Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.2: Inverse Discrete Fourier Transform"

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[[File:P_ID1138__Sig_A_5_2.png|250px|right|Verwendete Spektralkoeffizienten (Aufgabe A5.2)]]
 
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Bei der Diskreten Fouriertransformation (DFT) werden aus den N Koeffizienten d(ν) – also den Abtastwerten des Zeitsignals x(t) – die N Spektralbereichskoeffizienten D(μ) berechnet. Mit ν = 0, ... , N – 1 und μ = 0, ... , N – 1 gilt:
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Bei der Diskreten Fouriertransformation (DFT) werden aus den N Koeffizienten $d(ν)$ – also den Abtastwerten des Zeitsignals $x(t)$ – die $N$ Spektralbereichskoeffizienten $D(\mu)$ berechnet. Mit $ν$ = 0, ... , $N$ – 1 und $\mu$ = 0, ... , $N$ – 1 gilt:
 
   
 
   
 
$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
 
$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
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  D(\mu) \cdot  {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
 
  D(\mu) \cdot  {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
  
In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen D(μ) – die in obiger Tabelle mit „A”, ... , „E” bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten d(ν) ermittelt werden. Es gilt somit stets N = 8.
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In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen $D(\mu)$ – die in obiger Tabelle mit „A”, ... , „E” bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ ermittelt werden. Es gilt somit stets $N$ = 8.
 
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.2. Diese können Sie sich auch mit folgendem Interaktionsmodul verdeutlichen:
 
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.2. Diese können Sie sich auch mit folgendem Interaktionsmodul verdeutlichen:
 
Diskrete Fouriertransformation
 
Diskrete Fouriertransformation
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie lauten die Zeitkoeffizienten d(ν) für die D(μ)–Werte von Spalte A?
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{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$–Werte von Spalte A?
 
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$D(\mu )$ gemäß A: $d(0) =$ { 1 }
 
$D(\mu )$ gemäß A: $d(0) =$ { 1 }
 
$D(\mu )$ gemäß A: $d(1) =$ { 1 }
 
$D(\mu )$ gemäß A: $d(1) =$ { 1 }
  
{Wie lauten die Zeitkoeffizienten d(ν) für die D(μ)–Werte von Spalte B?
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{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$–Werte von Spalte B?
 
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$D(\mu )$ gemäß B: $d(0) =$ { 1 }
 
$D(\mu )$ gemäß B: $d(0) =$ { 1 }
 
$D(\mu )$ gemäß B: $d(1) =$ { 0.707 3% }
 
$D(\mu )$ gemäß B: $d(1) =$ { 0.707 3% }
  
{Wie lauten die Zeitkoeffizienten d(ν) für die D(μ)–Werte von Spalte C?
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{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$ –Werte von Spalte C?
 
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$D(\mu )$ gemäß C: $d(0) =$ { 1 }
 
$D(\mu )$ gemäß C: $d(0) =$ { 1 }
 
$D(\mu )$ gemäß C: $d(1) =$ { 0 }
 
$D(\mu )$ gemäß C: $d(1) =$ { 0 }
  
{Wie lauten die Zeitkoeffizienten d(ν) für die D(μ)–Werte von Spalte D?
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{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$–Werte von Spalte D?
 
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$D(\mu )$ gemäß D: $d(0) =$ { 1 }
 
$D(\mu )$ gemäß D: $d(0) =$ { 1 }
 
$D(\mu )$ gemäß D: $d(1) =$ { -1 }
 
$D(\mu )$ gemäß D: $d(1) =$ { -1 }
  
{Wie lauten die Zeitkoeffizienten d(ν) für die D(μ)–Wertevon Spalte E?
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{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$–Wertevon Spalte E?
 
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$D(\mu )$ gemäß A: $d(0) =$ { 2 }
 
$D(\mu )$ gemäß A: $d(0) =$ { 2 }
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.''' a)  Aus der IDFT–Gleichung wird mit D(μ) = 0 für μ ≠ 0:
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'''1.''' Aus der IDFT–Gleichung wird mit $D(\mu)$ = 0 für $\mu \approx$ 0:
 
    
 
    
 
$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) =1\hspace{0.5cm}(0 \le \nu \le 7)$$
 
$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) =1\hspace{0.5cm}(0 \le \nu \le 7)$$
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  X(f) = {\delta}(f) \hspace{0.05cm}.$$
 
  X(f) = {\delta}(f) \hspace{0.05cm}.$$
  
b) Alle Spektralkoeffizienten sind 0 mit Ausnahme von D1 = D7 = 0.5. Daraus folgt für 0 ≤ ν ≤ 7:
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'''2.''' Alle Spektralkoeffizienten sind 0 mit Ausnahme von $D_1$ = $D_7$ = 0.5. Daraus folgt für 0 ≤ $ν$ ≤ 7:
 
   
 
   
 
$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu}
 
$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu}
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  X(f) = \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f + f_{\rm A}) + \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f - f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
 
  X(f) = \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f + f_{\rm A}) + \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f - f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
  
wobei fA die kleinste in der DFT darstellbare Frequenz bezeichnet.
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wobei $f_A$ die kleinste in der DFT darstellbare Frequenz bezeichnet.
c) Gegenüber Aufgabe b) ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich 2 · fA anstelle von fA:
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'''3.''' Gegenüber Aufgabe 2) ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich 2 · $f_A$ anstelle von $f_A$:
 
   
 
   
 
$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
 
$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
 
  X(f) = \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
 
  X(f) = \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
  
Damit beschreibt die Folge 〈d(ν)〉 zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für 0 ≤ ν ≤ 7:
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Damit beschreibt die Folge 〈 $d(ν)$〉 zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für 0 ≤ $ν$ ≤ 7:
 
   
 
   
$$d(\nu) & = & 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\\ & \Rightarrow & \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0}
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$$ d(\nu) & = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\\ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
d)  Durch eine weitere Verdoppelung der Cosinusfrequenz auf 4fA kommt man schließlich zur zeitkontinuierlichen Fourierkorrespondenz
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'''4.'''  Durch eine weitere Verdoppelung der Cosinusfrequenz auf 4fA kommt man schließlich zur zeitkontinuierlichen Fourierkorrespondenz
 
   
 
   
 
$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right)
 
$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right)
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Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen. Das heißt: Die Koeffizienten D(4) = 0.5 und D(-4) = 0.5 ergeben zusammen D(4) = 1.
 
Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen. Das heißt: Die Koeffizienten D(4) = 0.5 und D(-4) = 0.5 ergeben zusammen D(4) = 1.
e) Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenfalls linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar. Die Koeffizienten D(μ) aus Spalte E ergeben sich als die Summen der Spalten A und D. Deshalb wird aus der alternierenden Folge 〈d(ν)〉 entsprechend Teilaufgabe d) die um 1 nach oben verschobene Folge:
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'''5.''' Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenfalls linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar. Die Koeffizienten D(μ) aus Spalte E ergeben sich als die Summen der Spalten A und D. Deshalb wird aus der alternierenden Folge 〈d(ν)〉 entsprechend Teilaufgabe d) die um 1 nach oben verschobene Folge:
 
   
 
   
 
$$ \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) =d(3) =d(5) =d(7)  = 0}
 
$$ \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) =d(3) =d(5) =d(7)  = 0}

Revision as of 13:44, 20 April 2016

Verwendete Spektralkoeffizienten (Aufgabe A5.2)

Bei der Diskreten Fouriertransformation (DFT) werden aus den N Koeffizienten $d(ν)$ – also den Abtastwerten des Zeitsignals $x(t)$ – die $N$ Spektralbereichskoeffizienten $D(\mu)$ berechnet. Mit $ν$ = 0, ... , $N$ – 1 und $\mu$ = 0, ... , $N$ – 1 gilt:

$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet w den komplexen Drehfaktor:

$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( {2 \pi}/{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$

Für die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) gilt entsprechend ⇒ „Umkehrfunktion” der DFT:

$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen $D(\mu)$ – die in obiger Tabelle mit „A”, ... , „E” bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ ermittelt werden. Es gilt somit stets $N$ = 8. Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.2. Diese können Sie sich auch mit folgendem Interaktionsmodul verdeutlichen: Diskrete Fouriertransformation


Fragebogen

1

Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$–Werte von Spalte A?

$D(\mu )$ gemäß A: $d(0) =$

$D(\mu )$ gemäß A: $d(1) =$

2

Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$–Werte von Spalte B?

$D(\mu )$ gemäß B: $d(0) =$

$D(\mu )$ gemäß B: $d(1) =$

3

Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$ –Werte von Spalte C?

$D(\mu )$ gemäß C: $d(0) =$

$D(\mu )$ gemäß C: $d(1) =$

4

Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$–Werte von Spalte D?

$D(\mu )$ gemäß D: $d(0) =$

$D(\mu )$ gemäß D: $d(1) =$

5

Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die $D(\mu)$–Wertevon Spalte E?

$D(\mu )$ gemäß A: $d(0) =$

$D(\mu )$ gemäß A: $d(1) =$


Musterlösung

1. Aus der IDFT–Gleichung wird mit $D(\mu)$ = 0 für $\mu \approx$ 0:

$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) =1\hspace{0.5cm}(0 \le \nu \le 7)$$

$$\Rightarrow\hspace{0.5cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = d(1) = 1}.$$

Dieser Parametersatz beschreibt die diskrete Form der Fourierkorrespondenz des Gleichsignals:

$$x(t) = 1 \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {\delta}(f) \hspace{0.05cm}.$$

2. Alle Spektralkoeffizienten sind 0 mit Ausnahme von $D_1$ = $D_7$ = 0.5. Daraus folgt für 0 ≤ $ν$ ≤ 7:

$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} \hspace{0.05cm}.$$

Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:

$$d(\nu) & = & 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{4} \cdot \nu \right)\\ & \Rightarrow & \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707} \hspace{0.05cm}.$$

Es handelt sich also um das zeitdiskrete Äquivalent zu

$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f + f_{\rm A}) + \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f - f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$

wobei $f_A$ die kleinste in der DFT darstellbare Frequenz bezeichnet.

3. Gegenüber Aufgabe 2) ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich 2 · $f_A$ anstelle von $f_A$:

$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$

Damit beschreibt die Folge 〈 $d(ν)$〉 zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für 0 ≤ $ν$ ≤ 7:

$$ d(\nu) & = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\\ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0} \hspace{0.05cm}.$$

4. Durch eine weitere Verdoppelung der Cosinusfrequenz auf 4fA kommt man schließlich zur zeitkontinuierlichen Fourierkorrespondenz

$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right) \hspace{0.05cm}$$

und damit zu den Zeitkoeffizienten

$$d(0) =d(2) =d(4) =d(6) \hspace{0.15 cm}\underline{= +1}, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7) \hspace{0.15 cm}\underline{= -1} \hspace{0.05cm}.$$

Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen. Das heißt: Die Koeffizienten D(4) = 0.5 und D(-4) = 0.5 ergeben zusammen D(4) = 1.

5. Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenfalls linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar. Die Koeffizienten D(μ) aus Spalte E ergeben sich als die Summen der Spalten A und D. Deshalb wird aus der alternierenden Folge 〈d(ν)〉 entsprechend Teilaufgabe d) die um 1 nach oben verschobene Folge:

$$ \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) =d(3) =d(5) =d(7) = 0} \hspace{0.05cm}.$$