Aufgaben:Exercise 5.8Z: Falsification of BMP Images

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Falsified BMP files

We assume here the following images in the format 160x120 (pixels):

• the image "White" with the color depth "1 BPP" (one bit per pixel) and
• the image "Earth" with "24 BPP", even if only a few of the $2^{24}$ possible colors are used here.

The image "W1" was created by falsification with a Gilbert–Elliott model using the following parameters:

$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001, \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.1, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$

Thus, we obtain for the mean error probability

$$p_{\rm M} = \frac{p_{\rm G} \cdot {\rm Pr}({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}+ p_{\rm B} \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)} = 0.01 \hspace{0.05cm},$$

and for the error correlation duration

$$D_{\rm K} =\frac{1}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )}-1 \approx 8 \hspace{0.05cm}.$$

The image "W2" entstand nach Verfälschung mit den GE–Parametern

$$p_{\rm B} = 0.2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B})= 0.01, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.0005\hspace{0.05cm}.$$

Die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand "$\rm G$" wurde so gewählt, dass die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M} = 0.01$  beträgt.

Die beiden unteren Bilder "E3" und "E4" können entstanden sein durch Verfälschung mit

• dem BSC–Modell  $(p = 0.01)$,
• demjenigen GE–Modell, das zu "W1" geführt hat,
• demjenigen GE–Modell, das zu "W2" geführt hat.

Dies zu klären, ist Ihre Aufgabe. Eine der Antworten ist jeweils richtig.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Applications for Multimedia Files".
• Alle Bilder wurden mit dem Windows–Programm  Digitale Kanalmodelle & Multimedia  erzeugt.
  Der angegebene Link verweist auf die Zip–Version dieses Programms.

Fragebogen

1

Ermitteln Sie für das mit dem Gilbert–Elliott–Modell verfälschte Bild "W2" die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand "GOOD", so dass sich  $p_{\rm M} = 1\%$  ergibt?

$p_{\rm G} \ = \ $ $\ \%$

2

Wie groß ist die Korrelationsdauer der Fehler im Bild "W2"?

$D_{\rm K} \ = \ $

3

Wieviele Bitfehler  $(N_{\rm W})$  treten (statistisch gesehen) im Bild "W1" (oder "W2") bei  $p_{\rm M} = 1\%$  auf?

$N_{\rm W} \ = \ $

4

Wieviele Bitfehler  $(N_{\rm E})$  treten (statistisch gesehen) im Bild "E3" (oder "E4") bei  $p_{\rm M} = 1\%$  auf?

$N_{\rm E} \ = \ $

5

Welches Fehlermodell liegt dem Bild "E3" zugrunde?

	Das BSC–Modell mit  $p = 1\%$,
	das gleiche GE–Modell wie für "W1",
	das gleiche GE–Modell wie für "W2"

6

Welches Fehlermodell liegt dem Bild "E4" zugrunde?

	Das BSC–Modell mit  $p = 1\%$,
	das gleiche GE–Modell wie für "W1",
	das gleiche GE–Modell wie für "W2".

Musterlösung

Solution

(1)  Die Umstellung der vorgegebenen $p_{\rm M}$–Gleichung führt zum gesuchten Ergebnis:

$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{p_{\rm M} \cdot \big[{\rm Pr}({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}+ {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)\big] - p_{\rm B} \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) } = \frac{ 0.01 \cdot [0.01+0.0005] - 0.2 \cdot 0.0005}{0.01} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.05\%}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Mit der angegebenen Gleichung erhält man:

$$D_{\rm K} =\frac{1}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )}-1 =\frac{1}{0.0105}-1\hspace{0.15cm}\underline {\approx 94.2}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Das Bild "Weiß" besteht aus $160 \cdot 120 = 19200 \ \rm Pixel$ und wird wegen der Farbtiefe $1 \ \rm BPP$ auch durch $19200 \ \rm Bit$ beschrieben.

• Mit der mittleren Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M} = 0.01$ sind in beiden Bildern ("W1" und "W2") jeweils $N_{\rm W} \underline{= 192}$ Bitfehler zu erwarten.

(4)  Bei gleicher Bildgröße und Fehlerwahrscheinlichkeit gibt es wegen der Farbtiefe $24 \ \rm BPP$ nun deutlich mehr Bitfehler, nämlich

$$N_{\rm E} = 24 \cdot 192 \ \underline{= 4608}.$$

(5)  Richtig ist Antwort 1:

• Das Bild "E3" zeigt die typische Struktur statistisch unabhängiger Fehler.

(6)  Richtig ist Antwort 3:

• Das Bild "E4" zeigt eine typische Bündelfehlerstruktur.
• Verwendet wurde hierbei das GE–Modell mit $D_{\rm K} \approx 94$, das auch für "W2" verwendet wurde.
• Da aber nun jedes einzelne Pixel durch $24 \ \rm Bit$ dargestellt wird, ergibt sich die mittlere Fehlerkorrelationsdauer (bezogen auf Pixel) nur etwa zu ${D_{\rm K}}' = 4$.
• Das GE–Modell mit $D_{\rm K} \approx 8$ (bezogen auf Bit) würde bei einem $24 \ \rm BPP$–Bild etwa so aussehen wie das auf dem BSC–Modell basierende Bild "E3".
• Bezogen auf Pixel ergäben sich dann eher statistisch unabhängige Fehler.