Aufgaben:Exercise 3.3: Moments for Cosine-square PDF

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Cosine–Rectangular PDF
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As in  Exercise 3.1  and  Exercise 3. 2  we consider the random variable restricted to the range of values from  $-2$  to  $+2$  with the following PDF in this section:

$$f_x(x)= {1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot { x}).$$

Next to this, we consider a second random variable  $y$ that returns only values between  $0$  and  $2$  with the following PDF:

$$f_y(y)=\sin^2({\pi}/{2}\cdot y).$$

• Both density functions are shown in the graph.
• Outside the ranges  $-2 < x < +2$  resp.  $0 < x < +2$  respectively  $f_x(x) = 0$  resp.  $f_y(y) = 0$ holds.
• Both random magnitudesö&ahead;can be taken as (normalized) instantaneous values of the associated random signals  $x(t)$  or  $y(t)$  respectively.

Hints:

• This exercise belongs to the chapter  expected values and moments.

• To solve this problem, you can use the following indefinite integral:

$$\int x^{2}\cdot {\cos}(ax)\,{\rm d}x=\frac{2 x}{ a^{ 2}}\cdot \cos(ax)+ \left [\frac{x^{\rm 2}}{\it a} - \frac{\rm 2}{\it a^{\rm 3}} \right ]\cdot \rm sin(\it ax \rm ) .$$

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen bei jeder beliebigen WDF  $f_x(x)$  zu?
Verwendet sind folgende Größen:   linearer Mittelwert  $m_1$,  quadratischer Mittelwert  $m_2$,  Varianz  $\sigma^2$.

	$m_2 = 0$,   falls   $m_1 \ne 0$.
	$m_2 = 0$,   falls   $m_1 = 0$.
	$m_1 = 0$,   falls   $m_2 = 0$.
	$m_2 > \sigma^2$,   falls   $m_1 \ne 0$.
	$m_1 = 0$,   falls   $f_x(-x) = f_x(x)$.
	$f_x(-x) = f_x(x)$,   falls   $m_1 = 0$.

2

Wie groß ist der Gleichanteil (lineare Mittelwert) des Signals  $x(t)$?

$m_x \ = \ $

3

Wie groß ist der Effektivwert des Signals  $x(t)$?

$\sigma_x \ = \ $

4

Die Zufallsgröße  $y$  lässt sich aus  $x$  ableiten. Welche Zuordnung gilt?

	$y = 1+x/2.$
	$y = 2x.$
	$y = x/2-1.$

5

Wie groß ist der Gleichanteil des Signals  $y(t)$?

$m_y\ = \ $

6

Wie groß ist der Effektivwert des Signals  $y(t)$?

$\sigma_y\ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Unter allen Umständen richtig sind die Aussagen 3, 4 und 5:

• Die erste Aussage ist nie erfüllt, wie aus dem  Satz von Steiner  ersichtlich ist.
• Die zweite Aussage gilt nur im (trivialen) Sonderfall  $x = 0$.

Es gibt aber auch mittelwertfreie Zufallsgrößen mit unsymmetrischer WDF.

• Das bedeutet:  Die Aussage 6 trifft nicht immer zu.

(2)  Aufgrund der WDF-Symmetrie bezüglich  $x = 0$  ergibt sich für den linearen Mittelwert  $m_x \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$.

(3)  Der Effektivwert des Signals  $x(t)$  ist gleich der Streuung  $\sigma_x$  bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz  $\sigma_x^2$.

• Da die Zufallsgröße  $x$  den Mittelwert  $m_x {= 0}$  aufweist, ist die Varianz nach dem Satz von Steiner gleich dem quadratischen Mittelwert.
• Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung  $($bezogen auf  $1 \ \rm \Omega)$  bezeichnet. Somit gilt:

$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2} x^2/2 \cdot \cos^2({\pi}/4\cdot\it x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$

• Mit der Beziehung  $\cos^2(\alpha) = 0.5 \cdot \big[1 + \cos(2\alpha)\big]$  folgt daraus:

$$\sigma_x^2=\int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{\rm 2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x + \int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{2}\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot\it x) \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$

• Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen. Man erhält mit  $a = \pi/2$:

$$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6} + \frac{x}{a^2}\cdot {\cos}(a x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac{1}{a^3} \right) \cdot \sin(a \cdot x)\right]_{x=0}^{x=2} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$

(4)  Richtig ist der erstgenannte Vorschlag:

• Die Variante  $y = 2x$  würde eine zwischen  $-4$  und  $+4$  verteilte Zufallsgröße liefern.
• Beim letzten Vorschlag  $y = x/2-1$  wäre der Mittelwert  $m_y = -1$.

(5)  Aus der Grafik auf dem Angabenblatt ist bereits offensichtlich, dass  $m_y \hspace{0.15cm}\underline{=+1}$  gelten muss.

(6)  Der Mittelwert ändert nichts an der Varianz und an der Streuung.

• Durch die Stauchung um den Faktor  $2$  wird die Streuung gegenüber Teilaufgabe  (3)  ebenfalls um diesen Faktor kleiner:

$$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$