Aufgaben:Exercise 3.7: Bit Error Rate (BER)

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To illustrate the bit error rate

We consider a binary transmission system with.

• the source symbol sequence  $\langle q_\nu \rangle $  and
• the sink symbol sequence  $\langle v_\nu \rangle $.

If sink symbol  $v_\nu$  and source symbol  $q_\nu$  do not match, there is a bit error   ⇒   $e_\nu = 1$.

Otherwise  $e_\nu = 0$ holds.

$\rm (A)$  The most important evaluation criterion of such a digital system is

the  Bit Error Probability .

• Mit dem Erwartungswert  ${\rm E}\big[\text{ ...} \big]$  ist diese ist wie folgt definiert:

$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu} \rm )\big]=\rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1). $$

• Der rechte Teil dieser Gleichung beschreibt eine Zeitmittelung; diese muss zum Beispiel bei zeitvarianten Kanälen stets angewandt werden.
• Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit für alle Symbole gleich (was hier vorausgesetzt wird), so kann man die obige Gleichung vereinfachen:

$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\rm E\big[\it e_{\nu} \rm \big].$$

Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine A-priori-Kenngröße, erlaubt also eine Vorhersage für das zu erwartende Resultat.

$\rm (B)$  Dagegen muss zur messtechnischen Ermittlung der Übertragungsqualität oder bei der Systemsimulation auf

die vergleichbare A-posteriori-Kenngröße  Bitfehlerquote  (englisch:   Bit Error Rate)  übergegangen werden:

$$h_{\rm B}=\frac{n_{\rm B}}{N}=\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu}.$$

• $h_{\rm B}$  is a  relative Häufigkeit.  $n_{\rm B}$  indicates the number of bit errors occurred when a total of  $N$  symbols (bits) übtransmitted.

• In the limiting case  $N \to \infty$  the relative frequency  $h_{\rm B}$  coincides with the probability  $p_{\rm B}$ .
• Here now the question shall be clarified, which statistical uncertainty has to be expected with finite  $N$ .

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Gaußverteilte Zufallsgrößen.

• Lösen Sie die Aufgaben so weit wie möglich allgemein.
• Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  und  $N = 10^{5}$.
• Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:

$$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Für  $n_{\rm B}$  sind alle Werte  $(0$, ... , $N)$  gleichwahrscheinlich.
	Die Zufallsgröße  $n_{\rm B}$  ist binomialverteilt.
	Mit  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  und  $N = 10^{5}$  ergibt sich  ${\rm E}\big[n_{\rm B}\big] = 100$.

2

Wie groß ist die Streuung der Zufallsgröße  $n_{\rm B}$  für  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  und  $N = 10^{5}$?

$\sigma_{n{\rm B}} \ = \ $

3

Welche Werte kann die Bitfehlerquote  $h_{\rm B}$  annehmen? 
Zeigen Sie, dass der lineare Mittelwert  $m_{h{\rm B}}$  dieser Zufallsgröße gleich der tatsächlichen Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  ist.  Wie groß ist deren Streuung?

$\sigma_{h{\rm B}} \ = \ $

4

Unter gewissen Voraussetzungen kann eine binomialverteilte Zufallsgröße durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert  $(m_{h{\rm B}})$  und gleicher Streuung  $(\sigma_{h{\rm B}})$  angenähert werden.  Welche Aussage ist zutreffend?

	${\rm Pr}(\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}h_{\rm B} - p_{\rm B}\hspace{0.05cm}| \le \varepsilon)=1- 2\cdot \rm Q({\varepsilon}/{\sigma_{{\it h}{\rm B}}}).$
	${\rm Pr}(\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}h_{\rm B} - p_{\rm B}\hspace{0.05cm}| \le \varepsilon)=1- \rm Q({\varepsilon}/{2\cdot \sigma_{{\it h}{\rm B}}}).$

5

Zur Abkürzung verwenden wir das Konfidenzniveau  $p_\varepsilon = {\rm Pr}(\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}h_{\rm B} - p_{\rm B}\hspace{0.05cm}| \le \varepsilon)$.  Welches  $p_\varepsilon$  ergibt sich mit  $\varepsilon = 10^{-4}$,  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  und  $N = 10^{5}$ ?

$p_\varepsilon \ = \ $

6

Das Argument der Q-Funktion sei  $\alpha$.  Wie groß muss  $\alpha$  mindestens gewählt werden, damit das Konfidenzniveau  $p_\varepsilon = 95\%$  beträgt ?

$\alpha_{\rm min} \ = \ $

7

Es gelte weiterhin  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  und  $p_\varepsilon = 95\%$.   Über wie viele Symbole  $(N_\text{min})$  muss mindestens gemittelt werden,
damit die ermittelte Bitfehlerquote im Bereich zwischen  $0.9 \cdot 10^{-3}$  und  $1.1 \cdot 10^{-3}$  liegt   $(\varepsilon = 10^{-4}, \ \text{10% vom Sollwert)}$ ?

$N_\text{min} \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Die beiden letzten Aussagen stimmen:

• Bezüglich der Zufallsgröße  $n_{\rm B}$  liegt der klassische Fall einer Binomialverteilung vor.
• Es wird die Summe über  $N$  binäre Zufallsgrößen gebildet.
• Die möglichen Werte von  $n_{\rm B}$  liegen somit zwischen  $0$  und  $N$.
• Der lineare Mittelwert ergibt   $m_{n{\rm B}}=p_{\rm B}\cdot N=\rm 10^{-3}\cdot 10^{5}=\rm 100.$

(2)  Für die Streuung der Binomialverteilung gilt mit guter Näherung:

$$\sigma_{n{\rm B}}=\sqrt{N\cdot p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 10}.$$

(3)  Mögliche Werte von  $h_{\rm B}$  sind alle ganzzahligen Vielfachen von  $1/N$.  Diese liegen alle zwischen  $0$  und  $1$.

• Für den Mittelwert erhält man:

$$m_{h{\rm B}}=m_{n{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$

• Die Streuung ergibt sich zu

$$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{ p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.0001}.$$

(4)  Richtig ist der erste Vorschlag. Es gilt:

$${\rm Pr}(h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}),$$

$$\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon {\rm )}=\rm Q(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}{\rm )}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.5cm}\rm Pr(\it |h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon \rm )=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q({\it \varepsilon}/{\it \sigma_{h{\rm B}}}).$$

(5)  Man erhält mit den Zahlenwerten  $\varepsilon = \sigma_{h{\rm B}} = 10^{-4}$:

$$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}} {\rm )}=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$

In Worten:

• Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation über  $10^5$  Symbole,
• so erhält man mit einem Konfidenzniveau von  $\underline{68.4\%}$  einen Wert zwischen  $0.9 \cdot 10^{-3}$  und  $1.1 \cdot 10^{-3}$,
• wenn  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  ist.

(6)  Aus der Beziehung  $p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot {\rm Q}(\alpha) = 0.95$  folgt direkt:

$$\alpha_{\rm min}=\rm Q^{\rm -1}\Big(\frac{\rm 1-\it p_{\varepsilon}}{\rm 2}\Big)=\rm Q^{\rm -1}(\rm 0.025)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.96}\hspace{0.15cm}{\approx\rm 2}.$$

(7)  Es muss  $\alpha = \varepsilon/\sigma_{h{\rm B}}$  gelten.  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (2)  folgt dann:

$$\frac{\varepsilon}{\sqrt{p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})/N}}\ge {\rm 2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 400\hspace{0.08cm}000}.$$