Aufgaben:Exercise 2.09: Reed–Solomon Parameters

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Some Reed-Solomon codes

Adjacent is an incomplete list of possible Reed–Solomon codes known to be based on a Galois field  ${\rm GF}(q) = {\rm GF}(2^m)$ . The parameter  $m$  specifies with how many bits a RS code symbol is represented. It is valid:

• $m = 4$  (red font),
• $m = 5$  (blue font),
• $m = 6$  (green font).

A Reed–Solomon code is generally denoted as follows:   ${\rm RSC}\ (n, \ k, \ d_{\rm min})_q$.

The parameters have the following meaning:

• $n$  specifies the number of symbols of a codeword  $\underline{c}$    ⇒   length of the code,
• $k$  specifies the number of symbols of an information block  $\underline{u}$    ⇒   dimension of the code,
• $d_{\rm min}$  denotes the  minimum distance   between two codewords
  $($for all Reed–Solomon codes equal  $n-k+1)$,
• $q$  gives an indication of the use of the Galois field  ${\rm GF}(q)$.

To the right is the binary representation of the same code:

• In this realization of a RS code, each information and code symbol is represented by  $m$  bits.
• For example, it can be seen from the first row that the minimum distance in terms of bits is also  $d_{\rm min} = 5$  if in  ${\rm GF}(2^m)$  the minimum distance is  $d_{\rm min} = 5$ .
• This can correct up to  $t = 2$  bit errors (or symbol errors) and detect up to  $e = 4$  bit errors (or symbol errors).

Hints:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes.
• Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel  Erweiterungskörper.

Fragebogen

1

Es gelte  $c_i ∈ {\rm GF}(2^m)$. Welche RS–Codeparameter  $n$  ergeben sich?

$m = 4 \text{:} \hspace{0.4cm} n \ = \ $

$m = 5 \text{:} \hspace{0.4cm} n \ = \ $

$m = 6 \text{:} \hspace{0.4cm} n \ = \ $

2

Im Folgenden werden zwei spezielle RS–Codes  ${\rm RSC} \ 1 \ (m = 4, \ t = 4)$  und  ${\rm RSC} \ 2 \ (m = 5, \ t = 8)$  betrachtet.
Mit welchem RS–Parameter  $k$  lassen sich genau  $t$  Symbolfehler korrigeren?

${\rm RSC} \ 1 \text{:} \hspace{0.4cm} k \ = \ $

${\rm RSC} \ 2 \text{:} \hspace{0.4cm} k \ = \ $

3

Welche Bezeichnungen sind für  $\rm RSC \ 1$  bzw.  $\rm RSC \ 2$  richtig?

	$\rm RSC \ 1$  nennt man auch  $\rm RSC \, (15, \, 7, \, 9)_{16}$.
	$\rm RSC \ 1$  nennt man auch  $\rm RSC \, (15, \, 7, \, 4)_4$.
	$\rm RSC \ 2$  nennt man auch  $\rm RSC \, (31, \, 17, \, 15)_{32}$.
	$\rm RSC \ 2$  nennt man auch  $\rm RSC \, (31, \, 15, \, 17)_{32}$.

4

Wieviele Symbolfehler  $(e)$  können höchstens erkannt werden?

${\rm RSC} \ 1 \text{:} \hspace{0.4cm} e \ = \ $

${\rm RSC} \ 2 \text{:} \hspace{0.4cm}e \ = \ $

5

Wie lauten die betrachteten Codes in Binärschreibweise?

	$\rm RSC \ 1$  entspricht dem Code  $\rm RSC \, (60, \, 28, \, 36)_2$.
	$\rm RSC \ 1$  entspricht dem Code  $\rm RSC \, (60, \, 28, \, 9)_2$.
	$\rm RSC \ 2$  entspricht dem Code  $\rm RSC \, (155, \, 75, \, 17)_2$.
	$\rm RSC \ 2$  entspricht dem Code  $\rm RSC \, (124, \, 60, \, 17)_2$.

Musterlösung

Solution

(1)  Für die Codelänge der Reed–Solomon–Codes gilt allgemein.

$$n = q -1 = 2^m -1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 4 {\rm :}\hspace{0.2cm} n \hspace{0.15cm}\underline {= 15} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}m = 5 {\rm :}\hspace{0.2cm} n \hspace{0.15cm}\underline {= 31} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} m = 6 {\rm :}\hspace{0.2cm} n \hspace{0.15cm}\underline {= 63} \hspace{0.05cm}. $$

(2)  Um $t$ Symbolfehler korrigieren zu können, muss die minimale Distanz $d_{\rm min} = 2t + 1$ betragen.

• Der Reed–Solomon–Code ist ein sogenannter MDS–Code (Maximum Distance Separable).
• Für diese gilt:

$$d_{\rm min} = n-k+1 = 2t+1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}k = n -2t = 2^m - ( 2t+1) \hspace{0.05cm}. $$

• Damit erhält man für den

• $\rm RSC \ 1$ (mit $m = 4, \ t = 4) \text{:} \hspace{0.2cm} k = 2^4 - (2 \cdot 4 + 1) \ \underline{= 7}$,
• $\rm RSC \ 2$ (mit $m = 5, \ t = 8) \text{:} \hspace{0.2cm} k = 2^5 - (2 \cdot 8 + 1) \ \underline{= 15}$.

(3)  Die Bezeichnung eines Reed–Solomon–Codes lautet ${\rm RSC} \, (n, \, k, \, d_{\rm min})_q$ mit $q = 2^m = n + 1$.

Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

• $\rm RSC \ 1 \Rightarrow RSC \, (15, \, 7, \, 9)_{16}$,
• $\rm RSC \ 2 \Rightarrow RSC \, (31, \, 15, \, 17)_{32}$.

(4)  Bezeichnet $d_{\rm min}$ die minimale Distanz eines Blockcodes, so können damit $e = d_{\rm min} - 1$ Symbolfehler erkannt und $t = e/2$ Symbolfehler korrigiert werden:

• ${\rm RSC} \ 1 \text{:} \hspace{0.2cm} d_{\rm min} = \ \ 9, \ t = 4, \ \underline{e = 8}$,
• ${\rm RSC} \ 2 \text{:} \hspace{0.2cm} d_{\rm min} = 17, \ t = 8, \ \underline{e = 16}$.

(5)  Richtig sind die beiden mittleren Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Bei ${\rm RSC} \ 1 \, (m = 4)$ entsprechen $n = 15$ Codesymbolen aus $\rm GF(2^5)$ gleich $60$ Bit und $k = 7$ Informationssymbole genau $28$ Bit:

• $\rm RSC \ 1 \Rightarrow RSC \, (15, \, 7, \, 9)_{16} \Rightarrow RSC \, (60, \, 28, \, 9)_2$,
• $\rm RSC \ 2 \Rightarrow RSC \, (31, \, 15, \, 17)_{32} \Rightarrow RSC \, (155, \, 75, \, 17)_2$.

• Für die minimale Distanz auf Bitebene   ⇒   $\rm GF(2)$ ergeben sich mit $d_{\rm min} = 9$ bzw. $d_{\rm min} = 17$ die gleichen Werte wie auf Symbolebene  
  ⇒   $\rm GF(2^4)$ bzw. $\rm GF(2^5)$ (siehe Theorieteil).