Aufgaben:Exercise 4.13Z: AMI Code

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ACF at AMI coding

For spectral adaptation (shaping) of a digital signal to the characteristics of the channel, one uses so-called  pseudo-ternary codes.  In these codes, the binary source symbol sequence  $\langle q_\nu \rangle$  is converted to a sequence  $\langle c_\nu \rangle$  of ternary symbols according to a fixed rule:

$$q_{\nu} \in \{ -1,\hspace{0.1cm} +1 \} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_{\nu} \in \{ -1, \hspace{0.1cm}0, \hspace{0.1cm}+1 \} .$$

The best known representative of this code class is the AMI code (from Alternate Mark Inversion).  Here.

• the binary value  $q_\nu = -1$  is always mapped to  $c_\nu = 0$ ,
• while  $q_\nu = +1$  is alternately represented by the ternary values  $c_\nu = +1$  and  $c_\nu = -1$ .

By convention, the ternary symbol  $c_\nu = +1$  shall be selected at the first occurrence of  $q_\nu = +1$ .

It is further assumed that

• the two possible source symbols are each equally probable and
• the source symbol sequence  $\langle q_\nu \rangle $ has no internal statistical bindings.

Thus, all discrete ACF values are zero except  $\varphi_q(k=0)$:

$$\varphi_q ( k \cdot T) = 0 \hspace{0.5cm} {\rm f alls} \hspace{0.5cm} k \not= 0.$$

Here  $T$  denotes the distance between sources– or code symbols.  Use the value  $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm µ s$.

The figure shows the given auto-correlation functions.  Please note:

• In red are respectively the discrete-time representations  ${\rm A} \{ \varphi_q(\tau) \}$  and  ${\rm A} \{ \varphi_c(\tau) \}$  of the auto-correlation functions, each with the reference value  $T$.
• The functions shown in blue indicate the continuous-time progressions  $\varphi_q(\tau)$  and  $\varphi_c(\tau)$  of the ACF, assuming square-wave pulses.

Hints:

• This exercise belongs to the chapter  Power-Spectral Density.
• Reference is also made to the chapter  Auto-Correlation Function  as well as to the page  Numerical PSD determination.

• Benutzen Sie die folgende Fourierkorrespondenz, wobei  ${\rm \Delta} (t)$  einen um  $t = 0$  symmetrischen Dreieckimpuls mit  ${\rm \Delta} (t= 0) = 1$  und  ${\rm \Delta} (t) = 0$  für  $|t| \ge T$  bezeichnet:

$${\rm \Delta} (t) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T).$$

Questions

1

What is the discrete ACF–value of the source symbols for  $k = 0$?

$\varphi_q(k=0) \ = \ $

2

Which statements are valid for the PSD–functions  ${\it \Phi}_q(f)$  and  ${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$?

	${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$  is a constant for all frequencies.
	${\it \Phi}_q(f)$  is constant for  $|f \cdot T| < 0.5$  and outside zero.
	${\it \Phi}_q(f)$  proceeds  $\rm si^2$-shaped.

3

The source symbol sequence is  $\langle q_\nu \rangle = \langle +1, -1, +1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, -1 \rangle$.
What are the code symbols  $c_\nu$ ? Enter the code symbol  $c_6$ .

$c_6 \ = \ $

4

What is the discrete ACF–value of the code symbols for  $k = 0$.

$\varphi_c(k=0) \ = \ $

5

Calculate the ACF values  $\varphi_c(k=+1)$  and  $\varphi_c(k=-1)$.

$\varphi_c(k=+1) \ = \ $

$\varphi_c(k=-1) \ = \ $

6

What power spectral density  ${\it \Phi}_c(f)$  results for frequency $f=0$ or for $f = 500 \hspace{0.08cm} \rm kHz$.   Note:   For  $|k| \ge 2$  all ACF–values  $\varphi_c(k) are \equiv 0$.

${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $ $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$

${\it \Phi}_c(f = 500 \hspace{0.08cm} \rm kHz)\ = \ $ $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$

$c_6 \ = \ $

Solution

Solution

(1)  Der diskrete AKF-Wert für  $k = 0$  gibt den quadratischen Mittelwert (hier gleich der Varianz) der Quellensymbole an.

• Da  $q_\nu$  nur die Werte  $-1$  und  $+1$  annehmen kann, ist  $\varphi_q(k=0)\hspace{0.15cm}\underline{= 1}$.

(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

• Die zeitdiskrete AKF und deren Fouriertransformierte lauten:

$${\rm A} \{ \varphi_q ( \tau ) \} = \varphi_q ( k = 0) \cdot T \cdot \delta (\tau) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{\it \Phi_q}( f) \} = \varphi_q ( k = 0) \cdot T = T.$$

• Es ist berücksichtigt, dass  $\varphi_q(k=0)= \sigma_q^2= 1$  ist.  Das bedeutet:  

Die periodische Fortsetzung von  ${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$  ergibt somit für alle Frequenzen den gleichen Wert.

