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| − | |Untermenü=Beschreibung kausaler realisierbarer Systeme
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| − | ==Ersatzschaltbild eines kurzen Leitungsabschnitts (1)==
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| − | Zur Herleitung der Leitungsgleichungen wird zunächst ein sehr kurzer Leitungsabschnitt der Länge $dx$ betrachtet, so dass sich die Werte für Spannung und Strom am Leitungsanfang $(U$ bzw. $I$ bei $x)$ und am Leitungsende $(U + dU$ sowie $I + dI$ bei $x + dx)$ nur geringfügig unterscheiden. Die Grafik zeigt das zugrundeliegende Modell.
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| − | [[File:P_ID1792__LZI_T_4_1_S1_neu.png | Ersatzschaltbild eines kurzen Leitungsabschnitts]]
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| − | Anders ausgedrückt: Die Leitungslänge $dx$ sei sehr klein gegenüber der Wellenlänge der sich entlang der Leitung ausbreitenden elektromagnetischen Welle, die sich ergibt, da
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| − | *mit dem Strom ein magnetisches Feld verbunden ist,
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| − | *die Spannung zwischen den Leitern ein elektrisches Feld bewirkt.
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| − | Alle infinitesimalen „Bauelemente” im oben skizzierten Ersatzschaltbild sind bei homogenen Leitungen ortsunabhängig:
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| − | *Die Induktivität des betrachteten Leitungsabschnitts beträgt $L' · dx$, wobei man die auf die Länge $dx$ bezogene Größe als '''Induktivitätsbelag''' bezeichnet.
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| − | *Ebenso ist der '''Kapazitätsbelag''' $C'$ eine infinitesimal kleine Größe, der ebenso wie $L'$ nur relativ wenig von der Frequenz abhängt.
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| − | *Der '''Ableitungsbelag''' $G'$ berücksichtigt die Verluste des Dielektrikums zwischen den Drähten. Er nimmt etwa proportional mit der Frequenz zu.
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| − | *Den weitaus größten Einfluss auf die Signalübertragung hat der Widerstandsbelag $R'$, der für hohe Frequenzen aufgrund des dann dominanten Skineffekts nahezu proportional mit der Wurzel der Frequenz ansteigt.
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| − | ==Ersatzschaltbild eines kurzen Leitungsabschnitts (2)==
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| − | Aus den Maschen– und Knotengleichungen des Leitungsabschnitts ergeben sich mit $ω = 2πf$ die beiden Differenzengleichungen
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| − | $$ \begin{align*} U & = I \cdot (R' + {\rm j} \cdot \omega L') \cdot {\rm d}x + (U + {\rm d}U)\hspace{0.05cm},\\ I & = (U + {\rm d}U) \cdot (G' + {\rm j} \cdot \omega C') \cdot {\rm d}x + (I + {\rm d}I)\hspace{0.05cm} \end{align*}$$.
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| − | Für einen sehr kurzen Leitungsabschnitt (infinitesimal kleines $dx$) und bei Vernachlässigung der kleinen Größen zweiter Ordnung (zum Beispiel $dU · dx$) kann man nun zwei Differentialquotienten bilden, deren gemeinsame Betrachtung zu einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung führt:
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| − | $$\frac{ {\rm d}U}{ {\rm d}x} = - (R' + {\rm j} \cdot \omega L') \cdot I,\hspace{0.5cm} \frac{ {\rm d}I}{ {\rm d}x} = - (G' + {\rm j} \cdot \omega C')
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| − | \cdot U$$
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| − | $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{{\rm d}^2U}{{\rm d}x^2} = (R' + {\rm j} \cdot \omega L') \cdot (G' + {\rm j} \cdot \omega C')
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| − | \cdot U\hspace{0.05cm}.$$
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| − | Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet:
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| − | $$U(x) = U_{\rightarrow}(x=0) \cdot {\rm e}^{-\hspace{0.02cm}\gamma \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}x} + U_{\leftarrow}(x=0) \cdot {\rm e}^{\gamma \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}x} \hspace{0.05cm}.$$
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| − | Der Spannungsverlauf hängt außer vom Ort $x$ auch von der Frequenz $f$ ab, was hier nicht explizit vermerkt ist. Formelmäßig erfasst wird diese Frequenzabhängigkeit durch das Übertragungsmaß
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| − | $$\gamma(f) = \sqrt{(R' + {\rm j} \cdot 2\pi f \cdot L') \cdot (G' + {\rm j} \cdot 2\pi f \cdot C')} = \alpha (f) + {\rm j} \cdot \beta (f)\hspace{0.05cm}.$$
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| − | Die beiden letzten Gleichungen beschreiben gemeinsam den Spannungsverlauf entlang der Leitung, der sich aus der Überlagerung einer in positiver $x$–Richtung laufenden Welle $U_→(x)$ und der Welle $U_←(x)$ in Gegenrichtung zusammensetzt.
