Aufgaben:Exercise 2.3: Algebraic Sum of Binary Numbers

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Considered random generator

A random number generator outputs a binary random number   $x_\nu$  at each clock time  $(\nu)$ , which can be  $0$  or  $1$ .

• The value "1" occurs with probability  $p = 0.25$ .
• The individual values  $x_\nu$  are statistically independent of each other.

The binary numbers are stored in a shift register withnbsp; $I = 6$  memory cells.

At each clock instant, the contents of this shift register are shifted one place to the right and the algebraic sum  $y_\nu$  of the shift register contents is formed in each case:

$$y_{\nu}=\sum\limits_{i=0}^{5}x_{\nu-i}=x_{\nu}+x_{\nu-1}+\ \text{...} \ +x_{\nu-5}.$$

Hints:

• The exercise belongs to the chapter  binomial distribution.

• To check your results you can use the interactive applet  Binomial and Poisson distribution .

Questions

1 What values can the sum  $y$  take?  What is the largest possible value?

$y_\max \ = \ $

2 Calculate the probability that  $y$  is greater than  $2$ .

${\rm Pr}(y > 2) \ = \ $

3 What is the mean value of the random variable  $y$ ?

$m_y \ =$

4 Find the ***standard deviation*** of the random variable  $y$.

$\sigma_y \ = \ $

5 Are the random numbers  $y_\nu$  statistically independent?  Justify your result.

	The random numbers are statistically independent.
	The random numbers are statistically dependent.

6 What is the conditional probability that  $y_\nu$  equals  $\mu$  again if  $y_{\nu-1} = \mu$  occured previously?  $(\mu = 0, \ 1, \ \text{...} \ , \ I)$.

${\rm Pr}(y_\nu = \mu \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} y_{\nu-1} = \mu ) \ = \ $

Solution

Solution

(1)  In jeder Zelle kann eine  $0$  oder eine  $1$  stehen.  Deshalb kann die Summe alle ganzzahligen Werte zwischen  $0$  und  $6$  annehmen:

$$y_{\nu}\in\{0,1,\ \text{...} \ ,6\}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}

y_{\rm max} \hspace{0.15cm} \underline{= 6}.$$

(2)  Es liegt eine Binomialverteilung vor.  Daher gilt mit  $p = 0.25$:

$${\rm Pr}(y =0)=(1-p)^{\it I}=0.75^6=0.178,$$

$${\rm Pr}(y=1)=\left({ I \atop {1}}\right)\cdot (1-p)^{I-1}\cdot p= \rm 6\cdot 0.75^5\cdot 0.25=0.356,$$

$${\rm Pr}(y=2)=\left({ I \atop { 2}}\right)\cdot (1-p)^{I-2}\cdot p^{\rm 2}= \rm 15\cdot 0.75^4\cdot 0.25^2=0.297,$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(y>2)=1-{\rm Pr}(y=0)-{\rm Pr}( y=1)-{\rm Pr}( y=2)\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 0.169}.$$

(3)  Nach der allgemeinen Gleichung gilt für den Mittelwert der Binomialverteilung:

$$m_y= I\cdot p\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 1.5}.$$

(4)  Entsprechend gilt für die Streuung der Binomialverteilung:

$$\sigma_y=\sqrt{ I \cdot p \cdot( 1- p)} \hspace{0.15cm} \underline{= \rm 1.061}.$$

(5)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

• Ist  $y_\nu = 0$, so können zum nächsten Zeitpunkt nur die Werte  $0$  und  $1$  folgen, nicht aber  $2$, ... , $6$.
• Das heißt:   Die Folge  $ \langle y_\nu \rangle$  weist (starke) statistische Bindungen auf.

(6)  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist identisch mit der Wahrscheinlichkeit dafür, dass das neue Binärsymbol gleich dem aus dem Schieberegister herausgefallenen Symbol ist. Daraus folgt:

$${\rm Pr} (y_{\nu} = \mu\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} y_{\nu-{1}} = \mu) = {\rm Pr}(x_{\nu}= x_{\nu-6}). $$

• Da die Symbole  $x_\nu$  statistisch voneinander unabhängig sind, kann hierfür auch geschrieben werden:

$${\rm Pr}(x_{\nu} = x_{\nu-6}) = {\rm Pr}\big[(x_{\nu}= 1)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}(x_{\nu-6}= 1)\hspace{0.05cm}\cup \hspace{0.05cm}(x_\nu=0)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}(x_{\nu-6} =0)\big]= p^{2}+(1- p)^{2}=\rm 0.25^2 + 0.75^2\hspace{0.15cm} \underline{ = 0.625}. $$