Aufgaben:Exercise 4.9: Costas Rule Loop

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Costas–Regelschleife

Eine wichtige Voraussetzung für kohärente Demodulation ist die phasenrichtige Trägerrückgewinnung.  Eine Möglichkeit hierfür bietet die so genannte  Costas–Regelschleife, die vereinfacht durch das nebenstehende Blockschaltbild dargestellt ist.

Das Empfangssignal kann bei der binären Phasenmodulation  (BPSK) als

$$ r(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi)$$

geschrieben werden.  Die Phasendrehung  $ϕ$  auf dem Übertragungskanal wird dabei stets als unbekannt angenommen.  Die Angabe  „±”  beschreibt die Phasensprünge des BPSK–Signals.

Aufgabe der durch die Grafik angegebenen Schaltung ist es, ein Trägersignal

$$z(t) = \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta)$$

zu generieren, wobei der Phasenfehler  $\phi - θ$  zwischen dem BPSK–Empfangssignal  $r(t)$  und der am Empfänger generierten Schwingung  $z(t)$  ausgeregelt werden muss.

• Hierzu wird mit einem regelbaren Oszillator  $($VCO,  Voltage Controlled Oscillator$)$  eine Schwingung der Frequenz  $f_{\rm T}$  erzeugt, zunächst mit beliebiger Phase  $θ$.
• Durch die Costas–Regelschleife wird jedoch iterativ das Wunschergebnis  $θ = \phi$  erreicht.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Lineare digitale Modulation.

• In der Grafik bezeichnet „TP” Tiefpässe, die als ideal angenommen werden.
• Das mit  $π/2$  beschriftete Quadrat kennzeichnet eine Phasendrehung um  $π/2 \ (90^\circ)$, so dass beispielsweise aus einem Cosinus–Signal ein Minus–Sinus–Signal wird:

$$\cos (\omega_{\rm 0} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\cos (\omega_{\rm 0} \cdot t + 90^\circ) = -\sin (\omega_{\rm 0} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$

• Weiter gelten folgende trigonometrischen Beziehungen:

$$\cos (\alpha) \cdot \cos (\beta) = {1} /{2} \cdot \big [ \cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)\big]\hspace{0.05cm},$$

$$\sin (\alpha) \cdot \cos (\beta) = {1} /{2} \cdot \big [ \sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)\big]\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Berechnen Sie das Signal  $y_1(t)$  nach dem Tiefpass im oberen Zweig.  Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

	$y_1(t) = ± s_0/2 · \big[\cos (\phi - θ) + \cos (4 π · f_{\rm T} · t +\phi + θ)\big],$
	$y_1(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ),$
	$y_1(t) = ± s_0/2 · \sin (\phi - θ).$

2

Berechnen Sie das Signal  $y_2(t)$  nach dem Tiefpass im unteren Zweig.  Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

	$y_2(t) = ± s_0/2 · \big[\cos (\phi - θ) + \cos (4 π · f_{\rm T} · t +\phi + θ)\big],$
	$y_2(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ),$
	$y_2(t) = ± s_0/2 · \sin (\phi - θ).$

3

Berechnen Sie das Regelsignal  $x(t)$  und geben Sie eine Näherung für kleine Phasenabweichung  $\phi - θ$  an.  Welche Gleichungen sind richtig?

	$x(t) = s_0^2/8 · \cos(\phi + θ)$,
	$x(t) = s_0^2/8 · \sin(2 \phi - 2θ),$
	$x(t) ≈ s_0^2/4 · (\phi - θ),$
	$x(t) ≈ s_0^2/4 · (\phi - θ)^2.$

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:

• Mit dem Additionstheorem der Trigonometrie erhält man:

$$ m_1(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) = \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \cos ( \phi - \theta) + \cos (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right]\hspace{0.05cm}.$$

• Nach dem Tiefpass verbleibt nur der Gleichanteil  $y_1(t) = ± s_0/2 · \cos (\phi - θ).$

(2)  Richtig ist hier der letzte Lösungsvorschlag:

• Analog zu Teilaufgabe  (1)  ergibt sich für das Eingangssignal des unteren Tiefpasses:

$$ m_2(t) = \pm s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi) \cdot \left [-\sin (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \theta) \right]= \pm \frac{s_0}{2} \cdot \left [ \sin ( \phi - \theta) + \sin (4 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi +\theta)\right].$$

• Dies führt zu folgendem Ausgangssignal:

$$ y_2(t) = \pm {s_0}/{2} \cdot\sin ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Durch Multiplikation von  $y_1(t)$  und  $y_2(t)$  erhält man:

$$x(t) = y_1(t) \cdot y_2(t)= \frac{s_0^2}{4} \cdot \cos ( \phi - \theta) \cdot \sin ( \phi - \theta) = \frac{s_0^2}{8} \cdot \sin ( 2\cdot\phi - 2\cdot\theta) \hspace{0.05cm}.$$

• Mit der Kleinwinkelnäherung  $\sin(α) ≈ α$  folgt daraus:

$$x(t) \approx \frac{s_0^2}{4} \cdot ( \phi - \theta) \hspace{0.05cm}.$$

• Das Regelsignal  $x(t)$  ist also proportional zum Phasenfehler  $\phi - θ$, der mit der Costas–Regelschleife zu Null geregelt wird. 
• Im eingeschwungenen Zustand folgt somit das Oszillatorsignal  $z(t)$  unmittelbar dem Empfangssignal  $r(t)$.
• Um die erforderliche Startbedingung  $θ ≈ \phi$  zu erreichen, wird meist zunächst eine Trainigssequenz übertragen und die Phase entsprechend initialisiert.
• Dies auch, weil die Phase nur modulo  $π$  ausgeregelt wird, so dass beispielsweise  $\phi - θ = π$  fälschlicherweise zum Regelsignal  $x(t) = 0$  führen würde.