Aufgaben:Exercise 1.3: Calculating with Complex Numbers

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A1.3 Rechnen mit komplexen Zahlen

Nebenstehende Grafik zeigt einige Punkte in der komplexen Ebene, nämlich

[math]\displaystyle{ z_1=e^{-j45^{\circ}} }[/math],

[math]\displaystyle{ z_2=2 \cdot e^{j135^{\circ}} }[/math],

[math]\displaystyle{ z_3=-j }[/math].

Im Verlauf dieser Aufgabe werden noch folgende komplexe Größen betrachtet: $$z_4 = z_2^2 + z_3^2, \\ z_5 = \frac{1}{z_2}, \\ z_6 = \sqrt{z_3}, \\ z_7 = e^{z_2}, \\ z_8 = e^{z_2}+e^{z_2^{\ast}}. $$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 1.3. Die Thematik wird auch in folgendem Lernvideo behandelt: Rechnen mit komplexen Zahlen (Dauer 11:52)

Fragebogen zu "A1.3 Rechnen mit komplexen Zahlen"

1 Welche der folgenden Gleichungen sind zutreffend?

	[math]\displaystyle{ 2 \cdot z_1 + z_2 =0 }[/math]
	[math]\displaystyle{ z_1^{\ast} \cdot z_2 +2=0 }[/math]
	[math]\displaystyle{ (z_1/z_2) \cdot z_3 }[/math] ist rein reell.

2 Welchen Wert besitzt die Zufallsgröße [math]\displaystyle{ z_4 = z_2^2 + z_3^2 = x_4 + j \cdot y_4 }[/math]?

[math]\displaystyle{ x_4 = }[/math]

[math]\displaystyle{ y_4 = }[/math]

3 Berechnen Sie die komplexe Größe [math]\displaystyle{ z_5 = \frac{1}{z_2} = x_5 + j \cdot y_5 }[/math].

[math]\displaystyle{ x_4 = }[/math]

[math]\displaystyle{ y_4 = }[/math]

4 [math]\displaystyle{ z_6 }[/math] hat als Quadratwurzel von [math]\displaystyle{ z_3 }[/math] zwei Lösungen; beide mit dem Betrag [math]\displaystyle{ |z_6| = 1 }[/math]. Geben Sie die beiden möglichen Phasenwinkel von [math]\displaystyle{ z_6 }[/math] an.

[math]\displaystyle{ \phi_6 }[/math] (zwischen 0 Grad und 180 Grad) =

[math]\displaystyle{ \phi_6 }[/math] (zwischen -180 Grad und 0 Grad) =

5 Berechnen Sie [math]\displaystyle{ z_7 = e^{z_2} = x_7 + j \cdot y_7 }[/math].

[math]\displaystyle{ x_7 = }[/math]

[math]\displaystyle{ y_7 = }[/math]

6 Geben Sie die komplexe Größe [math]\displaystyle{ z_8 = e^{z_2} + e^{z_2^{\ast}} = x_8 + j \cdot y_8 }[/math].

[math]\displaystyle{ x_8 = }[/math]

[math]\displaystyle{ y_8 = }[/math]

Musterlösung zu "A1.3 Rechnen mit komplexen Zahlen"

Solution

1. Entsprechend den Angaben gilt mit dem Satz von Euler:

[math]\displaystyle{ 2 \cdot z_1 + z_2 = 2 \cdot cos(45^{\circ}) - 2j \cdot sin(45^{\circ}) - 2 \cdot cos(45^{\circ}) + 2j \cdot sin(45^{\circ}) = 0 }[/math].

Der zweite Vorschlag ist ebenfalls richtig, da

[math]\displaystyle{ z_1^{\ast} \cdot z_2 = 1 \cdot e^{j45^{\circ} \cdot 2 \cdot e^{j135^{\circ}}=-2} }[/math].

