Aufgaben:Exercise 4.2: Rectangular Spectra

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Rechteckförmige Tiefpass- und Bandpass-Spektren (Aufgabe A4.2)

Wir betrachten zwei Signale $u(t)$ und $w(t)$ mit jeweils rechteckförmigen Spektralfunktionen $U(f)$ bzw. $W(f)$. Es ist offensichtlich, dass

$$u(t) = u_0 \cdot {\rm si} ( \pi \cdot {t}/{T_{ u}})$$

ein TP–Signal ist, dessen zwei Parameter $u_0$ und $T_u$ in der Teilaufgabe 1) zu bestimmen sind. Dagegen zeigt das Spektrum $W(f)$, dass $w(t)$ ein BP–Signal beschreibt. In dieser Aufgabe wird außerdem auf das BP–Signal

$$d(t) = 10 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( 5 \pi f_2 \hspace{0.05cm}t) - 6 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( 3 \pi f_2\hspace{0.05cm} t)$$

Bezug genommen, dessen Spektrum in Aufgabe A4.1 ermittelt wurde. Es sei $f_2$ = 2 kHz. Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 4.1. Berücksichtigen Sie bei der Lösung die folgende trigonometrische Beziehung:

$$\sin (\alpha) \cdot \cos (\beta) = \frac{1}{2}\left[ \sin (\alpha + \beta)+ \sin (\alpha - \beta)\right].$$

Fragebogen

1 Welche Werte besitzen die Parameter $u_0$ und $T_u$ des TP-Signals?

$u_0 =$ V

$T_u =$ ms

2 Berechnen Sie das BP–Signal $w(t)$. Wie groß sind die beiden Signalwerte bei $t$ = 0 und $t$ = 62.5 μs?

$w(t=0) = $ V

$w(t=62.5 \mu \text{s}) =$ V

3 Welche Aussagen sind bezüglich der BP–Signale $d(t)$ und $w(t)$ zutreffend? Begründen Sie Ihr Ergebnis im Zeitbereich.

	Die Signale d(t) und w(t) sind identisch.
	d(t) und w(t) unterscheiden sich durch einen konstanten Faktor.
	d(t) und w(t) haben unterschiedliche Form.

Musterlösung

Solution

Multiplikation mit Cosinus (ML zu Aufgabe A4.2)

1. a) Die Zeit $T_u$, welche die erste Nullstelle des TP-Signals $u(t)$ angibt, ist gleich dem Kehrwert der Breite des Rechteckspektrums, also 1/(2 kHz) = 0.5 ms. Die Impulsamplitude ist, wie in der Musterlösung zur Aufgabe A4.1 ausführlich dargelegt wurde, gleich der Rechteckfläche. Daraus folgt $u_0$ = 2V.

2. Das BP-Spektrum kann mit $f_T$ = 4 kHz wie folgt dargestellt werden:

$$W(f) \hspace{-0.15 cm} & = & \hspace{-0.15 cm}U(f- f_{\rm T}) + U(f+ f_{\rm T}) = \\ & = & \hspace{-0.15 cm} U(f)\star \left[ \delta(f- f_{\rm T})+ \delta(f+ f_{\rm T})\right].$$

Entsprechend dem Verschiebungssatz gilt dann für das dazugehörige Zeitsignal:

$$begin{align*}w(t) \hspace{-0.15 cm} & = \hspace{-0.15 cm} 2 \cdot u(t) \cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm T} t) = \\ & = \hspace{-0.15 cm} 2 u_0

\cdot {\rm si} ( \pi \frac{t}{T_{\rm u}})\cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm T} t).end{align*}$$

Die Grafik zeigt oben das TP-Signal $u(t)$, dann die Schwingung $c(t)$ = 2 · cos(2 $\pi fTt$ ), unten das BP-Signal $w(t) = u(t) \cdot c(t)$. Insbesondere erhält man zum Zeitpunkt $t = 0$:

$$w(t = 0) = 2 \cdot u_0 \hspace{0.15 cm}\underline{= 4 \hspace{0.05cm}{\rm V}}.$$

Der Zeitpunkt $t$ = 62.5 μs entspricht genau einer viertel Periodendauer des Signals $c(t)$:

$$ w(t = 62.5 \hspace{0.05cm}{\rm \mu s}) & = & 2 u_0 \cdot{\rm si} ( \pi \frac{62.5 \hspace{0.05cm}{\rm \mu s}}

{500 \hspace{0.05cm}{\rm \mu s}})
\cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot 4\hspace{0.05cm}{\rm kHz}\cdot
62.5 \hspace{0.05cm}{\rm \mu s}) \\ & = &  
4\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot{\rm si} ( {\pi}/{8}) \cdot \cos ( {\pi}/{4})\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}.$$

3. Vergleicht man die Spektralfunktion $W(f)$ dieser Aufgabe mit dem Spektrum $D(f)$ in der Musterlösung zu Aufgabe A4.1, so erkennt man, dass $w(t)$ und $d(t)$ identische Signale sind. Etwas aufwändiger ist dieser Beweis im Zeitbereich. Mit $f_2$ = 2 kHz kann für das hier betrachtete Signal geschrieben werden:

$$w(t ) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}

\cdot {\rm si} ( \pi f_2 t)
\cdot {\cos} ( 4 \pi f_2 t)  = 

({4\hspace{0.05cm}{\rm V}})/({\pi f_2 t})\cdot \sin (\pi f_2 t) \cdot \cos ( 4 \pi f_2 t) .$$

Wegen der trigonometrischen Beziehung

$$\sin (\alpha) \cdot \cos (\beta) = {1}/{2} \cdot \left[ \sin (\alpha + \beta)+ \sin (\alpha - \beta)\right]$$

kann obige Gleichung umgeformt werden:

$$w(t ) =

\frac{2\hspace{0.05cm}{\rm V}}{\pi f_2 t}\cdot \left[\sin (5\pi f_2 t) + \sin (-3\pi f_2 t)\right] 
= 10\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{\sin (5\pi f_2 t)}{5\pi f_2 t}-
6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{\sin (3\pi f_2 t)}{3\pi f_2 t}.$$

Damit ist gezeigt, dass beide Signale tatsächlich identisch sind ⇒ Lösungsvorschlag 1:

$$w(t) = 10 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( 5 \pi f_2 t) - 6 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( 3 \pi f_2 t) = d(t).$$