Aufgaben:Exercise 2.10: SSB-AM with Channel Distortions

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Transmission spectrum of the analytical signal and channel frequency response

Let us consider the transmission of the source signal

$$q(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t) + 2\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_4 t)$$

over a Gaussian bandpass channel with center frequency  $f_{\rm M} = 48 \ \rm kHz$.  This is different from the carrier frequency  $f_{\rm T} = 50 \ \rm kHz$ used in modulation.  The frequencies  $f_2$  and  $f_4$  stand fro  $f = 2 \ \rm kHz$  und  $f = 4 \ \rm kHz$, respectively.

We will now investigate the following modulation methods with respect to the spectrum  $S_+(f)$  of the analytical signal as shown in the upper graph:

• DSB–AM  $($all four spectral lines at  $46 \ \rm kHz$,  $48 \ \rm kHz$,  $52 \ \rm kHz$  and  $54 \ \rm kHz)$,
• USB–AM  $($only blue spectral lines at  $52 \ \rm kHz$  and  $54 \ \rm kHz)$,
• LSB–AM  $($only green spectral lines at  $46 \ \rm kHz$  and  $48 \ \rm kHz)$.

In each case, a synchronous demodulator is used to first convert the receiver-side carrier signal

$$ z_{\rm E} (t) = \left\{ \begin{array}{c} 2 \cdot z(t) \\ 4 \cdot z(t) \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{bei}} \\ {\rm{with}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\rm ZSB} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm USB, LSB} \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$

by multiplication and then completely suppresses the components by twice the carrier frequency. Thus, with an ideal channel  $H_{\rm K}(f) = 1$ ,  $v(t) = q(t)$  would hold in all cases.

The Gaussian channel considered here is given by the following auxiliary values:

$$ H_{\rm K}(f = 46\ {\rm kHz}) = 0.968,\hspace{0.3cm}H_{\rm K}(f = 48\ {\rm kHz}) = 1.000,\hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f = 52\ {\rm kHz}) = 0.882,\hspace{0.3cm}H_{\rm K}(f = 54\ {\rm kHz}) = 0.754\hspace{0.05cm}.$$

In each case, write the sink signal in the form.

$$v(t) = A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - \tau_2)) + A_4 \cdot \cos(2 \pi f_4 \cdot (t - \tau_4))\hspace{0.05cm}.$$

All calculations are to be carried out for both a perfect phase synchronization  $(Δϕ_{\rm T} = 0)$  as well as for a phase offset of  $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$ .  This is present, for example, if the transmit-side carrier signal is cosine-shaped and the receiver-side carrier is:

$$ z_{\rm E} (t) = A_{\rm E} \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t - 30^\circ) . $$

Hints:

• This exercise belongs to the chapter   Single-Sideband Modulation.
• Reference will also be made to the chapter nbsp; Synchronous Demodulation.

Questions

1

Calculate the amplitudes for   DSB–AM  and  perfect synchronization  $(Δϕ_{\rm T} = 0)$.

$A_2 \ = \ $ $\ \rm V$

$A_4 \ = \ $ $\ \rm V$

2

What aWie lauten die Größen  $A_2$  und  $τ_2$  bei  ZSB–AM  und  Phasenversatz  $(Δϕ_{\rm T} = 30^\circ)$?

$A_2 \ = \ $ $\ \rm V$

$τ_2 \hspace{0.25cm} = \ $ $\ \rm µ s$

3

Berechnen Sie die Amplituden  $A_2$  und  $A_4$  bei  OSB–AM  und  perfekter Synchronisation   $(Δϕ_{\rm T} = 0)$.

$A_2 \ = \ $ $\ \rm V$

$A_4 \ = \ $ $\ \rm V$

4

Geben Sie die Signalsamplituden für  USB–AM  und  perfekte Synchronisation an  $(Δϕ_{\rm T} = 0)$.

$A_2 \ = \ $ $\ \rm V$

$A_4 \ = \ $ $\ \rm V$

5

Wie lauten dagegen die Signalparameter bei  USB–AM  und  Phasenversatz   $(Δϕ_{\rm T} = 30^\circ)$?

$A_2 \ = \ $ $\ \rm V$

$τ_2 \hspace{0.25cm} = \ $ $\ \rm µ s$

$A_4 \ = \ $ $\ \rm V$

$τ_4 \hspace{0.25cm} = \ $ $\ \rm µ s$

6

Welche dieser Aussagen sind nach Ihren Ergebnissen zutreffend?  Hierbei sollen unter „Kanalverzerrungen” stets Dämpfungsverzerrungen verstanden werden.

	Jede Kanalverzerrung führt bei ZSB-AM zu Dämpfungsverzerrungen.
	Jede Kanalverzerrung führt bei ESB–AM zu Phasenverzerrungen.
	Ein Phasenversatz führt bei ZSB–AM zu Dämpfungsverzerrungen.
	Ein Phasenversatz führt bei ESB–AM zu Phasenverzerrungen.

