Linear and Time Invariant Systems/Classification of the Distortions

1. Linear and Time Invariant Systems
2. Signalverzerrungen und Entzerrung
3. Classification of the Distortions

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Voraussetzungen für Kapitel 2

Wir betrachten im Folgenden ein System, an dessen Eingang das Signal $x(t)$ mit zugehörigem Spektrum $X(f)$ anliegt. Das Ausgangssignal bezeichnen wir mit $y(t)$ und dessen Spektrum mit $Y(f).$

Der mit „System” bezeichnete Block kann ein Teil einer elektrischen Schaltung sein oder ein komplettes Übertragungssystem, bestehend aus Sender, Kanal und Empfänger.

Für das gesamte Kapitel 2 soll gelten:

• Das System sei zeitinvariant. Führt das Eingangssignal $x(t)$ zum Signal $y(t)$, so wird ein späteres Eingangssignal gleicher Form, nämlich $x(t – t_0)$, das Signal $y(t – t_0)$ zur Folge haben.
• Es werden keine Rauschprozesse betrachtet, die bei realen Systemen stets vorhanden sind. Zur Beschreibung dieser Phänomene wird auf das Buch „Stochastische Signaltheorie” verwiesen.
• Es werden keine Detailkenntnisse über das System vorausgesetzt. Alle Systemeigenschaften werden im Folgenden allein aus den Signalen $x(t)$ und $y(t)$ bzw. deren Spektren abgeleitet.
• Insbesondere seien vorerst keine Festlegungen hinsichtlich der Linearität gegeben. Das „System” kann linear (Voraussetzung für die Anwendung des Superpositionsprinzips) oder nichtlinear sein.
• Aus einem einzigen Testsignal $x(t)$ und dessen Antwort $y(t)$ sind nicht alle Systemeigenschaften erkennbar. Daher müssen ausreichend viele Testsignale zur Bewertung herangezogen werden.

Nachfolgend werden wir solche Systeme näher klassifizieren.

Ideales und verzerrungsfreies System

Definition: Man spricht immer dann von einem idealen System, wenn das Ausgangssignal $y(t)$ exakt gleich dem Eingangssignal $x(t)$ ist: $$y(t) = x(t)$$

Anzumerken ist, dass es ein solches ideales System in der Realität nicht gibt, auch wenn man die stets existenten, in diesem Buch aber nicht betrachteten statistischen Störungen und Rauschvorgänge außer Acht lässt. Ein jedes Übertragungsmedium weist Verluste (Dämpfungen) und Laufzeiten auf. Selbst wenn diese physikalischen Phänomene sehr klein sind, so sind sie jedoch niemals 0. Deshalb ist es notwendig, ein etwas weniger strenges Qualitätsmerkmal einzuführen.

Definition: Ein verzerrungsfreies System liegt vor, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: $$y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau).$$ Hierbei beschreibt $α$ den Dämpfungsfaktor und $τ$ die Laufzeit.

Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so spricht man von einem verzerrenden System.

Beispiel: Die folgende Grafik zeigt das Eingangssignal $x(t)$ und das Ausgangssignal $y(t)$ eines zwar nicht idealen, aber verzerrungsfreien Systems. Die Systemparameter sind $α$ = 0.8 und $τ$ = 0.25 ms.

Der Dämpfungsfaktor $α$ kann durch eine empfängerseitige Verstärkung um 1/ $α$ vollständig rückgängig gemacht werden, doch ist zu berücksichtigen, dass damit auch etwaiges Rauschen angehoben wird.

Dagegen kann die Laufzeit $τ$ aus Kausalitätsgründen nicht kompensiert werden. Es hängt nun von der Anwendung ab, ob eine solche Laufzeit subjektiv als störend empfunden wird. Beispielsweise wird man selbst bei einer Laufzeit von einer Sekunde die (unidirektionale) TV–Übertragung einer Veranstaltung noch immer als „live” bezeichnen. Dagegen werden bei einer bidirektionalen Kommunikation – zum Beispiel bei einem Telefonat – schon Laufzeiten von 300 Millisekunden als sehr störend empfunden. Man wartet entweder auf die Reaktion des Gesprächspartners oder beide Teilnehmer fallen sich ins Wort.