm \%$

3

Wir setzen nun voraus, dass Kandidat  $A$  tatsächlich genau  $48\%$  der Stimmen erhält.
Wie groß ist damit (höchstens) die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat  $C$  die Stichwahl erreicht?

$\text{Maximum: Pr(}C \ \text{in Stichwahl)}\ = \ $ $\ \rm \%$

Musterlösung

Solution

(1)  Man sollte dieser Nachfrage zumindest glauben, dass  $\underline{\text{Kandidat} \ A}$  wahrscheinlich gewinnt.

(2)  Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nachfrage  $(h_{\rm A})$  vom endgültigen Ergebnis  $(p_{\rm A})$  betragsmäßig um mehr als  $2\%$  abweicht, ist nach dem Bernouillischen Gesetz der großen Zahlen mit  $N = 2000$:

$${\rm Pr}(|h_{\rm A} - p_{\rm A}| \geq 0.02) \leq \frac{1}{4 \cdot 2000\cdot 0.02^2} = 0.3125.$$

• Diese Wahrscheinlichkeit beinhaltet die beiden gleichwahrscheinlichen Fälle, dass  $p_{\rm A} \le 46\%$  und  $p_{\rm A} \ge 50\%$  ist.
• Nur im letzten Fall gibt es keine Stichwahl:

$${\rm Pr(keine\hspace{0.1cm}Stichwahl)} \le 0.156 \hspace{0.15cm}\underline{=15.6 \%}.$$

(3)  Mit  $\varepsilon = 4\%$  $($ergibt sich aus  $0.26 -0.22)$  liefert das Gesetz der großen Zahlen:

$${\rm Pr}\left(|h_{\rm C}-p_{\rm C}|\ge 0.04\right)\le\rm\frac{1}{4\cdot 2000\cdot 0.04^2}=0.078.$$

Daraus folgt:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat  $C$  mindestens  $26\%$  der Stimmen erhält, ist nicht größer als  $3.9\%$.
• Da  $p_{\rm A} = 0.48$  fest vorausgesetzt wurde, gilt in diesem Fall gleichzeitig  $p_{\rm B} \le 0.26$.
• Da es sich hier um kontinuierliche Zufallsgrößen handelt, sind  $(p_{\rm C} \ge 0.26, \; p_{\rm B} \le 0.26)$  und  $(p_{\rm C} > 0.26, \; p_{\rm B}< 0.26)$  gleich.
• Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $C$  die Stichwahl erreicht, ebenfalls auf  $3.9\%$  beschränkt:

$${\rm Pr(}C\rm \hspace{0.1cm}erreicht\hspace{0.1cm}Stichwahl)\le 0.039 \hspace{0.15cm}\underline{= 3.9 \%}.$$