Musterlösung

Solution

(1)  Bei der ZSB–AM sind folgende Dämpfungsfaktoren zu berücksichtigen:

$$\alpha_2 = {1}/{2} \cdot \left[ H_{\rm K}(f = 48\,{\rm kHz}) + H_{\rm K}(f = 52\,{\rm kHz})\right] = 0.981,$$

$$\alpha_4 = {1}{2} \cdot \left[ H_{\rm K}(f = 46\,{\rm kHz}) + H_{\rm K}(f = 54\,{\rm kHz})\right] = 0.861\hspace{0.05cm}.$$

• Damit ergeben sich die Amplituden  $A_2\hspace{0.15cm}\underline{ = 1.882 \ \rm V}$  und  $A_4\hspace{0.15cm}\underline{ = 1.722 \ \rm V}$.

(2)  Bei ZSB führt ein Phasenversatz zwischen den Trägerfrequenzen von Sender und Empfänger nur zu einer für alle Frequenzen gleichen Dämpfung:

$$A_2 = \cos (30^\circ) \cdot 1.882\,{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.630\,{\rm V}},$$

$$A_4 = \cos (30^\circ) \cdot 1.722\,{\rm V} = 1.491\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$

• Die Laufzeiten sind  $τ_2\hspace{0.15cm}\underline {= 0}$  und  $τ_4 = 0$.

(3)  Bei OSB–AM wird der Dämpfungsfaktor  $α_2$  allein von  $H_{\rm K}(f = 52\ \rm kHz)$  bestimmt.

• Da der prinzipielle Amplitudenverlust der OSB um den Faktor  $2$  durch eine größere Trägeramplitude ausgeglichen wird, gilt:

$$A_2 = 0.882 \cdot 2\,{\rm V}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.764\,{\rm V}},$$

$$A_4 = 0.754 \cdot 2\,{\rm V}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.508\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Analog zur Lösung der Teilaufgabe  (3)  erhält man hier:

$$ A_2 = H_{\rm K}(f = 48\,{\rm kHz}) \cdot 2\,{\rm V}\hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}},$$

$$A_4 = H_{\rm K}(f = 46\,{\rm kHz}) \cdot 2\,{\rm V}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.936\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Bei der USB–AM lautet das Empfangssignal:

$$r(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos( \omega_{\rm 48} \cdot t) + 0.968\,{\rm V} \cdot \cos( \omega_{\rm 46} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$

• Durch Multiplikation mit dem empfangsseitigen Trägersignal  $z_{\rm E}(t) = 4 \cdot \cos( \omega_{\rm 50} \cdot t - \Delta \phi_{\rm T})$  erhält man nach Anwendung des trigonometrischen Additionstheorems:

$$v(t) = r(t) \cdot z_{\rm E}(t) = \hspace{0.15cm}\underline { 2.000\,{\rm V}} \cdot \cos( \omega_{\rm 2} \cdot t - \Delta \phi_{\rm T})+\hspace{0.15cm}\underline { 1.936\,{\rm V}} \cdot \cos( \omega_{\rm 4} \cdot t - \Delta \phi_{\rm T}) + {\rm Anteile \hspace{0.15cm}um \hspace{0.15cm}} 2f_{\rm T}\hspace{0.05cm}$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} A_2 \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}},\hspace{0.5cm} A_4 \hspace{0.15cm}\underline {= 1.936\,{\rm V}}.$$

• Unter Berücksichtigung des nachfolgenden Tiefpassfilters kann hierfür auch geschrieben werden:

$$ v(t) = A_2 \cdot \cos( \omega_{\rm 2} \cdot (t - \tau_2))+ A_4 \cdot \cos( \omega_{\rm 4} \cdot (t - \tau_4))\hspace{0.05cm}.$$

• Die Amplituden sind gegenüber Teilaufgabe  (4)  unverändert.  Für die Laufzeiten erhält man mit  $Δϕ_{\rm T} = π/6$:

$$ \tau_2 = \frac {\Delta \phi_{\rm T}}{2 \pi \cdot f_2} = \frac {\pi /6}{2 \pi \cdot 2\,{\rm kHz}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 41.6\,{\rm µ s}},\hspace{0.5cm} \tau_4 = \frac {\Delta \phi_{\rm T}}{2 \pi \cdot f_4}= \frac {\tau_2}{2}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 20.8\,{\rm µ s}} \hspace{0.05cm}.$$

(6)  Richtig sind der erste und der letzte Lösungsvorschlag:

• Auch bei ESB führen Dämpfungsverzerrungen auf dem Kanal ausschließlich zu Dämpfungsverzerrungen bezüglich  $v(t)$.
• Phasenverzerrungen gibt es nur bei einem Demodulator mit Phasenversatz bei eine Einseitenbandmodulation.
• Bei der ZSB–AM hätte ein solcher Phasenversatz keine Verzerrungen zur Folge, sondern nur eine frequenzunabhängige Dämpfung.
• Zu Phasenverzerrungen bezüglich  $v(t)$  kommt es bei ZSB–AM und ESB–AM auch, wenn solche bereits auf dem Kanal auftreten.