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| − | Der Realteil $α(f)$ des komplexen Übertragungsmaßes $γ(f)$ dämpft die sich ausbreitende Welle und wird daher Dämpfungsmaß genannt. Diese stets gerade Funktion $⇒ α(–f) = α(f)$ ergibt sich aus obiger $γ(f)$–Gleichung wie folgt:
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| − | $$\alpha(f) = \sqrt{\frac {1}{2}\cdot \left (R' G' - \omega^2 \cdot L' C'\right)+ \frac {1}{2}\sqrt{(R'^2 + \omega^2 \cdot L'^2) \cdot (G'^2 + \omega^2 \cdot C'^2)}} \bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}.$$
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| − | Der ungerade Imaginärteil $⇒ β(– f) = – β(f)$ heißt Phasenmaß und beschreibt die Phasendrehung der Welle entlang der Leitung:
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| − | $$\beta(f) = \sqrt{\frac {1}{2}\cdot \left (-R' G' + \omega^2 \cdot L' C'\right)+ \frac {1}{2}\sqrt{(R'^2 + \omega^2 \cdot L'^2) \cdot (G'^2 + \omega^2 \cdot C'^2)}} \bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}.$$
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| − | ==Wellenwiderstand und Reflexionen (1)==
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| − | Betrachten wir nun eine homogene Leitung der Länge $l$, an dessen Eingang eine harmonische Schwingung $U_0(f)$ mit variabler Frequenz $f$ angelegt wird. Der Sender besitzt den Innenwiderstand $Z_1$, der Empfänger den Eingangswiderstand $Z_2$, der gleichzeitig den Abschlusswiderstand der Leitung bildet. Wir gehen vereinfachend davon aus, dass $Z_1$ und $Z_2$ reelle Widerstände sind.
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| − | [[File:P_ID1793__LZI_T_4_1_S2a_neu.png | Leitung der Länge l mit Beschaltung]]
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| − | Strom und Spannung von hinlaufender und rücklaufender Welle sind jeweils über den Wellenwiderstand $Z_W(f)$ miteinander verknüpft:
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| − | $$I_{\rightarrow}(x, f) = \frac{U_{\rightarrow}(x, f)}{Z_{\rm W}(f)}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} I_{\leftarrow}(x, f) = \frac{U_{\leftarrow}(x, f)}{Z_{\rm W}(f)}\hspace{0.05cm}.$$
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| − | Für den Wellenwiderstand gilt dabei:
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| − | $$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{\frac {R' + {\rm j} \cdot \omega L'}{G' + {\rm j} \cdot \omega C'}} \hspace{0.1cm}\bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}.$$
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| − | Die in positiver x–Richtung laufende Welle wird durch die Wechselspannungsquelle am Leitungsanfang (also bei $x =$ 0) erzeugt. Die rücklaufende Welle entsteht erst durch Reflektion der Vorwärtswelle am Leitungsende $(x = l)$. An dieser Stelle wird durch den Abschlusswiderstand $Z_2$ ein festes Verhältnis zwischen Spannung und Strom entsprechend $U_2(f) = Z_2 · I_2(f)$ erzwungen.
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| − | Die rücklaufende Welle entsteht bei Fehlanpassung durch Reflexion am Leitungsende:
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| − | $$U_{\leftarrow}(x = l) = {U_{\rightarrow}(x = l)}\cdot \frac{Z_2 -Z_{\rm W}(f)}{Z_2 + Z_{\rm W}(f)}\hspace{0.05cm}.$$
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| − | Man erkennt aus dieser Gleichung, dass nur für $Z_2 = Z_W(f)$ keine rücklaufende Welle entsteht. Eine solche Widerstandanpassung wird in der Nachrichtentechnik stets angestrebt. Allerdings ist diese Anpassung wegen der Frequenzabhängigkeit des Wellenwiderstandes bei festem Abschluss $Z_2$ nicht über einen größeren Frequenzbereich möglich.
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| − | Nachfolgend werden diese Gleichungen an einem Beispiel erläutert.
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| − | ==Wellenwiderstand und Reflexionen (2)==
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| − | {{Beispiel}}
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| − | Wir betrachten den Fall, dass sich der Abschlusswiderstand $Z_2$ der Leitung (gleichzeitig der Eingangswiderstand des nachfolgenden Empfängers) vom Wellenwiderstand $Z_W(f)$ unterscheidet. Die Fehlanpassung am Leitungsanfang lassen wir außer Betracht.
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| − | [[File:P_ID2844__LZI_T_4_1_S2c_neu.png | Modell zur Beschreibung der Wellenreflexion]]
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| − | Die untere Grafik aus [Han08] soll deutlich machen, wie sich die resultierende Welle $U(x)$ – als durchgezogene Kurve dargestellt – von der hinlaufenden Welle $U_→(x)$ unterscheidet.
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| − | [[File:P_ID2840__LZI_T_4_1_S2b_V2.png | Hinlaufende, rücklaufende und resultierende Welle]]
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| − | *Rot markiert ist die hinlaufende Welle $U_→(x)$, die ausgehend vom Sender $⇒ U_→(x =$ 0) sich längs der Leitung abschwächt. $U_→(x = l)$ bezeichnet die Welle am Leitungsende.