Dagegen ist der dritte Vorschlag falsch. Die Division von [math]\displaystyle{ z_1 }[/math] und [math]\displaystyle{ z_2 }[/math] liefert:

[math]\displaystyle{ \frac{z_1}{z_2}=\frac{e^{-j45^{\circ}}}{2 \cdot e^{j135^{\circ}}} = 0.5 \cdot e^{-j180^{\circ}} = -0.5 }[/math].

Die Multiplikation mit [math]\displaystyle{ z_3 = -j }[/math] führt zum Ergebnis j/2, also zu einer rein imaginären Größe. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 2.

2. Das Quadrat von [math]\displaystyle{ z_2 }[/math] hat den Betrag <math|z_2|^{2}</math> und die Phase [math]\displaystyle{ 2 \cdot \phi_2 }[/math]:

[math]\displaystyle{ z_2^2 = 2^2 \cdot e^{j270^{\circ}} = 4 \cdot e^{-j90^{\circ}} = -4j }[/math]

Entsprechend gilt für das Quadrat von [math]\displaystyle{ z_3 }[/math]:

[math]\displaystyle{ z_3^2=(-j)^2 = -1 }[/math]. Somit ist x4 = –1 und y4 = –4.

3. Durch Anwendung der Divisionsregel erhält man:

[math]\displaystyle{ z_5 = \frac{1}{z_2} = \frac{1}{2 \cdot e^{j135^{\circ}}} = o.5 \cdot e^{-j135^{\circ}} = 0.5 \cdot (cos(-135^{\circ}) + j \cdot sin(-135^{\circ})) }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow x_5 = y_5 = - \frac{\sqrt{2}}{4}= -0.354 }[/math].

4. Die angegeben Beziehung für [math]\displaystyle{ z_6 }[/math] kann wie folgt umgeformt werden:

[math]\displaystyle{ z_6^2 = z_3 = e^{-90^{\circ}} }[/math].

Man erkennt, dass es zwei Möglichkeiten für [math]\displaystyle{ z_6 }[/math] gibt, die diese Gleichung erfüllen:

[math]\displaystyle{ z_6(1.Loesung) = \frac{z_2}{2}= 1 \cdot e^{j135^{\circ}} \Rightarrow \phi_6 = 135^{\circ} }[/math]

[math]\displaystyle{ z_6(2.Loesung) = z_1= 1 \cdot e^{-j45^{\circ}} \Rightarrow \phi_6 = -45^{\circ} }[/math].

5. Die komplexe Größe [math]\displaystyle{ z_2 }[/math] lautet in Realteil/imaginärteildarstellung:

[math]\displaystyle{ z_2 = x_2 + j \cdot y_2 = -\sqrt{2} + j \cdot \sqrt{2} }[/math].

Damit ergibt sich für die komplexe Exponentialfunktion:

[math]\displaystyle{ z_7 = e^{-\sqrt{2}+j \cdot \sqrt{2}} = e^{-\sqrt{2}} \cdot (cos(\sqrt{2} + j \cdot sin(\sqrt{2}) }[/math].

Mit

[math]\displaystyle{ e^{-\sqrt{2}} = 0.243, \quad cos(\sqrt{2}) = 0.156, \quad sin(\sqrt{2}) = 0.988 }[/math]

erhält man somit:

[math]\displaystyle{ z_7 = 0.243 \cdot (0.156 + j \cdot 0.988) = 0.038 + j \cdot 0.24 }[/math].

6. Ausgehend vom Ergebnis 4. erhält man für [math]\displaystyle{ z_8 }[/math]:

[math]\displaystyle{ z_8 = e^{-\sqrt{2}} \cdot (cos(\sqrt{2}) + j \cdot sin(\sqrt{2}) + cos(\sqrt{2}) - j \cdot (\sqrt{2})) }[/math]

[math]\displaystyle{ 2 \cdot e^{-\sqrt{2}} \cdot cos(\sqrt{2}) = 2 \cdot x_7 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Rightarrow x_8 = 0.076, \quad y_8 =0 }[/math].