• Dagegen kann die zeitkontinuierliche AKF wie folgt dargestellt werden:  

$$ \varphi_q ( \tau ) = {\rm A} \{ \varphi_q ( \tau ) \} \star ( {\rm \Delta} ( \tau) / T ).$$

• Das dazugehörige Leistungsdichtespektrum (Fouriertransformierte der AKF) ist dann das Produkt der Fouriertransformierten der beiden Faltungsterme:  

$$ {\it \Phi_q} ( f) = {\rm P} \{ {\it \Phi_q}( f) \} \cdot {\rm si}^2 (\pi f T ) = T \cdot {\rm si}^2 (\pi f T ) .$$

• Aufgrund der gewählten AKF-Interpolation (mit Geradenabschnitten) aus ihren Abtastwerten ergibt sich ein  $\rm si^2$-förmiges LDS.
• Ein rechteckförmiges Spektrum gemäß Lösungsvorschlag  (2)  würde sich nur bei  $\rm si$-förmiger Interpolation einstellen.

(3)  Die codierte Folge lautet:   $\langle +1, \ 0, -1, +1, \ 0, -1, +1, \ 0, \ 0, \ 0 \rangle$.  Das 6. Symbol ist somit  $c_6\hspace{0.15cm}\underline{= -1}$.

(4)  Die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Werte  $-1$ , $\ 0$  und $+1$  sind  $0.25, 0.5, 0.25$.  Daraus folgt:

$$\varphi_c ( k = 0) = 0.25 \cdot (-1)^2 + 0.5 \cdot 0^2 +0.25 \cdot (+1)^2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}. $$

(5)  Für den AKF-Wert bei  $k = 1$  betrachtet man das Produkt  $c_{\nu} \cdot c_{\nu+1}$.  Es ergeben sich die rechts gezeigten Kombinationen.

• Einen Beitrag liefern nur Produkte  $c_{\nu} \cdot c_{\nu+1} \ne 0$  mit  ${\rm Pr}\big[c_{\nu} \cdot c_{\nu+1}\big] \ne 0$:

$$\varphi_c ( k = 1) = {\rm Pr} \big [( c_{\nu} = +1) \cap ( c_{\nu + 1} = -1) \big ] \cdot (+1) \cdot (-1) + {\rm Pr} \big [ ( c_{\nu} = -1) \cap ( c_{\nu + 1} = +1) \big ] \cdot (-1) \cdot (+1).$$

Zur AKF-Berechnung des AMI-Codes

• In der Tabelle sind diese Terme rot gekennzeichnet. Weiter gilt:

$$ {\rm Pr} \big [ ( c_{\nu} = +1) \cap ( c_{\nu + 1} = -1) \big ] = $$

$$ = {\rm Pr} ( c_{\nu} = +1) \cdot {\rm Pr} \left ( c_{\nu + 1} = -1 | c_{\nu } = +1) \right ) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{8} . $$

Hierbei ist vorausgesetzt, dass  $+1$  mit der Wahrscheinlichkeit  $0.25$  auftritt und danach  $-1$  nur in der Hälfte der Fälle folgt.

• Das gleiche Ergebnis erhält man für den zweiten Beitrag. Damit gilt:

$$\varphi_c ( k = 1) = \frac {1}{8} \cdot (+1)\cdot (-1) + \frac {1}{8} \cdot (-1)\cdot (+1) \hspace{0.15cm}\underline{= -0.25}.$$

$$\varphi_c ( k = -1) = \varphi_c ( k = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= -0.25}.$$

• Zur Berechnung von  $\varphi_c ( k = 2)$  muss über  $3^3 = 27$  Kombinationen gemittelt werden. Das Ergebnis ist Null.

(6)  Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF  ${\rm A} \{ \varphi_c(\tau) \}$  lautet:

$$P \{{\it \Phi_c}( f) \} = T\cdot \varphi_c ( k = 0) +2T \cdot \varphi_c ( k = 1) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T ).$$

• Mit dem Ergebnis der letzten Teilaufgabe folgt daraus:

$$P \{{\it \Phi}_c( f) \} = \frac {T}{2} (1 - {\rm cos} ( 2 \pi f T ) )= T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ).$$

• Wie unter Punkt  (2) gezeigt, gilt dann für das LDS – also die Fouriertransformierte von  $\varphi_c(\tau)$:

$${\it \Phi_c}( f) = T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ) \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T ) = T \cdot \frac {{\rm sin}^4 ( \pi f T )}{( \pi f T )^2 } .$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Phi_c}( f = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}, \hspace{0.8cm} {\it \Phi_c}( f = {\rm500 \hspace{0.1cm}kHz}) = T \cdot \frac {{\rm sin}^4 ( \pi /2 )}{( \pi /2 )^2 } = \frac {4 T}{\pi^2} \rm \hspace{0.15cm}\underline{= 0.405 \cdot 10^{-6} \ {1}/{Hz}}.$$