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| − | *Aufgrund der Fehlanpassung kommt es zur rücklaufenden Welle (Reflexion) $U_←(x)$ vom Leitungsende zum Sender, in der Grafik grün markiert. Für diese gilt am Ausgangspunkt $x = l$:
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| − | $$U_{\leftarrow}(x = l) = {U_{\rightarrow}(x = l)}\cdot \frac{Z_2 -Z_{\rm W}(f)}{Z_2 + Z_{\rm W}(f)}\hspace{0.05cm}.$$
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| − | *Die resultierende (blaue) Welle $U(x)$ ergibt sich aus der phasenrichtigen Addition dieser beiden für sich allein nicht sichtbaren Anteile. Mit zunehmendem $x$ wird $U(x)$ ebenso wie $U_→(x)$ wegen der Leitungsdämpfung kleiner. Auch die rücklaufende Welle $U_←(x)$ wird mit zunehmender Länge gedämpft, allerdings von rechts nach links.
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| − | {{end}}
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| − | ==Verlustlose und verlustarme Leitungen==
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| − | Für sehr kurze Koaxialleitungen, wie sie für Verbindungen von HF–Messgeräten im Labor verwendet werden, kann von $R' = G' ≈$ 0 ausgegangen werden. Man spricht dann von einer verlustlosen Leitung. Für eine solche vereinfachen sich die obigen Gleichungen zu
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| − | $$\alpha(f) = 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}\beta(f) = 2\pi \cdot f \cdot \sqrt{L' \cdot C' }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} Z_{\rm W}(f) = \sqrt{{L'}/{ C'} }\hspace{0.05cm}.$$
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| − | Sind $L'$ und $C'$ im betrachteten Frequenzbereich konstant, so ist der (reelle) Wellenwiderstand $Z_W(f)$ ebenfalls frequenzunabhängig und das Phasenmaß $β(f)$ proportional zur Frequenz. Das bedeutet, dass eine verlustlose Leitung stets verzerrungsfrei ist. Das Ausgangssignal weist gegenüber dem Eingangssignal lediglich eine Laufzeit auf. Üblich sind Wellenwiderstände von 50 Ω, 75 Ω und 150 Ω.
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| − | Betrachten wir nun nochmals die Formel für das Dämpfungsmaß, also die Dämpfungsfunktion pro Länge,
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| − | $$\alpha(f) = {{\rm a}(f)}/{ l} \hspace{0.05cm},$$
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| − | wenn die Leitung etwas länger ist, aber noch nicht als lang bezeichnet werden kann. Man spricht in diesem Fall von einer verlustarmen Leitung.
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| − | Die vorne angegebene Formel für das Dämpfungsmaß soll nun für den nicht ganz der Wirklichkeit entsprechenden Fall konstanter Leitungsbeläge ausgewertet werden. Oberhalb einer '''charakteristischen Frequenz''' $f_∗$, die von $R', L', G'$ und $C'$ abhängt, kann $R'$ als sehr klein gegenüber $ωL'$ und $G'$ als sehr klein gegenüber $ωC'$ angenommen werden. Damit ergibt sich die Näherungsformel
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| − | $$\alpha_{_{ {\rm I} } }(f) = \frac{1}{2} \cdot \left [R' \cdot \sqrt{\frac{C'}{ L'} } + G' \cdot \sqrt{\frac{L'}{ C'} }\right ] \hspace{0.05cm},$$
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| − | die in der Literatur häufig als '''schwache Dämpfung''' bezeichnet wird.
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| − | Für kleine Frequenzen $(f < f_∗)$ ist dagegen $R' >> ωL'$ und $G' >> ωC'$ zu berücksichtigen und man erhält eine zweite obere Schranke, die man oft als '''starke Dämpfung''' bezeichnet:
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| − | [[File:P_ID1795__LZI_T_4_1_S3_kleiner_neu.png | Dämpfungsmaß α(f) und Schranken | rechts]]
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| − | $$\alpha_{_{ {\rm II} } }(f) = \sqrt{\omega \cdot \frac{R' \hspace{0.05cm} C'}{ 2} }\hspace{0.1cm} \bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$
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| − | Die Grafik zeigt das Dämpfungsmaß $α(f)$ bei konstanten Leitungsbelägen nach der exakten, aber komplizierten Formel und die beiden Schranken $α_I(f)$ und $α_{II}(f)$.
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| − | Man erkennt aus dieser Darstellung:
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| − | *Sowohl $α_I(f)$ als auch $α_{II}(f)$ sind obere Schranken für $α(f)$.
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| − | *Die charakteristische Frequenz $f_∗$ ist der Schnittpunkt von $α_I(f)$ und $α_{II}(f)$.
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| − | *Für $f >> f_∗$ gilt $α(f) ≈ α_I(f)$, für $f << f_∗$ dagegen $α(f) ≈ α_{II}(f)$.
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